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視頻標簽：垂直于弦的直徑
所屬欄目：初中數學優質課視頻
視頻課題：人教版九年級上冊數學24.1.2《垂直于弦的直徑》_天津市優課
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人教版九年級上冊數學24.1.2《垂直于弦的直徑》_天津市優課
24．1．2 垂直于弦的直徑
一、 內容和內容解析
1、 內容
垂直于弦的直徑。 2、 內容解析
本節課要研究的是圓的軸對稱性與垂徑定理及簡單應用，垂徑定理既是前面圓的性質的重要體現，是圓的軸對稱性的具體化，也是今后證明線段相等、角相等、弧相等、垂直關系的重要依據，同時也是為進行圓的計算和作圖提供了方法和依據，所以它在教材中處于非常重要的位置。
二、目標和目標解析
1、目標
（1）理解圓的對稱性和垂直于弦的直徑的性質，并能應用其解決問題。 （2）經歷圓的對稱性和垂直于弦的直徑的性質的探究過程。了解探究數學問題的一些數學基本思想。
（3）通過學生的動手操作、獨立思考、小組討論、合作交流等活動，培養學生的動手能力和相互學習、相互幫助、善于交流的思想意識；通過對趙州橋及相關問題的解決，使學生樹立愛科學、學科學的思想意識。 2、目標解析
達成目標（1）（2）的標志是：學生在操作、分析、歸納的基礎上，歸納出垂直于弦的直徑的性質：（1）垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧；（2）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧。
達成目標（3）的標志是：學生通過動手操作、獨立思考、小組討論、合作交流等活動，；通過對趙州橋及相關問題的解決，提升了動手能力和相互學習、相互幫助、善于交流的思想意識。
三、教學問題診斷分析
學生在此之前已經學習了圓的有關性質和過三點的圓等內容，對圓的有關性質已經有了一定的認識，這為順利完成本節課的教學任務打下了基礎，但對于垂直于弦的直徑和這弦的關系（即垂徑定理）的理解，學生可能會產生一些困難，
所以在教學中應予以簡單明了，深入淺出的分析。鑒于此，本節課將通過“實驗——觀察——猜想——合作交流——驗證”的途徑，進一步培養學生的動手能力，觀察能力，分析、聯想能力、合作交流的能力，同時利用圓的軸對稱性，可以對學生進行數學美的教育。
基于以上分析，本節課的教學重點垂直于弦的直徑所具有的性質。教學難點是垂直于弦的直徑的性質的探究、證明及其應用。
四、教學過程設計
（一）創設情境，引入新課。 師生活動：
師：請同學們一起來看這張圖片。 師：這是一座什么橋？ 生：趙州橋或石拱橋
師：請問同學們：趙州橋是哪位名人設計和建造的呢？ 生：李春
師：李春是一位著名的匠師，設計并建造了這座世界聞名的趙州橋。 師：請同學們再來觀察這座橋有什么特征？ 生：橋拱是圓弧形的
師：為什么要設計成圓弧形呢？ 生：美觀，堅固等等。
師：因為圓有很多重要的性質。在實際生活中到處可見圓的應用，如：車輪是圓形的，輸油管道的橫截面是圓形的等等。今天這節課我們就來學習圓的一些性質。重點學習垂直于弦的直徑所具有的性質。
教師板書：垂直于弦的直徑
設計意圖:通過觀看趙州橋的圖片及相關背景知識，激發學生的興趣，引入本節課的內容。
（二）動手操作，探究新知。
活動一：請同學們拿出老師發給你的圓形紙片。
師：將圓形紙片，沿著圓的直徑對折，并觀察其對折后，有什么現象發生？ 生：兩邊的部分能夠完全重合。 師：再折幾次，是不是還有此現象出現？ 生：有。
師：這就說明圓是軸對稱圖形，直徑所在的直線是其對稱軸。 教師板書：
圓的性質：1、圓是軸對稱圖形，直徑所在的直線是其對稱軸。 活動二：
師：請同學們思考下面的問題：
如圖，AB是⊙O的一條弦，做直徑CD，使CD⊥AB，垂足為M．
（1）這個圖形是軸對稱圖形嗎？如果是，它的對稱軸是什么？
（2）你能發現圖中有那些相等的線段和弧？為什么？ 下面請同學們小組討論這個問題。 師組織提問： 第一組： 第二組： 第三組： 第四組：
師生一起歸納結論：
AMMB ADBD ACDC
即平分弦，平分優弧，平分劣弧
