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視頻標(biāo)簽：黃金分割
所屬欄目：初中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課視頻
視頻課題：初中數(shù)學(xué)北師大版九年級(jí)上冊(cè)第四章4探索三角形相似的條件《黃金分割》青島大學(xué)附屬中學(xué)
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初中數(shù)學(xué)北師大版九年級(jí)上冊(cè)第四章4探索三角形相似的條件《黃金分割》青島大學(xué)附屬中學(xué)
《黃金分割》教學(xué)設(shè)計(jì)
朱琳
【教學(xué)目標(biāo)】 一、知識(shí)與技能
(1)掌握黃金分割的定義及黃金分割點(diǎn)的作法 (2)會(huì)進(jìn)行黃金分割的有關(guān)計(jì)算 (3)了解黃金分割的作法 二、過程與方法
(1)經(jīng)歷黃金分割的引入及尋找黃金分割點(diǎn)的探究過程 (2)體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想在解決數(shù)學(xué)問題中的使用 三、情感態(tài)度和價(jià)值觀
在現(xiàn)實(shí)情境中體會(huì)黃金分割的文化價(jià)值，感受數(shù)學(xué)之美 【教學(xué)重點(diǎn)】
黃金分割的意義及其簡(jiǎn)單應(yīng)用 【教學(xué)難點(diǎn)】
作一條線段的黃金分割點(diǎn) 【核心素養(yǎng)】
增強(qiáng)學(xué)生“科學(xué)精神、學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)、人文底蘊(yùn)、實(shí)踐創(chuàng)新”的核心素養(yǎng).
【教學(xué)過程】
【感受美】
課前2分鈴，播放PPT《意猶未盡的黃金分割》（展示黃金分割的圖片）
伴隨著一段優(yōu)美的莫扎特鋼琴協(xié)奏曲，我們欣賞了很多圖片，這些圖片給大家什么感受？（學(xué)生齊答：美）這些圖片為什么會(huì)這么美呢？學(xué)完今天的內(nèi)容，大家就會(huì)揭示中其中部分奧秘。其實(shí)在這些圖片中都蘊(yùn)含著一個(gè)共同的數(shù)學(xué)原理，那就是——（學(xué)生齊答：黃金分割）
黃金分割的內(nèi)容，我們?cè)谛W(xué)已經(jīng)有所接觸，下面請(qǐng)兩位同學(xué)為我們分享一下他所了解的黃金分割。 任務(wù)一：學(xué)生展示自己了解到的黃金分割 高子航展示。
高子航同學(xué)為我們展示了黃金分割的來源，生活中、建筑中、藝術(shù)中的黃金分割。 常旭展示。
常旭同學(xué)也為我們展示了生活中的黃金分割，重點(diǎn)為我們展示了建筑中的黃金分割。
教師分享一些黃金分割的實(shí)例
通過分享讓同學(xué)們繼續(xù)感受美，為引出黃金分割的定義做鋪墊。
這個(gè)雕像是？（斷臂維納斯）維納斯女神中有黃金分割嗎？她的上半身與下半身的比符合黃金分割。這是大家熟悉的金字塔，金字塔的高與底邊長(zhǎng)的比符合黃金分割。軍事中也有黃金分割，步槍的槍把與槍身長(zhǎng)的比符合黃金分割，同樣大炮射擊的最佳射擊位是最大射程的黃金分割點(diǎn)。最為常見的還是我們?nèi)梭w，人體中具有大量的黃金分割，有14個(gè)
“黃金點(diǎn)”，12個(gè)“黃金矩形”和2個(gè)“黃金指數(shù)”，我們最為常見的有前臂與上臂的比，小腿與大腿的比。黃金分割有如此多的應(yīng)用，那么究竟什么是黃金分割呢？ 【發(fā)現(xiàn)美】
任務(wù)二：黃金分割的定義：
黃金分割是指將整體一分為二，較大部分與整體部分的比值等于較小部分與較大部分的比值，其比值約為0.618。這個(gè)比例被公認(rèn)為是最能引起美感的比例，因此被稱為黃金分割。 那么把這個(gè)定義數(shù)學(xué)化，建立數(shù)學(xué)模型，一條線段AB被點(diǎn)C分成兩條線段AC和BC，如果滿足什么條件就能說C是AB的黃金分割點(diǎn)呢？這個(gè)問題我們已經(jīng)請(qǐng)同學(xué)提前預(yù)習(xí)過，哪位同學(xué)來說一下？（生回答，師板書）
在線段AB上，點(diǎn)C把線段AB分成兩條線段AC和BC，如果 , 那么稱線段AB被點(diǎn)C黃金分割,點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)， 與 的比叫做黃金比.
