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視頻標(biāo)簽：二次函數(shù)的圖像,拋物線
所屬欄目：高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課視頻
視頻課題：人教A版高二數(shù)學(xué)選修2-1第二章《為什么二次函數(shù)的圖像是拋物線》天津市 - 濱海新區(qū)
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《為什么二次函數(shù)的圖像是拋物線》教學(xué)設(shè)計(jì)
一、教學(xué)背景分析 （1）教學(xué)內(nèi)容分析:
本節(jié)課是普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)人教A版選修2-1第二章《圓錐曲線與方程》中的探究與發(fā)現(xiàn)，主要內(nèi)容是探究、發(fā)現(xiàn)、說明為什么二次函數(shù)的圖像是拋物線。 （2）教學(xué)對象分析：
授課班級是普通高中校的高二學(xué)生，從知識方面來說，在高一時(shí)已初步接觸了解析幾何初步，學(xué)習(xí)了直線與圓，在高二又學(xué)習(xí)了橢圓、雙曲線與拋物線這三種圓錐曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)，對解析幾何的基本思想方法有了一定的認(rèn)識，基本掌握了求曲線方程的一般方法，對圖像的平移變換規(guī)律也有一定的了解和應(yīng)用；從能力方面來說，具備了一定的知識遷移、歸納概括和分析問題、解決問題的能力，并對數(shù)形結(jié)合、化歸等數(shù)學(xué)思想方法有一定的感悟。 （3）環(huán)境分析：
根據(jù)本節(jié)課教學(xué)內(nèi)容的特點(diǎn)，為了更直觀、動態(tài)的展示圖像平移變換及曲線上任意點(diǎn)的數(shù)學(xué)特征，我借助了幾何畫板這一軟件；為了快速大容量的呈現(xiàn)教學(xué)內(nèi)容與學(xué)生作品反饋，我借助了PPT、投影機(jī)，通過將信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課堂教學(xué)有機(jī)的融合，使本節(jié)課達(dá)到了較好的教學(xué)效果，突破了本節(jié)課的難點(diǎn)。 二、教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)重難點(diǎn) （1）教學(xué)目標(biāo)：
①在教師引導(dǎo)下，讓學(xué)生自主探究“二次函數(shù)的圖像與拋物線的區(qū)別與聯(lián)系”從中尋求適當(dāng)?shù)姆椒▉碚f明“為什么二次函數(shù)的圖像是拋物線”，進(jìn)而揭示二者之間的本質(zhì)聯(lián)系。
②引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷觀察、分析、操作、論證、歸納的認(rèn)知過程，讓學(xué)生在經(jīng)歷的過程中體會知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，理解知識的本質(zhì)；學(xué)會運(yùn)用化抽象為具體、由特殊到一般等數(shù)學(xué)的思維來思考問題的方式；體會其中所蘊(yùn)含的數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想方法，逐步提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力與分析問題解決問題的能力，進(jìn)而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。
③通過回顧高一物理學(xué)科的拋體運(yùn)動以及生活中的拋物線的應(yīng)用實(shí)例，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，數(shù)學(xué)家名言的引入，再次讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)就在我身邊，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。 （2）教學(xué)重點(diǎn)：
“為什么二次函數(shù)的圖像是拋物線”的探究、發(fā)現(xiàn)與證明。 （3）教學(xué)難點(diǎn)：