已知直徑垂直弦則有平分弦，平分弦所對的優弧，平分弦所對的劣弧，這是圓的一條很重要的性質。
教師板書：
2、垂直于弦的直徑，平分這條弦，并平分這條弦所對的兩條弧。
師：這里所說的“直徑”，在這里起到的是對稱軸的作用，而過圓心的直線都是圓的
對稱軸，因此，只要直線過圓心即可。這條性質又可敘述為：
MO
D
C
B
A
電腦顯示：過圓心的直線垂直弦，則平分弦、平分弦所對的弧。 師：剛才是直徑垂直于弦，如果直徑平分弦，又有什么結論呢？ 師：請同學們在練習本上畫出圖形，小組交流討論。
生：平分弦的直徑會垂直于弦，并平分弦所對的兩條弧。 師：這個結論一定能成立嗎？ 生：不一定。
師用多媒體演示弦變為直徑的情況。
師生一起歸納：平分弦（不是直徑）的直徑，垂直于弦，并平分這條弦所對的弧。 教師板書：
3、平分弦（不是直徑）的直徑，垂直于弦，并平分這條弦所對的弧。
設計意圖：讓學生通過自己動手操作，觀察出圓是軸對稱圖形，經歷圓的對稱性的探究過程，激發學生的學習興趣，為下面探究垂直于弦的直徑的性質作下鋪墊。學生先觀察出圖形中有哪些線段相等，哪些弧相等，教師在學生猜想，分析、交流、歸納的基礎上，引導學生總結出垂直于弦的直徑的性質，使學生經歷垂直于弦的直徑的性質的探究過程。了解探究數學問題的一些數學基本思想。通過獨立思考、小組討論、合作交流等活動，培養學生相互學習、相互幫助、善于交流的思想意識。
(三)應用舉例、鞏固練習。 1、鞏固練習
（1）如圖，在⊙O中， P 是弦AB的中點， CD是過點 P的直徑，則下列結論中，不正確的是（ ）.
A. AB⊥CD B. ADBD
C. ACBC
D. PO=PD 生：D
（2）如圖，如果AB為⊙O的直徑 ,弦CD⊥AB, 垂足為E，
那么下列結論：①CE=DE, ②AC=AD, ③BCBD, ④ACAD,
其中，正確結論的序號是 . 生：①②③④
（3）如圖，⊙O的半徑為5，弦 AB的長為8，則圓心O到弦AB的距離為
P
OD
B
C
A
O
DE
CBA
生：3
∵2
2
2
OAADOD 即 ∴22218.77.2RR
222218.714.47.2RRR
設計意圖：數學來源于實踐，又應用于實踐。在例題中，老師把新課引入的實際問題，在結束前引導學生運用所學知識加以解決，注重培養學生解決實際問題的能力。首尾呼應，形成一個課堂教學的整體。應用舉例體現了符號意識，抽象思想及建模思想，培養學生發現問題、解決問題的能力。讓學生在探究過程中，進一步把實際問題轉化為數學問題，掌握通過作輔助線構造垂徑定理的基本結構圖，進而發展學生的思維，培養學生思維的靈活性以及創新意識。
(四)歸納小結。
2、應用舉例
師：下面我們在回過頭來，看一看趙州橋的設計及有關數據的計算。
趙州橋的跨度(弧所對的弦的長)為37.4m, 拱高(弧的中點到弦的距離)為7.2m，你能求出趙洲橋主橋拱的半徑嗎？
解：我們用AB表示主橋拱，設AB所在圓的圓心為O,半徑為R . 過圓心O作弦AB的垂線OC,垂足為D，OC與AB相交于點C，
∵OCAB于D 且點O為圓心 ∴ ADDB ACCB
∴CD就是拱高.OD=R-7.2 在RtAOD中，
2214.418.77.2R
27.9R（米）
DB
O
A
4、可以解決哪些問題？
設計意圖：從知識、技能、活動經驗、情感態度四個方面加以小結，使學生對本節課的知識有一個系統全面的認識，落實四基。
（五）課后作業。
1.（全體都做）習題24．1 第1題，第8題， 2.（部分學生）習題24．1第9題．
設計意圖：作業分層處理有較大的彈性，體現作業的鞏固性和發展性原則，尊重學生的個體差異，滿足多樣化的學習需要，讓不同的人在數學上得到不同的發展． 六、教學反思
數學源于生活，而又服務于生活。本節課的內容與生活是息息相關的，因此學生反映很熱烈，學起來也不困難。本節課采用了多媒體教學，使抽象的圖形直觀化，生活化；通過動手操作、動手操作、獨立思考、小組討論、合作交流等活動，使復雜的問題簡單化，學生也比較容易接受，從而突破了難點，達到了本節課的教學目標。因此在今后的教學中應注重貼近學生的實際生活，從學生的角度去挖掘素材，找準突破點，盡可能地使數學生活化，趣味化，使學生自愿地去親身經歷數學，體驗數學，從而達到我們教學的目的。
視頻來源：優質課網 www.jjlqy.cn
