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在線播放:高中數(shù)學(xué)人教A版選修2-2第一章1.3.2函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)-天津市優(yōu)課

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視頻簡(jiǎn)介：

視頻標(biāo)簽：函數(shù)的極值,與導(dǎo)數(shù)

所屬欄目：高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課視頻

視頻課題：高中數(shù)學(xué)人教A版選修2-2第一章1.3.2函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)-天津市優(yōu)課

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《函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)》教學(xué)設(shè)計(jì)
教材:   人教A版·普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)·選修2-2
一、       教學(xué)內(nèi)容解析
1、教材分析
《函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)》是人教A版選修2-2第一章《導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用》§1.3.2的內(nèi)容，本節(jié)課為第一課時(shí)。
微積分學(xué)是人類思維的偉大成果之一，它開(kāi)創(chuàng)了向近代數(shù)學(xué)過(guò)渡的新時(shí)期，為研究變量和函數(shù)提供了重要的方法。導(dǎo)數(shù)是微積分的核心概念之一，有極其豐富的實(shí)際背景和廣泛的應(yīng)用。函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)是整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)對(duì)函數(shù)研究的進(jìn)一步深化。在此之前學(xué)生已經(jīng)掌握了導(dǎo)數(shù)的基本概念，初步具備了運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的能力，這為《函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù)》奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，具有承上啟下的作用。本節(jié)課用導(dǎo)數(shù)的方法來(lái)研究函數(shù)的性質(zhì)，是對(duì)函數(shù)研究的深化與提升。
同時(shí)本節(jié)教材是貫徹實(shí)施素質(zhì)教育，充分體現(xiàn)新課標(biāo)精神，培養(yǎng)學(xué)生探究能力很好的教學(xué)載體，有利于培養(yǎng)學(xué)生用觀察、比較、分析、歸納等方法解決一些實(shí)際問(wèn)題。
2、教學(xué)目標(biāo)
（1）知識(shí)目標(biāo)：
①掌握函數(shù)極值的定義,了解可導(dǎo)函數(shù)極值點(diǎn)的必要條件和充分條件；
②掌握利用導(dǎo)數(shù)求不超過(guò)三次多項(xiàng)式函數(shù)極值的一般方法；
③通過(guò)對(duì)比原函數(shù)的增減和導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，利用函數(shù)的圖像，給函數(shù)的極值以直觀的驗(yàn)證。
（2）能力目標(biāo)：
①會(huì)從幾何圖形中直觀理解函數(shù)的極值與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力，提升其思維水平；
②培養(yǎng)學(xué)生分析和解決問(wèn)題的能力，能綜合運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)、思想和方法解決相關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題。
（3）情感態(tài)度與價(jià)值觀：通過(guò)對(duì)函數(shù)極值的研究，提高學(xué)生分析和解決問(wèn)題的能力；培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度，體會(huì)用導(dǎo)數(shù)方法研究函數(shù)性質(zhì)的有效性；培養(yǎng)學(xué)生大膽創(chuàng)新、勇于探索、互相合作的精神；同時(shí)也發(fā)展其邏輯思維能力，并培養(yǎng)辯證唯物主義觀點(diǎn)。
3、重點(diǎn)、難點(diǎn)的確定及依據(jù)
    教學(xué)經(jīng)驗(yàn)使我認(rèn)識(shí)到，學(xué)生對(duì)函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件的把握有一定的困難。因此，在教學(xué)過(guò)程中我把該知識(shí)點(diǎn)作為難點(diǎn)講解。根據(jù)教學(xué)大綱及高考的要求，結(jié)合學(xué)生現(xiàn)有的知識(shí)水平和認(rèn)知能力，我把利用導(dǎo)數(shù)求不超過(guò)三次的多項(xiàng)式函數(shù)極值的一般方法作為本節(jié)課的重點(diǎn)。通過(guò)學(xué)生觀察圖像特征、自主探究、小組合作等形式來(lái)突破難點(diǎn)，并總結(jié)歸納出求極值的方法與步驟，了解極值存在的充分條件和必要條件。
二、學(xué)情分析
   學(xué)生已經(jīng)初步學(xué)習(xí)了運(yùn)用導(dǎo)數(shù)去研究函數(shù)，但還不夠深入，因此在學(xué)習(xí)上還有一定困難。本節(jié)課能進(jìn)一步提高學(xué)生運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的能力,讓學(xué)生體會(huì)導(dǎo)數(shù)的工具作用。
三、教法與學(xué)法
1、教法分析：
本節(jié)課重在突出“以學(xué)生為主體”的教學(xué)理念，以問(wèn)題探究的形式，遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，自主學(xué)習(xí)與合作探究相結(jié)合的模式，教師在整堂課中引導(dǎo)學(xué)生探索函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系。對(duì)于學(xué)習(xí)效果，采用問(wèn)題和練習(xí)的形式予以檢查和糾正。
2、學(xué)法指導(dǎo)：
教學(xué)中始終本著“以學(xué)生為主體”的教學(xué)思想，在整個(gè)教學(xué)活動(dòng)中，不斷激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生真正地參與到知識(shí)的生成過(guò)程中。主要從以下幾個(gè)方面進(jìn)行指導(dǎo)：
（1）引導(dǎo)學(xué)生觀察圖像，產(chǎn)生認(rèn)知沖突。（極值好像是最值，又不是最值。）
（2）激發(fā)探究欲望。學(xué)生產(chǎn)生疑問(wèn)之后，指導(dǎo)學(xué)生思考怎樣解決問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。
（3）指導(dǎo)合作探究，小組討論并得出結(jié)論。
四、教學(xué)過(guò)程