如何尋求適當(dāng)?shù)姆椒▉碚f明“為什么二次函數(shù)的圖像是拋物線”。 三、教學(xué)過程 環(huán)節(jié) 教學(xué)內(nèi)容
師生活動
設(shè)計(jì)意圖
（一） 復(fù)習(xí)回顧
問題導(dǎo)入 [問題一]
我們在初中數(shù)學(xué)與高中數(shù)
學(xué)的學(xué)習(xí)中多次提到了拋物線，你能回顧一下與拋物線相關(guān)的學(xué)習(xí)嗎？
[問題二]
這兩個(gè)拋物線之間到底有什么區(qū)別,又有什么聯(lián)系呢？
[問題三]
我們從以上三方面說明了
二者之間的區(qū)別，那么二者
學(xué)生回憶拋物線
的學(xué)習(xí)經(jīng)歷，并做出回答：初中首次接觸拋物線，是二次函數(shù)的圖像，高中真正的學(xué)習(xí)了
拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)。
教師引導(dǎo)學(xué)生尋找問題的切入點(diǎn),學(xué)生獨(dú)立思考,獲得二者在開口方
向、頂點(diǎn)坐標(biāo)、對稱軸方面的不同。
新課標(biāo)理念提倡：
注重聯(lián)系、提高對
數(shù)學(xué)整體的認(rèn)識。意在讓學(xué)生用聯(lián)系的觀點(diǎn)分析思考問題，為更好的
體會知識之間的內(nèi)在聯(lián)系作準(zhǔn)備。
意在同中求異，為之后二者之間的合理轉(zhuǎn)化作鋪墊。
的本質(zhì)是一樣的嗎？為什么二次函數(shù)的圖像是拋物線呢？這是我們本節(jié)課所探究的問題。
教師板書題目
導(dǎo)入課題
（二）
自主探究 初得方法 [問題四]
為什么二次函數(shù)的圖像是拋物線呢？如何來證明
呢？你能想到從什么角度來說明這個(gè)問題嗎？
[問題五]
如果我們能用適當(dāng)?shù)姆椒▽⒍魏瘮?shù)的解析式轉(zhuǎn)化為拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的某種
形式的話，就可以說明為什么二次函數(shù)的圖像是拋物
線了。那可以用哪種方法進(jìn)行轉(zhuǎn)化呢？
學(xué)生自主探究，交流討論。教師引導(dǎo)啟發(fā)學(xué)生的思維。 學(xué)生獲得思考角度：從解析式出發(fā)。
①教師引導(dǎo)學(xué)生由解析式分析圖
形的特點(diǎn)，再由圖形的合理轉(zhuǎn)化分析得到解析式的
轉(zhuǎn)化方法——圖像的平移變換。
②學(xué)生任意給出一個(gè)具體的二次
函數(shù)解析式，教師借助幾何畫板展示圖像的平移變
化過程，并由學(xué)生
邏輯結(jié)構(gòu)的熏陶是中學(xué)數(shù)學(xué)的“靈魂”，是培養(yǎng)學(xué)生理性精神的特有載體。意在激發(fā)學(xué)生的理性思維，尋求合適的推理方法與推理依據(jù)。
由數(shù)思形、由形想數(shù)。意在讓學(xué)生化
抽象為具體，學(xué)會
用數(shù)學(xué)的思維思考問題。
幾何畫板直觀動態(tài)演示圖像的平
移變化過程及其相應(yīng)的解析式的變化，意在讓學(xué)生
親身經(jīng)歷觀察、分
觀察圖像變化過程中解析式的變化情況。
③學(xué)生總結(jié)歸納得出任意的一個(gè)二次函數(shù)的解析式轉(zhuǎn)化為拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的形式
的過程。學(xué)生板書結(jié)果。
析、操作的過程，并在解決問題的過程中，體會其中所蘊(yùn)含的數(shù)形結(jié)合的思想方法。
由特殊到一般，由具體到抽象，歸納得出結(jié)論，意在讓學(xué)生在經(jīng)歷的過程中，領(lǐng)會用數(shù)學(xué)
的思維解決問題的方法。 （三）
結(jié)論延伸 再獲新法 [問題六]
既然二次函數(shù)的圖像是拋
物線，那么二次函數(shù)的圖像是不是也有所謂的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線呢？
[問題七]
那此時(shí)你們是否想到用別的方法來說明為什么二次函數(shù)的圖像是拋物線呢？
教師給出一具體
的二次函數(shù)解析
式，學(xué)生獨(dú)立思
考，獲得方法，并進(jìn)行計(jì)算。教師巡回指導(dǎo)。
學(xué)生回答定義法，并闡述了具體的
操作方法：求平面內(nèi)到該定點(diǎn)與定直線距離相等的點(diǎn)的軌跡方程是否恰好為該二次