提煉黃金分割的要點(diǎn)
通過提煉黃金分割的要點(diǎn)，進(jìn)一步理解清楚定義說了哪些內(nèi)容，為后面的黃金分割計(jì)算做鋪墊。
首先，C是線段AB上的一個(gè)特殊點(diǎn)。我們之前還學(xué)過AB上的什么特殊點(diǎn)？(中點(diǎn))
其次，滿足怎樣的比例關(guān)系就能說C是AB的黃金分割點(diǎn)？（生答）
我們能不能用自己的話來理解一下？如果AC是長(zhǎng)那么BC可以叫短，AB可以叫全。就有長(zhǎng)：全=短：長(zhǎng).
根據(jù)定義，我們可以知道一條線段有幾個(gè)黃金分割點(diǎn)？（生答：2個(gè)） 另一個(gè)位于？（靠近A的位置）它到A的距離和這里C到B的距離相等。 什么是黃金比？（AC:AB）也是？(BC:AC)
【研究美】
任務(wù)一：根據(jù)黃金分割的定義，計(jì)算黃金比. 那么這個(gè)黃金比是多少呢？你能用所學(xué)知識(shí)求出來嘛？ （有生舉手）請(qǐng)同學(xué)們小組討論一下。
（討論后）請(qǐng)同學(xué)來說一下思路。（設(shè)AC=x，AB=1,根據(jù)定義x：1=（1-x）：x）具體的計(jì)算由學(xué)生在導(dǎo)學(xué)案上完成。注意最后求出x還要比一下才是黃金比。
討論為什么是0.618 當(dāng)52.236»時(shí)，
51
0.6182
-».那么什么時(shí)候我們用0.618？什么時(shí)候用51
2
-？一個(gè)是近似值，一個(gè)是精確值。在比例關(guān)系式51==2-長(zhǎng)短全長(zhǎng)中，
已知長(zhǎng)可不可以求出全？可不可以求出短？已知短，可以求出其他兩個(gè)量嗎？長(zhǎng)呢？在這里，已知一個(gè)邊，就可以把其他兩邊求出來。 討論黃金比還能對(duì)應(yīng)哪些相關(guān)數(shù)值
那么如果現(xiàn)在我們?nèi)鐖D知道AB是2，AC是？（51-）BC是？（35-），那么我們還能求出
35
=2
-短全，這個(gè)值約為多少如何快速計(jì)算？（設(shè)AB=1）
約為0.382.
此外，我們還能求出哪些比？
25-1===5-13-5
全長(zhǎng)長(zhǎng)短 設(shè)AC=1,BC=0.618,AB=1.618,比值就約為0.618.
此外，我們還能求出2
=3-5
全短這個(gè)比值約為2.618.感興趣的同學(xué)可以課后想一想這個(gè)比值如何巧妙計(jì)算.
這些相關(guān)數(shù)據(jù)，我們不要求大家記憶，但是我們見到這些數(shù)0.382 1.628 2.618仍然符合黃金分割.我們最常用的還是黃金比. 揭示課前2分鈴給出的黃金分割圖形美的奧秘
（與課前2分鈴內(nèi)容進(jìn)行呼應(yīng)，也為后面的應(yīng)用做鋪墊）
那么知道0.618是怎么來的以后，聰明的你能不能揭示我們之前展示的圖片中的部分奧秘？
這三幅攝影作品，哪副更能體現(xiàn)小松鼠凝視前方？（生解釋）
這幅作品為什么美？（生解釋）
這幅圖呢？（生解釋）
那么同學(xué)們以后一定會(huì)知道怎樣把風(fēng)景拍的美，把人拍的漂亮. 任務(wù)二：利用黃金比計(jì)算.
同學(xué)們有沒有現(xiàn)場(chǎng)看演出的經(jīng)歷？主持人報(bào)幕的時(shí)候是站在舞臺(tái)的正中央嗎？（不是，站在黃金分割位）
1. 電視主持人在主持節(jié)目時(shí)，站在舞臺(tái)的黃金分割點(diǎn)處最自然得體.若舞臺(tái)AB長(zhǎng)為30m，主持人應(yīng)走到離A點(diǎn)至少 m處，如果他向B點(diǎn)再走 m，也處在比較得體的位置.（結(jié)果精確到0.1m）
注意這里結(jié)果精確到0.1，所以我們黃金比可以用0.618.
