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視頻標(biāo)簽：瞬時(shí)速度,與導(dǎo)數(shù)
所屬欄目：高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課視頻
視頻課題：人教B版高中數(shù)學(xué)選修1-1第三章《瞬時(shí)速度與導(dǎo)數(shù)》湖北省 - 黃岡
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《瞬時(shí)速度與導(dǎo)數(shù)》
教 材: 人教B版·普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)·數(shù)學(xué)·選修1-1
一、教材內(nèi)容分析
本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容選自人教社普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)（B版）數(shù)學(xué)選修1－1第三章第一節(jié)的《導(dǎo)數(shù)》，《瞬時(shí)速度與導(dǎo)數(shù)》是在學(xué)習(xí)了函數(shù)平均變化率以后，過(guò)渡到瞬時(shí)變化率，從而得出導(dǎo)數(shù)的概念.
導(dǎo)數(shù)是微積分的核心概念之一，是從生產(chǎn)技術(shù)和自然科學(xué)的需要中產(chǎn)生的，它深刻揭示了函數(shù)變化的本質(zhì)，其思想方法和基本理論在在天文、物理、工程技術(shù)中有著廣泛的應(yīng)用，而且在日常生活及經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域也日漸顯示出其重要的功能.
在中學(xué)數(shù)學(xué)中，導(dǎo)數(shù)具有相當(dāng)重要的地位和作用。 從橫向看，導(dǎo)數(shù)在現(xiàn)行高中教材體系中處于一種特殊的地位.它是眾多知識(shí)的交匯點(diǎn)，是解決函數(shù)、不等式、數(shù)列、幾何等多章節(jié)相關(guān)問(wèn)題的重要工具，它以更高的觀點(diǎn)和更簡(jiǎn)捷的方法對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)的許多問(wèn)題起到以簡(jiǎn)馭繁的處理.
從縱向看，導(dǎo)數(shù)是函數(shù)一章學(xué)習(xí)的延續(xù)和深化，也是對(duì)極限知識(shí)的發(fā)展，同時(shí)為后繼研究導(dǎo)數(shù)的幾何意義及應(yīng)用打下必備的基礎(chǔ)，具有承前啟后的重要作用. 二、學(xué)生學(xué)情分析
1.導(dǎo)數(shù)是對(duì)變化率的一種“度量”. 實(shí)際生活中，學(xué)生最為熟悉的一種變化率就是物體的運(yùn)動(dòng)速度.學(xué)生在3.1.1小節(jié)學(xué)習(xí)了函數(shù)的平均變化率，因此，學(xué)生已經(jīng)具備了一定的認(rèn)知基礎(chǔ).
2.可能存在的問(wèn)題：“逼近”的思想對(duì)于學(xué)生而言，還是比較陌生，需要精心設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)，使學(xué)生能通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)：運(yùn)動(dòng)的物體在某一時(shí)刻的平均速度在時(shí)間間隔越來(lái)越小時(shí)，逐漸趨于一個(gè)不變的常數(shù)，而且這個(gè)常數(shù)就是物體在這一時(shí)刻的瞬時(shí)速度.這個(gè)過(guò)程學(xué)生難以想象，同時(shí)數(shù)值逼近的運(yùn)算繁瑣，但又不能采取簡(jiǎn)單的方式告知學(xué)生，而是要學(xué)生通過(guò)實(shí)際的計(jì)算，在計(jì)算過(guò)程中，充分感知當(dāng)||t趨于0時(shí)，t
h
趨于一個(gè)定值. 三、教學(xué)目標(biāo)
1.在導(dǎo)數(shù)概念建立的過(guò)程中，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察、數(shù)值逼近、解析式抽象、類比等方法體會(huì)數(shù)學(xué)概念的發(fā)生和形成.
2
2.理解導(dǎo)數(shù)的概念，初步掌握導(dǎo)數(shù)的計(jì)算方法，并在具體數(shù)學(xué)問(wèn)題中進(jìn)一步理解導(dǎo)數(shù)的概念. 3.通過(guò)對(duì)瞬時(shí)速度、瞬時(shí)變化率的探索，激發(fā)學(xué)生對(duì)本部分內(nèi)容學(xué)習(xí)的興趣. 四、教學(xué)重點(diǎn) 函數(shù)的瞬時(shí)變化率、導(dǎo)數(shù)的概念. 五、教學(xué)難點(diǎn) 對(duì)導(dǎo)數(shù)的理解和利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題. 六、教學(xué)策略分析
根據(jù)學(xué)生情況，為了完成本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)，突破教學(xué)重難點(diǎn)，主要采取教師問(wèn)題引導(dǎo)，學(xué)生自主探究、歸納的教學(xué)方法.具體的策略有:
1.利用計(jì)算器進(jìn)行分組合作，取不同的t，計(jì)算
t
h
的值. 2.從特殊到一般的教學(xué)方法.讓學(xué)生在知道2t時(shí)的瞬時(shí)速度以后，類比得出運(yùn)動(dòng)員在ｔ＝3時(shí)的瞬時(shí)速度.同樣，在學(xué)生探究出運(yùn)動(dòng)員在任意時(shí)刻的瞬時(shí)速度之后，可以歸納出一般函數(shù)在任意一點(diǎn)的瞬時(shí)變化率.
