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視頻標(biāo)簽：垂直于弦的直徑
所屬欄目：初中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課視頻
視頻課題：人教版九年級上冊數(shù)學(xué)24.1.2《垂直于弦的直徑》_建設(shè)兵團省級優(yōu)課
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人教版九年級上冊數(shù)學(xué)24.1.2《垂直于弦的直徑》_建設(shè)兵團省級優(yōu)課
徑定理（第一課時）教學(xué)設(shè)計
黎安寨
【教學(xué)內(nèi)容】垂徑定理 【教學(xué)目標(biāo)】
1．知識目標(biāo)：①通過觀察實驗，使學(xué)生理解圓的軸對稱性；
②掌握垂徑定理，理解其證明，并會用它解決有關(guān)的證明與計算問題； ③掌握輔助線的作法——過圓心作一條與弦垂直的線段。
2．能力目標(biāo)：①通過定理探究，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、邏輯思維和歸納概括能力； ②向?qū)W生滲透“由特殊到一般，再由一般到特殊”的基本思想方法。 3．情感目標(biāo)：①結(jié)合本課教學(xué)特點，向?qū)W生進行愛國主義教育和美育滲透； ②激發(fā)學(xué)生探究、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題的興趣和欲望。 【教學(xué)重點】垂徑定理及其應(yīng)用。 【教學(xué)難點】垂徑定理的證明。 【教學(xué)方法】探究發(fā)現(xiàn)法。
【教具準(zhǔn)備】自制的教具、自制課件、實物投影儀、電腦、三角板、圓規(guī)。 【教學(xué)設(shè)計】
一、實例導(dǎo)入，激疑引趣
通過找圓心的活動，引入本節(jié)課的內(nèi)容.
二、嘗試誘導(dǎo)，發(fā)現(xiàn)定理
1．復(fù)習(xí)過渡：
①如圖2(a)，弦AB將⊙O分成幾部分？各部分的名稱是什么？ ②如圖2(b)，將弦AB變成直徑，⊙O被分成的兩部分各叫什么？ ③在圖2(b)中，若將⊙O沿直徑AB對折，兩部分是否重合？
(a) (b) (a) (b) (c) （圖2） （圖3）
2．實驗驗證：
O
A
B
O
A
B
O
ABC
D
O
A
B
C
DOA
B
CDE
讓學(xué)生將準(zhǔn)備好的一張圓形紙片沿任一直徑對折，觀察兩部分是否重合；教師用電腦演示重疊的過程。從而得到圓的一條基本性質(zhì)——
圓是軸對稱圖形，過圓心的任意一條直線（或直徑所在的直線）都是它的對稱軸。 3．運動變換：
①如圖3(a)，AB、CD是⊙O的兩條直徑，圖中有哪些相等的線段和相等的��？ ②如圖3(b)，當(dāng)AB⊥CD時，圖中又有哪些相等的線段和相等的�。�
③如圖3(c)，當(dāng)AB向下平移，變成非直徑的弦時，圖中還有哪些相等的線段和相等的�。看送�，還有其他的相等關(guān)系嗎？
4．提出猜想：根據(jù)以上的研究和圖3(c)，我們可以大膽提出這樣的猜想——
（板書） BD
ADBCACBD
AECDEAB,CDO垂足為弦的直徑是圓
5．驗證猜想：教師用電腦課件演示圖3(c)中沿直徑CD對折，這條特殊直徑兩側(cè)的圖形能夠完全重合，并給這條特殊的直徑命名為——垂直于弦的直徑。
三、引導(dǎo)探究，證明定理
1．引導(dǎo)證明：
猜想是否正確，還有待于證明。引導(dǎo)學(xué)生從以下兩方面尋找證明思路。 ①證明“AE=BE”，可通過連結(jié)OA、OB來實現(xiàn)，利用等腰三角形性質(zhì)證明。 ②證明“弧相等”，就是要證明它們“能夠完全重合”，可利用圓的對稱性證明。
2．歸納定理：
根據(jù)上面的證明，請學(xué)生自己用文字語文進行歸納，并將其命名為“垂徑定理”。 垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧。 3．鞏固定理：