教學(xué)過(guò)程

教學(xué)內(nèi)容

設(shè)計(jì)意圖

自主 學(xué)習(xí)

課前將學(xué)案發(fā)給學(xué)生讓學(xué)生明確目標(biāo)，有的放矢進(jìn)行預(yù)習(xí)，解答相關(guān)問(wèn)題。通過(guò)檢查學(xué)案，了解學(xué)生自主學(xué)習(xí)的情況，設(shè)計(jì)導(dǎo)學(xué)思路與措施。

培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力，為學(xué)生的終身學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。

合作探究

對(duì)學(xué)生解決不了的問(wèn)題，重點(diǎn)講解思路與方法，進(jìn)行引導(dǎo)。

分組討論

小組匯報(bào)

教師點(diǎn)撥

北京奧運(yùn)會(huì)中國(guó)跳水隊(duì)獲得全部8枚金牌中的7枚。
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1高臺(tái)跳水例子的研究：
(1)當(dāng)t<a時(shí)h(t)的單調(diào)性___________

(2)當(dāng)t>a時(shí)h(t)的單調(diào)性
___________
(3)當(dāng)t=_______時(shí)運(yùn)動(dòng)員
距水面高度最大，h(t)在此點(diǎn)的
導(dǎo)數(shù)是_______
(4)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)有什么變化規(guī)律？

2觀察下圖中的曲線

(1)觀察圖（1）中 a點(diǎn)的函數(shù)值f(a)，比較它與其臨近點(diǎn)的函數(shù)值
(2)觀察圖（2）中 b點(diǎn)的函數(shù)值f(b),比較它與其臨近點(diǎn)的函數(shù)值

3觀察函數(shù)                  的圖象，

思考：
函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x＝0，x＝2處的
函數(shù)值，與它們附近所有各點(diǎn)處
的函數(shù)值，比較有什么特點(diǎn)?


定義：一般地，設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)a、b附近有定義，
如果對(duì)a附近的所有的點(diǎn),都有f(x)﹤f (a) ,我們
就說(shuō)f (a)是函數(shù)f(x)的一個(gè)極大值,
            記作: y_極大值= f (a)；
    如果對(duì)b附近的所有的點(diǎn),都有f(x)﹥f (b)，
我們就說(shuō)f (b)是函數(shù)f(x)的一個(gè)極小值，
           記作: y_極小值=f (b).
極大值與極小值統(tǒng)稱為極值.
點(diǎn)a叫做函數(shù)y=f(x)的極大值點(diǎn).
點(diǎn)b叫做函數(shù)y=f(x)的極小值點(diǎn)

激發(fā)民族自豪感，培養(yǎng)愛(ài)國(guó)主義精神.激發(fā)學(xué)生的求知欲。

用高臺(tái)跳水的例子發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，發(fā)揮學(xué)生的主體作用。

用信息技術(shù)輔助教學(xué)，突破難點(diǎn)。

學(xué)生經(jīng)歷直觀感知、觀察發(fā)現(xiàn)、歸納類比的思維過(guò)程.