既是對平移知識的再次應(yīng)用，同時(shí)也為尋求新的證
明方法作好鋪墊。
意在鍛煉學(xué)生的發(fā)散性思維，獲得
新的證明方法。
函數(shù)的解析式，如何是就能說明這個(gè)二次函數(shù)的圖像是拋物線了。
學(xué)生利用曲線與
方程的知識，用求曲線方程的一般
方法獲得結(jié)果，證明了結(jié)論。投影儀投影學(xué)生作品，并講解主要過程。
教師再次借助幾何畫板演示二次函數(shù)圖像上的點(diǎn)是否滿足拋物線的定義。
意在規(guī)范學(xué)生步
驟，鍛煉學(xué)生的語言表達(dá)能力和現(xiàn)
場表現(xiàn)力。
意在直觀驗(yàn)證、再次證明結(jié)論。
（四）
知識拓展 注重聯(lián)系 [問題八]
通過以上探究，我們用兩種方法證明了為什么二次函
數(shù)的圖像是拋物線，那你們有沒有想過為什么把具有這種幾何特征的曲線命名為拋物線呢？讓我們一起來回顧高中物理中的拋體運(yùn)動。
PPT 呈現(xiàn)物理課本上的拋體運(yùn)動
的定義及其運(yùn)動規(guī)律。師生共同獲得拋物線這個(gè)名稱的由來。
新課標(biāo)提倡：在高中數(shù)學(xué)的教學(xué)中，不僅要注重?cái)?shù)學(xué)的不同分支和不同內(nèi)容之間的聯(lián)系，也要注重?cái)?shù)學(xué)與其它學(xué)科的聯(lián)系。意在通過知識的遷移，理解知識
的本質(zhì)。
（五） 課堂小結(jié)
高度概括 [問題九]
本節(jié)課同學(xué)們都學(xué)到了什
么？
學(xué)生概括所學(xué)內(nèi)容。
教師再度深化：其實(shí)二次函數(shù)的圖像與拋物線本質(zhì)是一樣的，只是由研究問題的所需建系方法不同而已。
意在提高學(xué)生的
概括能力，并深化理解本質(zhì)所在。
（六） 走進(jìn)生活
體會應(yīng)用 [問題十]
拋物線在生活、生產(chǎn)中都有著廣泛的應(yīng)用。你們能舉出實(shí)例嗎？最后讓我們一起走進(jìn)生活中的拋物線吧。
以數(shù)學(xué)家的名言結(jié)束本節(jié)內(nèi)容。
學(xué)生舉實(shí)例。
教師也舉出一些
實(shí)例，比如汽車前照燈、聚光太陽灶等。
注重?cái)?shù)學(xué)知識與實(shí)際的聯(lián)系，發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識，
激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。
（七）
作業(yè)布置 類比可想，初中我們學(xué)習(xí)了反比例函數(shù)的圖像雙曲線，
你能利用高中所學(xué)的雙曲線知識來說明為什么反比例函數(shù)的圖像是雙曲線嗎？
意在通過類比，遷移獲得新的問題的求解途徑，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。
四、教學(xué)反思與自我評價(jià)
（1）本節(jié)課位于普通高中數(shù)學(xué)人教A版選修2-1第二章《圓錐曲線與方程》中的探究與發(fā)現(xiàn)欄目，是一個(gè)不足以引起我們高度重視的欄目。但經(jīng)過較長時(shí)間的學(xué)習(xí)和思考，發(fā)現(xiàn)本節(jié)內(nèi)容的教學(xué)無論是對知識的本質(zhì)理解還是對基本的數(shù)學(xué)思
維方法的掌握，還是對數(shù)學(xué)思想方法的滲透，還是對數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值的體會都有著非常重要的作用，根據(jù)新課標(biāo)理念及數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的要求，我確定了如下的教學(xué)目標(biāo)：
①在教師引導(dǎo)下，讓學(xué)生自主探究“二次函數(shù)的圖像與拋物線的區(qū)別與聯(lián)系”從中尋求適當(dāng)?shù)姆椒▉碚f明“為什么二次函數(shù)的圖像是拋物線”，進(jìn)而揭示二者之間的本質(zhì)聯(lián)系。
