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視頻標(biāo)簽：向量法,求空間的角

所屬欄目：高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課視頻

視頻課題：高中數(shù)學(xué)人教A版選修2-1第三章《利用向量法求空間的角》四川

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高中數(shù)學(xué)人教A版選修2-1第三章《利用向量法求空間的角》四川省蒼溪

《利用向量法求空間的角》教學(xué)設(shè)計(jì) 
一、內(nèi)容和內(nèi)容解析 
向量的引入，進(jìn)一步發(fā)展和完善了中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)體系。向量作為中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的交匯點(diǎn)，通過(guò)對(duì)傳統(tǒng)問(wèn)題的分析，幫助學(xué)生建立代數(shù)與幾何的聯(lián)系，構(gòu)造學(xué)生知識(shí)的網(wǎng)絡(luò)，也為中學(xué)數(shù)學(xué)向高等數(shù)學(xué)的過(guò)渡打下良好的基礎(chǔ)。 
立體幾何是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是歷年高考的重要考點(diǎn)之一。從近兩年高考試題可以看出，求“空間角”是每年必考內(nèi)容，往往重點(diǎn)考察向量法。 
用空間向量處理立體幾何問(wèn)題，體現(xiàn)了向量的工具性，該方法把復(fù)雜的分析、推理證明以及輔助線的作法，轉(zhuǎn)化為空間向量的代數(shù)運(yùn)算，降低了空間想象和演繹推理的難度，體現(xiàn)了由“形”轉(zhuǎn)“數(shù)”的轉(zhuǎn)化思想進(jìn)而提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率。 
二、目標(biāo)和目標(biāo)解析 
 （一）教學(xué)目標(biāo) 
1. 掌握用向量法求空間角的基本步驟； 2. 熟練應(yīng)用向量法解決與空間的角有關(guān)的問(wèn)題。  （二）教學(xué)目標(biāo)解析 
1．本節(jié)課的內(nèi)容脈絡(luò)是：通過(guò)對(duì)幾個(gè)公式的回顧，建構(gòu)起用向量法求空間角的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，再利用例1讓學(xué)生熟悉向量法求空間角的基本步驟；通過(guò)對(duì)例2的解決，讓學(xué)生能力得到提升；通過(guò)幾個(gè)變式練習(xí)，讓學(xué)生及時(shí)鞏固，從而掌握本節(jié)的內(nèi)容。  
2．這節(jié)課在熟悉高考中的常見(jiàn)考法的同時(shí)，讓學(xué)生熟練掌握用向量法求解空間角的一般方法和步驟，同時(shí)建立起在學(xué)生今后學(xué)習(xí)中歸納、總結(jié)的習(xí)慣，提高自學(xué)的效率。 
三、學(xué)情和教學(xué)重難點(diǎn)分析 
高三第一輪復(fù)習(xí)是整個(gè)高考復(fù)習(xí)的基石，它將為第二、三輪復(fù)習(xí)提供扎實(shí)的基礎(chǔ)。其過(guò)程主要是對(duì)知識(shí)、方法的梳理、歸納和總結(jié)，通過(guò)典例分析和變式練習(xí)，使學(xué)生將自進(jìn)入高中以來(lái)所學(xué)過(guò)的各章節(jié)的知識(shí)系統(tǒng)化，達(dá)到鞏固雙基的目的。這是全面復(fù)習(xí)的重要時(shí)機(jī)，也是學(xué)生查漏補(bǔ)缺的好機(jī)會(huì)。 
在本節(jié)課之前，學(xué)生已經(jīng)復(fù)習(xí)了空間角的幾何求法，也全面復(fù)習(xí)了平面向量的相關(guān)知識(shí)，而空間向量作為平面向量的拓展，學(xué)生通過(guò)類比的方法對(duì)其基本運(yùn)算也能較好的掌握。 
本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是對(duì)幾個(gè)公式正確理解和應(yīng)用。難點(diǎn)是在某些探究性問(wèn)題中，未知點(diǎn)坐標(biāo)的設(shè)法和求法。易錯(cuò)點(diǎn)有兩個(gè)，一個(gè)是利用直線的方向向量與平面的法向量來(lái)求直線與平面所成的角時(shí)，應(yīng)取直線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角的余角；二是在利用平面的法向量求二面角的大小時(shí)，兩個(gè)向量的夾角與二面角的平面角相等還是互補(bǔ)，是學(xué)生的易錯(cuò)易混點(diǎn)。 
四、教學(xué)策略分析 
1、教法和學(xué)法分析  
蒼溪中學(xué)高效課堂流程圖               
（1）合作學(xué)習(xí) 
在課前，通過(guò)上節(jié)課的“下節(jié)預(yù)告”環(huán)節(jié)，把相關(guān)知識(shí)提綱交給學(xué)生，讓
其在課余通過(guò)合作交流，得到自己的成果；在課堂上讓學(xué)生做學(xué)習(xí)的主人，通過(guò)同桌或小組合作學(xué)習(xí)，學(xué)生自主探究問(wèn)題，解決問(wèn)題。 （2）展示成果 
讓學(xué)生來(lái)展示學(xué)習(xí)成果。展示的形式主要有板書(shū)展示、口頭展示等。在展示的過(guò)程中，其它同學(xué)認(rèn)真傾聽(tīng)，積極思考，對(duì)存在的問(wèn)題提出置疑和不同的見(jiàn)解，未解決的問(wèn)題則由其他同學(xué)解決。通過(guò)展示調(diào)動(dòng)學(xué)生的內(nèi)趨力來(lái)推動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程和課堂教學(xué)任務(wù)的完成。2 
教師提出問(wèn)題 學(xué)生合作探究 學(xué)生課堂展示 教師精講點(diǎn)撥 學(xué)生對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練 教師評(píng)價(jià)小結(jié) 
教師下節(jié)預(yù)告 
                           