引導(dǎo)學(xué)生創(chuàng)新與實(shí)踐,培養(yǎng)學(xué)生大膽創(chuàng)新、勇于探索、互相合作的精神。

理論依據(jù)：建構(gòu)主義理論

根據(jù)探究，學(xué)生總結(jié)極值點(diǎn)、極值的定義。培養(yǎng)學(xué)生的歸納能力。

教師點(diǎn)撥

1、極值是函數(shù)的局部性質(zhì),反映了函數(shù)值在某一點(diǎn)附近的大小變化情況;
2、極值點(diǎn)是自變量的某個(gè)值，極值指的是其函數(shù)值;
3、函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系:
(1)如果f¢(x) =0, 并且在x₀ 附近的左側(cè)
f¢(x) >0，右側(cè)f¢(x) <0, 那么f(x₀ )是極大值。
(2)如果f¢(x) =0, 并且在x₀ 附近的左側(cè) f¢(x) <0 ，右側(cè)f¢(x) >0, 那么f(x₀ )是極小值。

導(dǎo)數(shù)左正右負(fù)為極大，右正左負(fù)為極小
函數(shù)左增右減為極大，右增左減為極小

老師點(diǎn)撥，學(xué)生構(gòu)建知識(shí)體系，鞏固完善、升華所學(xué)。

理論依據(jù)：建構(gòu)主義理論

學(xué)生活動(dòng)

函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)y^'與函數(shù)值和極值之間的關(guān)系為( )
A、導(dǎo)數(shù)y^'由負(fù)變正,則函數(shù)y由減變?yōu)樵?/strong>,且有極大值
B、導(dǎo)數(shù)y^'由負(fù)變正,則函數(shù)y由增變?yōu)闇p,且有極大值
C、導(dǎo)數(shù)y^'由正變負(fù),則函數(shù)y由增變?yōu)闇p,且有極小值
D、導(dǎo)數(shù)y^'由正變負(fù),則函數(shù)y由增變?yōu)闇p,且有極大值

及時(shí)反饋

鞏固提高

教師板演

完成練習(xí)

分組討論

學(xué)生總結(jié)

自主完成

課堂小結(jié)
學(xué)生歸納

例題：求函數(shù)

的極值。
解： f¢(x)=x²－4=(x+2)(x－2)
令 f¢(x)=0，解得x₁=2，x₂=－2
下面分兩種情況討論：
(1) 當(dāng)f¢(x) >0，即x>2,或<-2
(2) 當(dāng) f¢(x)<0，即-2<x<2
當(dāng)x變化時(shí)， f¢(x) ，f(x) 的變化情況如下表：

x	(-∞,-2)	-2	(-2,2)	2	(2,+∞)
f¢(x)	+	0	－	0	+
f(x)	單調(diào)遞增 ↗		單調(diào)遞減↘		單調(diào)遞增↗

∴當(dāng)x=－2時(shí)， 有極大值，并且極大值為

當(dāng)x=2時(shí)， 有極小值, 并且極小值為
函數(shù) 的圖像如圖所示
030

解題方法總結(jié)：
求函數(shù)y=f(x)極值的方法：
(1)求導(dǎo) ；
(2)求極值點(diǎn) ；
(3)討論單調(diào)性 ；
(4)列表；
(5)寫出極值.
求下列函數(shù)的極值。

漸入佳境篇
拓展(1)導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)一定是函數(shù)的極值點(diǎn)嗎？
如x =0是否為函數(shù)f(x)=x³的極值點(diǎn)?