②引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷觀察、分析、操作、論證、歸納的認(rèn)知過程，讓學(xué)生在經(jīng)歷的過程中體會知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，理解知識的本質(zhì)；學(xué)會運(yùn)用化抽象為具體、由特殊到一般等數(shù)學(xué)的思維來研究問題的方法；體會其中所蘊(yùn)含的數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想方法，逐步提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力與分析問題解決問題的能力，進(jìn)而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。
③通過回顧高一物理學(xué)科的拋體運(yùn)動以及生活中的拋物線的應(yīng)用實(shí)例，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，數(shù)學(xué)家名言的引入，再次讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)就在我身邊，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。
為落實(shí)教學(xué)目標(biāo)，結(jié)合學(xué)情我采用了“教師啟發(fā)、學(xué)生探究”的互動生成的教學(xué)法，設(shè)計(jì)了如下的六個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)：
復(fù)習(xí)回顧 問題導(dǎo)入——自主探究 初得方法——結(jié)論延伸 再獲新法—— 知識拓展 注重聯(lián)系——課堂小結(jié) 高度概括——走進(jìn)生活 體會應(yīng)用。 （2）課后反思——收獲
① 本節(jié)課依據(jù)新課程理念，結(jié)合學(xué)生的知識與能力基礎(chǔ)展開教學(xué)，教學(xué)環(huán)節(jié)環(huán)環(huán)相扣，教學(xué)中力爭讓學(xué)生在教師的引導(dǎo)下自主探究、合作交流，并在探究活動的過程中揭示知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，理解知識的本質(zhì)；學(xué)會運(yùn)用化抽象為具體、由特殊到一般等數(shù)學(xué)的思維來研究問題的方法；體會其中所蘊(yùn)含的數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想方法，逐步提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力與分析問題解決問題的能力，進(jìn)而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。較好的完成了本節(jié)課的教學(xué)任務(wù)。 ②本節(jié)課注重?cái)?shù)學(xué)教學(xué)與信息技術(shù)的整合，在引導(dǎo)學(xué)生由數(shù)思形、由形想數(shù)，將抽象問題化具體的基礎(chǔ)上，借助幾何畫板直觀、動態(tài)演示二次函數(shù)的圖像的平移變化過程及其相應(yīng)的解析式的實(shí)時(shí)跟蹤變化，讓學(xué)生在親身經(jīng)歷觀察、分析、操作的過程中獲得解決問題的方法的同時(shí)，也讓學(xué)生身臨其境的體會其中所蘊(yùn)含的
數(shù)形結(jié)合的思想方法，而這是傳統(tǒng)的手工繪圖無法實(shí)現(xiàn)的。信息技術(shù)的應(yīng)用為更好的突破本節(jié)課的難點(diǎn)起到不可替代的作用。 （2）課后反思——不足
①在用定義法證明為什么二次函數(shù)的圖像是拋物線這一問題時(shí)，只是證明了一個(gè)具體的二次函數(shù)的圖像是滿足拋物線的定義，那么對于任意一個(gè)二次函數(shù)的圖像是否也滿足呢,嚴(yán)格的講這是需要證明的，但由于授課時(shí)間的限制，教學(xué)過程中沒有作過多的證明。是否需要留為作業(yè)讓學(xué)生去完善證明呢?
②在作業(yè)的選取上，授課前是有過猶豫的，對于本節(jié)課的課后作業(yè)應(yīng)該是注重所學(xué)知識的鞏固、內(nèi)容的理解，還是應(yīng)該注重知識的類比與思想方法的遷移呢？ 以上兩點(diǎn)是需要我繼續(xù)思考的地方，也是需要通過實(shí)踐再去改進(jìn)的地方。希望各位專家與同仁提出寶貴的意見。
視頻來源：優(yōu)質(zhì)課網(wǎng) www.jjlqy.cn
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