3.從具體到抽象的教學(xué)方法.學(xué)生由生活中的具體實(shí)例和已有的知識(shí)背景出發(fā)，歷經(jīng)平均速度到瞬時(shí)速度的過(guò)渡，再把物體的運(yùn)動(dòng)變化量抽象為一般的函數(shù)，從而得到瞬時(shí)變化率的概念. 七、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì) （一）設(shè)置問(wèn)題情境
世間萬(wàn)物都處在不斷變化當(dāng)中,認(rèn)識(shí)事物的變化規(guī)律,是人類面臨的重大課題.數(shù)學(xué)關(guān)注變化著的事物內(nèi)在的數(shù)量關(guān)系,特別是變量之間的函數(shù)關(guān)系.研究函數(shù)的變化趨勢(shì)不僅是現(xiàn)實(shí)的需要，而且有重要的理論意義.17世紀(jì)，數(shù)學(xué)泰斗牛頓和萊布尼茨把這種研究提高到一個(gè)新的階段.他們以大量的物理問(wèn)題和幾何問(wèn)題為背景，研究了函數(shù)的平均變化率，引進(jìn)了一種全新的運(yùn)算---求導(dǎo)數(shù)，進(jìn)而引進(jìn)了導(dǎo)數(shù)的逆運(yùn)算---積分.兩位巨匠開(kāi)創(chuàng)性的工作，使前人未能解決的諸多問(wèn)題，如變速運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度與路程、變力做功問(wèn)題迎刃而解；同時(shí)使許多重大幾何問(wèn)題，如曲線的切線與長(zhǎng)度、封閉曲線形的面積、立體體積等也獲得圓滿解決；并創(chuàng)立了微積分學(xué).三百年來(lái)，微積分學(xué)不僅對(duì)數(shù)學(xué)，而且對(duì)整個(gè)人類文明產(chǎn)生了不可估量的影響.
本章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用,將把同學(xué)們引進(jìn)到一個(gè)充滿活力的領(lǐng)域,在這里,同學(xué)們將領(lǐng)悟辯證的思維方式,
3
用微觀去駕馭宏觀,從變量關(guān)系層面去把握事物變化的數(shù)學(xué)本質(zhì),并學(xué)會(huì)解答現(xiàn)實(shí)生活中的許多問(wèn)題.
設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)簡(jiǎn)單介紹微積分的發(fā)展史及牛頓、萊布尼茨的成就激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)的興趣.
（二）生活實(shí)例，數(shù)學(xué)探究
在高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)中，運(yùn)動(dòng)員相對(duì)于水面的高度為h（單位：m）與起跳后的時(shí)間t(單位：s )存在函數(shù)關(guān)系h（t）=-4.9t2
+6.5t+10，求ｔ＝2時(shí)的瞬時(shí)速度.
問(wèn)題1：為了研究這個(gè)問(wèn)題,我們給出運(yùn)動(dòng)員相對(duì)于水面的高度為h（單位：m）與起跳后的時(shí)間t(單位：s )存在函數(shù)關(guān)系h（t）=-4.9t2
+6.5t+10，那么運(yùn)動(dòng)員在t0到t0+△t時(shí)刻內(nèi)的平均速度如何表示？ 問(wèn)題2：我們先考察ｔ＝2附近的情況.任取一個(gè)時(shí)刻2＋△ｔ，△ｔ是時(shí)間改變量，可以是正值，也可以 是負(fù)值，但不為0.當(dāng)△ｔ＜0時(shí)，在2之前；當(dāng)△ｔ＞0時(shí)，在2之后.分組合作填寫(xiě)運(yùn)動(dòng)員在ｔ＝2附近的平均速度表格.
問(wèn)題3：在這個(gè)表格中，當(dāng)時(shí)間的間隔越來(lái)越小時(shí)，大家發(fā)現(xiàn)平均速度有什么特點(diǎn)？ 學(xué)生通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)：在t=2時(shí)刻,Δt趨于0時(shí)，平均速度趨于一個(gè)確定的值-13.1. 設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)合作計(jì)算，讓學(xué)生更深刻的感受到數(shù)值的逼近.
問(wèn)題4：要使得到的瞬時(shí)速度更精確，時(shí)間的間隔就要很小，能否引進(jìn)一個(gè)量，使其得到簡(jiǎn)化？ 總結(jié)：這個(gè)確定的值即瞬時(shí)速度，為了更明確的表述趨近的過(guò)程,可用極限的思想來(lái)表示,即
0(2)(2)
lim
13.1
ththt 設(shè)計(jì)意圖:利用極限思想，將函數(shù)表達(dá)式抽象化.