                  
                           
                                                                       第 3頁(yè)（共7頁(yè)） 
（3）精講點(diǎn)撥 
“高效課堂”強(qiáng)調(diào)以生為本。在課堂上，教師要精講，善抓重點(diǎn)，突破難點(diǎn)，教會(huì)學(xué)生剖析知識(shí)的邏輯方法，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)入更廣闊的思維空間。精講要求教師講到“點(diǎn)”上。要根據(jù)學(xué)生展示的情況來(lái)決定精講點(diǎn)撥的內(nèi)容。課堂靈活度大，教師要在課前做好充分的準(zhǔn)備。2-1 （4）對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練 
在每節(jié)課中都設(shè)置了對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練，檢驗(yàn)學(xué)生掌握情況。教師可由題目完成情況及時(shí)調(diào)整教學(xué)進(jìn)度。 （5）評(píng)價(jià)小結(jié) 
教師的評(píng)價(jià)在高效課堂教學(xué)環(huán)節(jié)中主要體現(xiàn)在兩處：一處是隨時(shí)進(jìn)行的即時(shí)評(píng)價(jià)，在學(xué)習(xí)過(guò)程中把握時(shí)機(jī)，給予學(xué)生適時(shí)的、適當(dāng)?shù)墓膭?lì)、表?yè)P(yáng)，讓學(xué)生體驗(yàn)成功的喜悅，激發(fā)積極的情感，從而使學(xué)生產(chǎn)生濃厚的學(xué)習(xí)興趣。評(píng)價(jià)必須切中要害，實(shí)事求是，好與不足，必須具體而明確，絕不可以模棱兩可。一句好的評(píng)價(jià)語(yǔ)，應(yīng)該是在激勵(lì)學(xué)生的同時(shí)，能進(jìn)一步打開(kāi)他的思路，激發(fā)他們深入探究的欲望；另一處則是在課堂教學(xué)結(jié)束時(shí)的總體評(píng)價(jià)，這既是本節(jié)課教學(xué)環(huán)節(jié)的完美結(jié)局，又是下一節(jié)課教學(xué)環(huán)節(jié)的強(qiáng)有力的前奏，成為前后兩節(jié)課教學(xué)環(huán)節(jié)之間不著痕跡的過(guò)渡。 （6）下節(jié)預(yù)告 
下節(jié)預(yù)告是教師布置本節(jié)課的課后作業(yè)和下一節(jié)課的學(xué)習(xí)目標(biāo)，以便學(xué)生在自習(xí)時(shí)間鞏固本節(jié)內(nèi)容和預(yù)習(xí)下節(jié)的內(nèi)容。  2、教輔手段  多媒體輔助教學(xué)。 
五、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì) 
本節(jié)課的教學(xué)過(guò)程：  
(環(huán)節(jié)一) 基礎(chǔ)知識(shí)梳理（課前布置，課堂學(xué)生展示結(jié)果，教師點(diǎn)撥。） 
一 概念回顧： 
1．什么是直線的方向向量？ 2.什么是平面的法向量？3．空間角有哪些？其范圍分別是什么？ (1)兩異面直線所成的角的范圍       ；(2)直線和平面所成的角的范圍         ；(3)二面角的范圍         。 
 
