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視頻標簽：二次函數的圖像,拋物線
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：人教A版高二數學選修2-1第二章《為什么二次函數的圖像是拋物線》寧夏 - 銀川
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《為什么二次函數的圖像是拋物線》教學設計
教材：人教版《普通高中課程標準實驗教科書·數學（A版）》選修2-1 課題：2.4探究與發現 為什么二次函數的圖像是拋物線 課時：1課時 一.教學內容分析
二次函數2+bx+c0yaxa的圖像及其性質的應用在高中數學教學內容中占有重要地位，而拋物線及其幾何性質是圓錐曲線一章中繼橢圓，雙曲線后的第三節內容。本節課是拋物線及其幾何性質后的“課后探究與發現”內容，學生在充分學習拋物線的概念、幾何性質之后，從曲線與方程的角度探究“為什么二次函數的圖像是拋物線”，它能夠讓學生進一步了解拋物線的幾何特性，同時豐富學生的知識閱歷。
因此，我認為本節課的教學重點為：為什么二次函數2+bx+c0yaxa的圖像是拋物線的發現、探究及證明。
二．教學目標設置
1.回顧初中數學教材對拋物線的定義，引發學生思考“為什么二次函數
2+bx+c0yaxa的圖像是拋物線”，培養學生發現問題的意識。
2.引導學生探究“為什么二次函數2+bx+c0yaxa的圖像是拋物線”，讓學生在經歷經歷觀察、分析、操作、論證、歸納的認知過程，體會知識之間的內在聯系，理解知識的本質；體會運用化抽象為具體、由特殊到一般等數學的思維來解決問題的方式；體會其中蘊含的數形結合、轉化和化歸等數學思想方法。
三．學生學情分析
本節課的授課年級是高二理科學生。從知識方面來說。在高一年級已接觸了解析幾何初步，學習了直線與圓，高二又學習了橢圓、雙曲線與拋物線的定義、標準方程及其幾何性質，對解析幾何的基本思想方法有了一定的認識。基本掌握了求曲線方程的一般方法，對圖像的平移變換規律也有一定的了解和應用；從能力方面來說，具備了一定的知識遷移、歸納概括和分析問題、解決問題的能力。
2
并對數形結合、化歸、綜合法及分析法等數學思想方法有一定的感悟。
因此，我認為本節課的教學難點為：探究二次函數2+bx+c0yaxa的圖像是拋物線的方法，及其推演過程。
四．教學策略分析
根據已有學習基礎，為提升學生的學習能力，本節課的教學采用合作學習、自主探究的方式。
（1）完成學案中的課前預習部分，解決兩個問題。一是函數圖像變換的方法：坐標平移或向量平移；二是解決求證某個二次函數圖像是拋物線的問題，為后續探究二次函數圖像是拋物線做鋪墊。
（2）提出課題后，請學生說明判斷二次函數2+bx+c0yaxa圖像是拋物線的方法，確定本節課的研究方案；
（3）運用轉化化歸的數學思想方法，從特殊到一般層層剖析為什么二次函數2+bx+c0yaxa的圖像是拋物線。
同時，本節課充分運用了多媒體信息技術，通過圖形的變換輔助學生理解圖像的變換，提升數形結合的意識和能力。
五、教學過程設計 1.提出問題
【引課】前面我們類比橢圓、雙曲線的學習過程，研究了拋物線的定義、標準方程及其簡單幾何性質。然而，在初中階段我們就已經接觸拋物線了。
【展示】初中數學教材對拋物線的說明。
（教師：初中教材指出二次函數的圖像是拋物線，但并沒有說明原因） 【問題1】你認為二次函數的圖像拋物線和我們學習的拋物線是一致的嗎？ （請學生相互談論，說明自己的看法。
生一：一致的。二次函數對應的拋物線是開口向上或向下的拋物線； 生二：一致的。不知道原因。）
【過渡】同學們主觀上認為二次函數的圖像就是我們學習的拋物線，那么原因是什么呢？本節課我們就來探究這個問題——為什么二次函數