時(shí)間區(qū)間 Δt<0 平均速度
時(shí)間區(qū)間 Δt>0 平均速度
[1.9,2] -0.1 [2,2.1] 0.1 [1.99,2] -0.01 [2,2.01] 0.01 [1.999,2] -0.001 [2,2.001] 0.001 [1.9999,2] -0.0001 [2,2.0001] 0.0001 [1.99999,2]
-0.00001
[2,2.00001]
0.00001
4
問(wèn)題5：我們用這個(gè)方法得到了高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)員在st2附近，平均速度逼近一個(gè)確定的常數(shù).那其他時(shí)刻呢？我們?cè)賮?lái)研究t=3時(shí)的瞬時(shí)速度.在下面這個(gè)表格中，當(dāng)時(shí)間的間隔越來(lái)越小時(shí)，大家發(fā)現(xiàn)平均速度有什么特點(diǎn)？能不能類比t=2時(shí)的瞬時(shí)速度，來(lái)表示t=3時(shí)的瞬時(shí)速度呢?
問(wèn)題6：t=2，t=3是兩個(gè)特殊時(shí)刻，那么運(yùn)動(dòng)員在某一時(shí)刻 t0 的瞬時(shí)速度又怎樣表示?
設(shè)計(jì)意圖:從特殊到一般，讓學(xué)生直觀地理解運(yùn)動(dòng)員在任意時(shí)刻的瞬時(shí)速度.用平均速度逼近了瞬時(shí)速度，這都體現(xiàn)了我們數(shù)學(xué)中無(wú)限逼近的思想.
（三）模型建構(gòu)
問(wèn)題7：如果將以上問(wèn)題中的函數(shù)用)(xf來(lái)表示，那么函數(shù))(xf在0xx處的瞬時(shí)變化率該如何表示呢？
引導(dǎo)學(xué)生寫(xiě)出)(xf在0xx處的瞬時(shí)變化率可表示x
xfxxfxy
xx)()(limlim0000 總結(jié)：我們就把這個(gè)瞬時(shí)變化率稱為導(dǎo)數(shù). 導(dǎo)數(shù)的的定義：
函數(shù)()yfx在0xx處的瞬時(shí)變化率稱為()yfx在0xx處的導(dǎo)數(shù),記作：0()fx或0
xx
y，即
0
00000()()()=lim
limxxxxfxxfxy
fxxx
y
由對(duì)瞬時(shí)速度的形成和理解，學(xué)生很容易聯(lián)想到可以用一個(gè)詞，叫做“瞬時(shí)變化率”.用它可以精確的描述函數(shù)在某一個(gè)點(diǎn)的變化趨勢(shì).這體現(xiàn)了類比的思想方法.
設(shè)計(jì)意圖：由平均速度到瞬時(shí)速度，再由平均變化率到瞬時(shí)變化率，符合學(xué)生的認(rèn)知過(guò)程.同時(shí)注重對(duì)抽象表達(dá)式的理解）
5
（四）例題講解
例1：將原油精煉為汽油、柴油、塑膠等各種產(chǎn)品，需要對(duì)原油進(jìn)行冷卻或者加熱，如果在第x h時(shí)，原油的溫度為)80(157)(2xxxxfy.計(jì)算第2 h 與第6 h時(shí)，原油溫度的瞬時(shí)變化率，說(shuō)明它們的意義.
設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)具體實(shí)例計(jì)算進(jìn)一步熟悉導(dǎo)數(shù)的定義，鞏固導(dǎo)數(shù)的計(jì)算方法，同時(shí)總結(jié)出導(dǎo)數(shù)的一般步驟. 八、課堂小結(jié)
1.導(dǎo)數(shù)的概念的形成過(guò)程. 2.求導(dǎo)步驟：（1）求
x
y
（2）取極限. 3.思想方法：“以已知探求未知”、逼近、類比、從特殊到一般.
經(jīng)過(guò)我們的探究，我們從生活中的實(shí)例到具體的函數(shù)，由特殊到一般，運(yùn)用類比的思想方法，由平均速度逼近瞬時(shí)速度，再由平均變化率逼近了瞬時(shí)變化率，從而得到了函數(shù)在某一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù).導(dǎo)數(shù)的思想方法就是通過(guò)函數(shù)在某一點(diǎn)附近的變化狀態(tài)，揭示這一點(diǎn)處的變化狀態(tài)，也揭示函數(shù)的本質(zhì). 設(shè)計(jì)意圖：整理本節(jié)所學(xué)的核心概念、基本技能，概括研究方法以及其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想. 九、布置作業(yè) 課本第82頁(yè)
A組，練習(xí)1，2，3; B組練習(xí)1.
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