                           
                  
                           
                                                                       第 4頁(yè)（共7頁(yè)） 
二 公式回顧：（利用空間向量求空間角） 
(1)求兩條異面直線所成的角   設(shè)a,b
分別是兩異面直線1l,2l的方向向量，1
l與2l所成的角θ，a與b的夾角〈a，b
〉，則cos                   。 
(2)求直線與平面所成的角   設(shè)直線l的方向向量為a
，直線l與平面所成的
角為θ，①平面的法向量為n
，則sin                       。 
②直線在平面內(nèi)的射影直線的方向向量為b
，則                      。 
(3)求二面角的大小   ①若AB、CD分別是二面角－l－的兩個(gè)面內(nèi)與棱l垂直的異面直線，則二面角的大小就是向量AB→與CD→的夾角（或其補(bǔ)角）的大小(如圖①)。 
②設(shè)1n，2n分別是二面角－l－的兩個(gè)面，的法向量，則向量1n與2n的
夾角(或其補(bǔ)角)的大小就是二面角的平面角的大小(如圖②③)。  
【設(shè)計(jì)意圖】幫助學(xué)生復(fù)習(xí)基礎(chǔ)知識(shí)，為后續(xù)內(nèi)容作鋪墊。 
教師展示PPT，給出答案，并引導(dǎo)學(xué)生對(duì)類似知識(shí)進(jìn)行總結(jié)梳理，并就易混淆知識(shí)點(diǎn)著重提醒。 
（環(huán)節(jié)二） 鞏固練習(xí)（教師課件顯示，學(xué)生迅速獨(dú)立完成。） 
1．設(shè)a＝(－2，2，1)，b
＝(3，－1，2)分別是異面直線m，n的方向向量．則
直線m，n所成角的余弦值為        .  
2．若平面的一個(gè)法向量n＝(4，1，1)，直線l的一個(gè)方向向量為a
＝(-2，－3，3), 則l與所成角的正弦值為        。  
3．(人教A版教材習(xí)題改編)設(shè)u＝(－2，2，5)，v
＝(6，－4，4)分別是平面，
的法向量，則與所成的角為        。 【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)練習(xí)，鞏固公式。 
(環(huán)節(jié)三) 典例分析 
【例1】 (2013·江蘇高考改編) 
如圖，在直三棱柱A1B1C1—ABC中， AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1A＝4，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)． 
 (1)求異面直線A1B與C1D所成角的余弦值； 
12cos
cos,nn
 
                           
                  
                           
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 (2)求直線C1D與平面ABA1所成角的正弦值；  (3)求平面ADC1與平面ABA1所成二面角的正弦值。 （教師點(diǎn)撥，學(xué)生嘗試解答） 答案（1）
31010（2）26（3）5
3
 【師生互動(dòng)】 
教師提問(wèn)，請(qǐng)學(xué)生思考“利用向量法求空間角”的基本步驟是什么；學(xué)生通過(guò)獨(dú)立思考得出結(jié)論并積極展示；教師給予及時(shí)的肯定與恰當(dāng)?shù)难a(bǔ)充，最終形成結(jié)論。 【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)本例讓學(xué)生掌握利用向量法求解空間角的基本步驟。 
方法提煉：向量法求解空間角的基本步驟：建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；找
出各相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；求出各相關(guān)直線的方向向量、相關(guān)平面的法向量；求出這兩個(gè)向量的夾角或其正、余弦值，進(jìn)而求解空間角的正、余弦值。 【例2】(2014·崇州一診改編) 
如圖，正方形ABCD所在平面與等腰三角形EAD所在平面相交于AD，AE⊥平面CDE. 
(1)求證：AB⊥平面ADE； 
(2)在線段BE上是否存在點(diǎn)M，使得直線AM與平面EAD所成角的正弦值為6
3，
若存在，試確定點(diǎn)M的位置，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。                              
 