花瓣中有沒有黃金分割？葉子中有沒有黃金分割？根據(jù)科學(xué)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，相鄰兩片葉子的夾角與圓周的比符合黃金分割時(shí)，葉子生長(zhǎng)的更快。單片葉子中也有黃金分割。
2. 葉子的葉柄PN和主葉脈MP的比符合黃金比，已知主葉脈長(zhǎng)MP為2，則葉柄長(zhǎng)PN= ，葉子長(zhǎng)MN= .
這是我們剛才展現(xiàn)的古琴，音樂中也有黃金分割嗎？弦樂器在黃金分割點(diǎn)處產(chǎn)生的泛音最為悅耳動(dòng)聽，大家想不想聽一聽古琴彈奏出的聲音？（播放一段古琴的聲音）古琴的聲音為什么這么優(yōu)美動(dòng)聽呢？因?yàn)榍傧业墓潭c(diǎn)C在琴弦AB的黃金分割點(diǎn)處.
3. 中國的古琴上也處處體現(xiàn)了黃金分割的神奇.琴弦的兩個(gè)端點(diǎn)A、B固定在樂器板面上，支撐點(diǎn)C是靠近點(diǎn)B的黃金分割點(diǎn)，如果CB的長(zhǎng)為()
4035-，你能求出這個(gè)古琴琴弦有多長(zhǎng)嗎？
這個(gè)題，先不要著急做，思考用哪種比例最方便.（生展示，講解） 【創(chuàng)造美】
研究巴臺(tái)農(nóng)神廟中的黃金分割
在剛才展示的圖片中還有巴臺(tái)農(nóng)神廟，它也符合黃金分割嗎？ 1.黃金矩形
古希臘時(shí)期的巴臺(tái)農(nóng)神廟為圖中的矩形ABCD，以矩形ABCD的寬為邊在其內(nèi)部作正方形AEFD，那么，我們可以驚奇的發(fā)現(xiàn)
BEBC
BCAB
=想一想：點(diǎn)E是AB的黃金分割點(diǎn)嗎？矩形ABCD寬與長(zhǎng)的比是黃金比嗎？
（生回答）
我們把寬和長(zhǎng)的比是黃金比的矩形叫做黃金矩形。
總結(jié)：求一個(gè)點(diǎn)是否是線段的黃金分割點(diǎn)，即判斷是否符合
51==2
-長(zhǎng)短全長(zhǎng). 如果在黃金矩形里以寬為邊剪下一個(gè)正方形，那么留下的還是黃金矩形
嗎？
這個(gè)操作我們可以無限進(jìn)行，這樣我們就能得到黃金曲線。就可以揭示我們剛才看到的鸚鵡螺曲線怎么得到，我們的宇宙也符合黃金分割。 2.作任意線段的黃金分割點(diǎn)
黃金分割既然如此神奇，我們能不能作出一條線段的黃金分割點(diǎn)呢？老師現(xiàn)在有個(gè)辦法，你看看能不能解釋。小組討論。
采用如下方法可以得到黃金分割點(diǎn)：如圖，設(shè)AB是已知線段，經(jīng)過點(diǎn)B作BD⊥AB,使1
2
BDAB=；連接DA,在DA上截取DE=DB；在AB上截取AC=AE.點(diǎn)C就是線段AB的黃金分割點(diǎn).你能說說其中的道理嗎？ （生上臺(tái)講解）
進(jìn)一步檢測(cè)學(xué)生對(duì)于黃金分割知識(shí)的理解和應(yīng)用。 【總結(jié)美】 1.你有哪些收獲？ 2.你有哪些困惑？
學(xué)生來總結(jié)，教師做結(jié)語。黃金分割具有嚴(yán)格的比例性、藝術(shù)性、和諧性，蘊(yùn)藏著豐富的美學(xué)價(jià)值。在生產(chǎn)、生活實(shí)際、經(jīng)濟(jì)和科學(xué)實(shí)驗(yàn)中都有大量應(yīng)用。我國著名的數(shù)學(xué)家華羅庚致力于黃金分割優(yōu)選法，為我們節(jié)省了大量的財(cái)力、物力。黃金分割在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中也有大量應(yīng)用，可以用于炒股。生活中還有大量的黃金分割，希望同學(xué)們學(xué)完今天的課程后能夠發(fā)現(xiàn)生活中更多的黃金分割，讓生活更豐富美麗。 作業(yè)（在實(shí)際生活中運(yùn)動(dòng)黃金分割創(chuàng)造美）：
必做：新課堂4.4 第4節(jié)，幫你最喜歡的一位女士計(jì)算一下她適合穿多高的高跟鞋.
選做：動(dòng)手制作—金字塔.
視頻來源：優(yōu)質(zhì)課網(wǎng) www.jjlqy.cn
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