2+bx+c0yaxa的圖像是拋物線？（引入課題）
3
2.新知探究
【問題2】你認為判斷二次函數2+bx+c0yaxa的圖像是拋物線的方法是什么？
（請學生說明：
方法一：（定義法）二次函數圖像上的點滿足拋物線的定義；
方法二：（解析式法）二次函數的解析式可以寫成拋物線的標準方程的形式。） 【過渡】我們不妨從一個具體的二次函數入手來研究。
【問題3】你能將二次函數2
-2yxx+2寫成拋物線的標準方程的形式嗎？
（學生嘗試：2
2
-2+2=11yxxx，不是拋物線的標準方程的形式。）
【問題4】那么如何說明它的圖像是拋物線呢？
（請學生合作討論，并提出解決方法。
生：圖像平移變換2
122
-2+2=1+1yxxxyx向右平移個單位向下平移1個單位
； 教師可引導學生用向量平移表示圖像的平移變換：
2
22
-2=11MOyxxxyx,-1,1MO。
因為函數2yx的圖像是拋物線，所以函數2
-2+2yxx的圖像也是拋物線。）
【過渡】我們能否將上述過程一般化，從已知的二次函數2
yax0a是
拋物線這一結論出發進行探究呢？
【探究1】函數2
yax
0a與函數2+bx+c0yaxa的圖像間有何關
x
y
y = x2 2∙x + 2
1
2345–1
–2–3
12345
–1
–2
–3
–4
O
A
4
系？由此，你可以得到怎樣的結論？
（請學生自主探究，并相互交流探究過程，并請某生展示推導過程。
生：二次函數2
22
24=24MObacbyaxbxcaxyaxaa
，其中24,24bacbMOa
a。因為二次函數2
0yaxa的圖像是拋物線，
所以二次函數2+bx+c0yaxa的圖像也是拋物線。）
【問題5】在上述探究過程中，我們發現：當00bc或時，二次函數
2+bx+c0yaxa不能寫成拋物線標準方程的形式，產生這一現象的原因是
什么呢？
（學生說明：當b或c不等于0時，二次函數2+bx+c0yaxa的圖像的頂點不在坐標原點，所有解析式不能寫成拋物線的標準方程的形式。）
【探究2】能否由此現象出發，另辟蹊徑，說明為什么二次函數
2+bx+c0yaxa的圖像是拋物線？
（請學生合作探究完成。
生：以二次函數2+bx+c0yaxa圖像的定點為坐標原點O，對稱軸為y軸，建立平面直角坐標系xOy，在此坐標系下，二次函數的解析式可寫成
20yaxa，其為拋物線標準方程的形式，所以二次函數
2+bx+c0yaxa的圖像是拋物線。）
x
y
y = a∙x2
y = a∙x2 + b∙x + c
1
2
3
4
5
–1
1
2345
–1
–2–3O拖動
5
【拓展】嘗試確定二次函數2+bx+c0yaxa的圖像上的定點和定直線，利用定義說明二次函數2+bx+c0yaxa的圖像是拋物線。
（請學生自主探究，學生提出方案：利用拋物線定義，找出定點F和定直線l,使得二次函數圖像上的點滿足拋物線的定義。請學生展示做法：
生：從坐標平移的角度，由20yaxa的焦點坐標及準線方程，寫出二
次函數2
+bx+c0yaxa圖像上對應的點241,24bacbFaa
，及直線l
241
:4acblya，在二次函數2+bx+c0yaxa的圖像上任取一點,Mxy，
檢驗MlMFd。） 3.課堂小結
【思考】在本節課的探究過程中，運用了哪些數學思想和方法？
（請學生發言，并相互補充，教師點評即可.教師可適當總結本節課所應用的數學思想與方法.）
【設計意圖】通過對所學內容進行小結，使學生對本節內容有一個更全面的認識. 4.課后作業：
【思考】還有其他方法說明二次函數2+bx+c0yaxa的圖像是拋物線嗎？
【設計意圖】鞏固知識，升華方法，讓學生帶著問題回去，有利于學習的可持續性發展。
視頻來源：優質課網 www.jjlqy.cn
