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視頻標簽：垂直于弦的直徑
所屬欄目：初中數學優質課視頻
視頻課題：人教版九年級上冊數學24.1.2《垂直于弦的直徑》_重慶市優課
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人教版九年級上冊數學24.1.2《垂直于弦的直徑》_重慶市優課
教學時間
課題
24．1．2 垂直于弦的直徑
課型
新授課
教 學 目
標 知 識 能 力
探索圓的對稱性，進而得到垂直于弦的直徑所具有的性質； 能夠利用垂直于弦的直徑的性質解決相關實際問題．
過 程
方 法
在探索問題的過程中培養學生的動手操作能力，使學生感受圓的對稱性，體會圓的一些性質，經歷探索圓的對稱性及相關性質的過程． 進一步體會和理解研究幾何圖形的各種方法；培養學生獨立探索，相互合作交流的精神．
情 感 價值觀 使學生領會數學的嚴謹性和探索精神，培養學生實事求是的科學態度和積極參與的主動
精神．
教學重點 垂直于弦的直徑所具有的性質以及證明．利用垂徑定理解決一些實際問題. 教學難點
利用垂直于弦的直徑的性質解決實際問題．
課 堂 教 學 程 序 設 計
設計意圖
創設問題情境，激發學生興趣，引出本節內容(展示幻燈片1) 一、 教師：從烏江橋拱大家能看出什么樣的幾何圖形？
烏江橋的跨度是80m，拱高20m，請問大家會求橋拱的半徑嗎？要想解決這個問題，請進入我們今天的學習.（板書標題：24.1.2垂直于弦的直徑） 請大家動手做一做并回答下面問題：
活動1：剪一個圓形紙片，沿著圓的任意一條直徑對折，重復做幾次，你發現了什么？由此你能得到什么結論？
學生活動設計：學生動手操作，觀察操作結果，可以發現沿著圓的任意一條直徑對折，直徑兩旁的部分能夠完全重合，由此可以發現：圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在直線都是它的對稱軸．
教師活動設計：在學生歸納的過程中注意學生語言的準確性和簡潔性．
我們如何來證明這個結論呢？其實要證明圓是軸對稱圖形，我們只需要證明圓上任意一點關于直徑所在直線的對稱點也在圓上，（展示幻燈片）
活動2：如圖，設CD是⊙O的任意一條直徑，A為⊙O上點C，D以外任意一點，過點A作AB⊥CD，交⊙O于點B，垂足為M，連接OA，OB．你能發現圖中有哪些相等的線段和弧？為什么？(課件：探究垂徑定理)
學生活動設計：如圖，連接OA、OB，得到等腰△OAB，即OA＝OB．因CD⊥AB，由等腰三角形三線合一的性質得AM=BM．由此得到CD是AB的垂直平分線，也就是說，對于圓上任意一點A，在圓上都有關于直線CD的對稱點B，因此⊙O關于直徑CD對稱，即圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在直線都是它的對稱軸．從上面的證明我們知道，如果⊙O的直徑CD垂直于弦AB，垂足
為M，那么點A與點B是對稱點，把圓沿著直徑CD折疊時，點A與點B重合，因此AM=BM，弧AC=弧BC，同理得到弧AD=弧BD．即直徑CD平分弦AB，并且平分弧AB，弧ADB. 教師活動設計：
在學生猜想、驗證、歸納的基礎上，引導學生歸納垂徑定理：
垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧.并用符號語言來描述. 進一步，我們還可以得出推論:
平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧． 活動3：“不是直徑”這個條件能去掉嗎？如果不能，請舉出反例 活動4：例題示范
例1.已知如圖，在⊙O中，弦AB的長為8cm，若圓心O到AB的距離為3 cm，則⊙O的半徑為 cm. .
學生活動設計：
學生觀察圖形，利用垂直于弦的直徑的性質分析圖形條件，在直角三角形中可以利用勾股定理求解． 教師活動設計：
在學生解決問題的基礎上引導學生進行歸納：弦長、半徑、拱形高、弦心距（圓心到弦的距離）四個量中，只需要知道兩個量，其余兩個量就可以求出來。 若圓心到弦的距離用d表示，半徑用r表示，弦長用a表示，則
例2.用弧AB表示主橋拱，設弧AB所在圓的圓心為O，半徑為R． 經過圓心O作弦AB的垂線OC，D為垂足，OC與弧AB相交于點C. 那么D是弦AB的中點，C是弧AB的中點，CD就是拱高．
師生活動設計：讓學生在探究過程中，進一步把實際問題轉化為數學問題，掌握通過作輔助線構造垂徑定理的基本結構圖，進而發展學生的思維． 活動5：課堂練習
1.如圖，在⊙O中，AB，AC為互相垂直且相等的兩條弦，OD ⊥AB，OE ⊥AC，垂足分別為D，E.求證：四邊形ADOE是正方形.
.
2
2
22
adrO
C B A DCOBA
2. 某圓直徑是10，內有兩條平行弦長度分別為6和8，求這兩條平行弦間的距離. 活動6：課堂小結 活動7：課外補充
1．如圖1，在半徑為13的⊙O中，OC垂直弦AB于點D，交⊙O于點C，AB＝24，則CD的長是___________．
圖1 圖2 圖3
2．如圖2，AB是⊙O的弦，AB長為8，P是⊙O上一個動點(不與A，B重合)，過點O作OC⊥AP于點C，OD⊥PB于點D，則CD的長為__ __.
3．工程上常用鋼珠來測量零件上小圓孔的寬口，假設鋼珠的直徑是10 mm，測得鋼珠頂端離零件表面的距離為8 mm，如圖3，則這個小圓孔的寬口AB的長度為
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