答案（1）略 （2）存在，M為BE的中點(diǎn)。 
【設(shè)計(jì)意圖】使學(xué)生體會(huì)坐標(biāo)法解決立體幾何中的探究性問(wèn)題時(shí)的優(yōu)越性。 
(環(huán)節(jié)四) 變式練習(xí) 
練習(xí)1 (2014·黃山模擬改編)如圖1所示正四棱錐S－ABCD中，O為頂點(diǎn)S在底面上的射影，P為側(cè)棱SD的中點(diǎn)，且SO＝OD，則直線BC與平面PAC所成的角是________，二面角P-SA-B的余弦值為          。 
 
                           
                  
                           
                                                                       第 6頁(yè)（共7頁(yè)） 
                          
        圖1                                     圖2  
【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生了解當(dāng)體會(huì)在用平面的法向量求二面角時(shí)，必須弄清所求的二面角是銳二面角還是鈍二面角。 
練習(xí)2 (2014·南山中學(xué)月考)如圖2，在三棱錐P­ABC中，AB＝AC，D為BC的中點(diǎn)，PO⊥平面ABC，垂足O落在線段AD上，已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2。 
(1)證明：AP⊥BC； 
(2)在線段AP上是否存在點(diǎn)M，使得二面角A­MC­B為直二面角？若存在，求出AM的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。 
【設(shè)計(jì)意圖】鞏固用坐標(biāo)法解決與空間角相關(guān)的逆向問(wèn)題，深刻體會(huì)解決問(wèn)題的關(guān)鍵是對(duì)未知點(diǎn)坐標(biāo)的設(shè)法和求法。 
(環(huán)節(jié)五)  課堂小結(jié) 
一 規(guī)律方法：  
1、利用向量法求異面直線所成的角時(shí)，兩異面直線所成角的范圍是θ∈
0，π2，兩向量的夾角α的范圍是[0，π]，所以要注意二者的區(qū)別與聯(lián)系，
應(yīng)有cos θ＝|cosα|。 
2、利用向量法求線面角的方法： 
(1)分別求出斜線和它在平面內(nèi)的射影直線的方向向量，轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)方向向量的夾角(或其補(bǔ)角)； 
(2)通過(guò)平面的法向量來(lái)求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角，或鈍角的補(bǔ)角，取其余角就是斜線和平面所成的角，有sinθ＝|cosα|。 
3、利用向量法求二面角的方法： 
(1)分別在二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)找一個(gè)與棱垂直的向量，則這兩個(gè)向量的夾角或其補(bǔ)角的大小，就是二面角的平面角的大小； 
(2)通過(guò)平面的法向量來(lái)求：設(shè)二面角的兩個(gè)半平面的法向量分別為1n和2n，
 
                           
                  
                           
                                                                       第 7頁(yè)（共7頁(yè)） 
則二面角的大小等于〈1n，2n〉(或π－〈1n，2n
〉)。應(yīng)注意結(jié)合圖形判斷二面角
是銳角還是鈍角。有|cosθ|＝|cosα|。 
4、利用向量法求解與空間角有關(guān)的探究性問(wèn)題等時(shí)，未知點(diǎn)坐標(biāo)的求法是關(guān)鍵，往往通過(guò)共線向量定理，利用向量共線的充要條件來(lái)處理。解題時(shí)，要把成立的結(jié)論當(dāng)成條件，據(jù)此列出方程或方程組，把“是否存在”問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“點(diǎn)的坐標(biāo)是否有解，是否有規(guī)定范圍內(nèi)的解”的問(wèn)題等。其實(shí)質(zhì)，是把空間位置關(guān)系的確立、探索過(guò)程，轉(zhuǎn)化為“方程（組）的解”的問(wèn)題，即“幾何問(wèn)題”轉(zhuǎn)化為“代數(shù)問(wèn)題”。 
六、 板書(shū)設(shè)計(jì) 
向量法求空間的角              
1、異面直線所成的角 
                               投影區(qū)域                 學(xué)生展示區(qū)域 
2、直線和平面所成的角                                                         
   
3、二面角

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