在下列圖形（如圖4(a)~(d)）中，AB是⊙O的弦，CD是⊙O的弦，它們是否適用于“垂徑定理”？若不適用，說明理由；若適用，能得到什么結(jié)論。
(a)AB⊥CD于E (b)E是AB中點 (c)OC⊥AB于E (d)OE⊥AB于E
（圖4） 向?qū)W生強調(diào)：(1)定理中的兩個條件缺一不可；(2)定理的變式圖形。
⌒ ⌒
⌒
⌒ OD
CBAEODC
BAEOBAEOBACE
四、例題示范，變式練習(xí)
1．運用定理進行計算。
〖例1〗如圖5，在⊙O中，若弦AB的長為8cm，圓心O到AB的距離為3cm，求⊙O的半徑。
分析：因為已知“圓心O到AB的距離為3cm”，所以要作 輔助線OE⊥AB；因為要求半徑，所以還要連結(jié)OA。
解：（略）學(xué)生口述，教師板書。 （圖5） 〖變式一〗在圖5中，若⊙O的半徑為10cm，OE=6cm，則AB= 。 思考一：若圓的半徑為R，一條弦長為a，圓心到弦的距離為d， 則R、a、d三者之間的關(guān)系式是 。
〖變式二〗如圖6，在⊙O中，半徑OC⊥AB，垂足為E，
若CE=2cm，AB=8cm，則⊙O的半徑= 。 （圖6） 思考二：你能解決本課一開始提出的問題嗎？（由學(xué)生口述方法） 2．運用定理進行證明
〖例2〗已知：如圖7，在以O(shè)為圓心的兩個同心圓中， 大圓的弦AB交小圓于C、D兩點。
求證：AC＝BD。 （圖7）
分析：①證明兩條線段相等，最常用的方法是什么？用這種方法怎樣證明？ （證明△OAC≌△OBD或證明△OAD≌△OBC）
②此外，還有更簡捷的證明方法嗎？若有，又怎樣證明？（垂徑定理） 證法一：連結(jié)OA、OB、OC、OD，用“三角形全等”證明。
證法二：過點O作OE⊥AB于E，用“垂徑定理”證明。（詳見課本P77例2） 注1：通過兩種證明方法的比較，選擇最優(yōu)證法。
注2：輔助線“過圓心作弦的垂線段”是第二種證法的關(guān)鍵，也是常用輔助線。 思考：在圖7中，若AC=2，AB=10，則圓環(huán)的面積是 。 〖變式一〗若將圖7中的大圓隱去，還需什么條件， 才能保證AC=BD？
〖變式二〗若將圖7中的小圓隱去，還需什么條件， 才能保證AC=BD？
〖變式三〗將圖7變成圖8（三個同心圓），你可以
證明哪些線段相等？ （圖8） 〖例3〗（選講）如圖9，Rt△ABC中，∠ACB＝90°， AC＝3，BC＝26，以C為圓心、CA長為半徑畫弧，交
O
B
AEO
B
A
C
E
O
BC
DAO
B
C
DAE
F
AB
C
D
斜邊AB于D，求AD的長。（答案：2）
略解：過點C作CE⊥AB于E，先用勾股定理求得 （圖9）
AB=9，再用面積法求得CE=22，最后用勾股定理求得AE=1，由垂徑定理得AD=2。
五、師生小結(jié)，納入系統(tǒng)
1．定理的三種基本圖形——如圖10、11、12。
2．計算中三個量的關(guān)系——如圖13，222)2
(a
dR。
3．證明中常用的輔助線——過圓心作弦的垂線段。
（圖10） （圖11） （圖12） （圖13）
六、達標(biāo)檢測，反饋效果
1．（課本P78練習(xí)第1題）如圖14，在⊙O的半徑為50mm，弦AB=50mm，則點O到AB的距離為 ，∠AOB＝ 度。
2．作圖題：經(jīng)過已知⊙O內(nèi)的已知點A作弦， 使它以點A為中點（如圖15）。
3．課本P78練習(xí)第2題。 （圖14） （圖15）
OA
B
C
D
E
O
A
B
DE
O
A
B
E
a
dROAB
O
B
A
OA
課 堂 練 習(xí)
姓名 得分
1．如圖，⊙O的半徑為50mm，弦AB=50mm，則點O到AB的距離為 ， ∠AOB＝ 度。
（第1題） （第2題）
2．作圖題：經(jīng)過已知⊙O內(nèi)的已知點A作弦，使它以點A為中點（如圖）。 要求：保留作圖痕跡，但不必寫作法。
3．已知：如圖，在⊙O中，AB、AC是兩條互相垂直且相等的弦，OD⊥AB， OE⊥AC，垂足分別為D、E。
求證：四邊形ADOE是正方形。
視頻來源：優(yōu)質(zhì)課網(wǎng) www.jjlqy.cn
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