若 x₀ 是極值，則f¢(x₀) =0。
反之，若f¢(x₀) =0，則x₀ 不一定是極值

y=f(x)在一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為0是函數(shù)y=f(x)在這點(diǎn)取得極值的必要條件。
函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x₀取極值的充分條件是：
①函數(shù)在點(diǎn)x₀處的導(dǎo)數(shù)值為0；
②在該點(diǎn)附近的左右兩側(cè)導(dǎo)數(shù)異號(hào)。

拓展(2)極大值一定比極小值大嗎？
不一定,極值是函數(shù)的局部性概念。

拓展(3)（天津高考題)函數(shù)的定義域?yàn)殚_(kāi)區(qū)間
導(dǎo)函數(shù)在 內(nèi)的圖像如圖所示，則函數(shù)
在開(kāi)區(qū)間 內(nèi)有（）個(gè)極小值點(diǎn)。

注意：數(shù)形結(jié)合以及原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)圖像的區(qū)別
課堂練習(xí)：
1. 函數(shù) 在 時(shí)有極值10，則a，b的值為（）
A、或
B、
C、
D、 以上都不對(duì)
2函數(shù)f(x)=x³+3ax²+3(a+2)x+3既有極大值，又有極小值，則a的取值范圍為                        。

這節(jié)課你有什么收獲?

鞏固新知識(shí)，通過(guò)對(duì)典型例題的板演，讓學(xué)生明確求極值的方法，突出本節(jié)課的重點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生規(guī)范的表達(dá)能力，形成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度。

通過(guò)作圖，使學(xué)生掌握數(shù)形結(jié)合思想及作圖的一般步驟。

學(xué)生總結(jié)解題方法，培養(yǎng)歸納能力。

變式訓(xùn)練，突出重點(diǎn)，使學(xué)生由感性認(rèn)識(shí)上升到理性認(rèn)識(shí)。

通過(guò)拓展(1)，突出判斷極值點(diǎn)的條件，從而突破難點(diǎn)。

通過(guò)拓展(2)幫助學(xué)生理解極值是函數(shù)的局部性質(zhì)。

拓展(3)進(jìn)一步讓學(xué)生區(qū)分如何用導(dǎo)函數(shù)的圖像判斷函數(shù)的極值，從而突出重點(diǎn)、突破難點(diǎn)。

分層練習(xí)，讓各層面學(xué)生都能學(xué)有所獲，不斷增強(qiáng)學(xué)習(xí)的信心，最終獲得成功。
理論依據(jù)：斯騰伯格的成功智力理論

板書設(shè)計(jì)

函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與極值

1、定義：
極大值與極小值
極值點(diǎn)
極值

2、典型例題求函數(shù)…的極值。
解： f¢(x) =x²－4
=(x+2)(x－2) …
令 f¢(x) =0，解x₁=2，x₂=－2
下面分兩種情況討論：…

3、求極值的步驟：
(1)求導(dǎo)；
(2)求極值點(diǎn)；
(3)討論單調(diào)性；
(4)列表；
(5)求出極值.

設(shè)計(jì)意圖：老師板書，給學(xué)生留下的印象深刻，幫助學(xué)生構(gòu)建清晰的知識(shí)體系。

教學(xué)反思:
    本節(jié)的教學(xué)內(nèi)容是導(dǎo)數(shù)的極值,有了上節(jié)課導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性作鋪墊,借助函數(shù)圖形的直觀性探索歸納出導(dǎo)數(shù)的極值定義,利用定義求函數(shù)的極值.教學(xué)反饋中主要是書寫格式存在著問(wèn)題,為了統(tǒng)一要求,主張用列表的方式表示,剛開(kāi)始學(xué)生都不愿接受這種格式,但隨著幾道例題與練習(xí)題的展示,學(xué)生體會(huì)到列表方式的簡(jiǎn)便,同時(shí)能夠快速判斷導(dǎo)數(shù)的正負(fù).我要求學(xué)生盡量把導(dǎo)數(shù)因式分解,在解答過(guò)程中學(xué)生還暴露出對(duì)復(fù)雜函數(shù)的求導(dǎo)的準(zhǔn)確率比較低以及不求函數(shù)的定義域.本節(jié)課的難點(diǎn)是函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件與充分條件,為了說(shuō)明這一點(diǎn),多舉幾個(gè)例題是很有必要的.極值的過(guò)程板書仍不規(guī)范,看樣子這些方面還要不斷加強(qiáng)訓(xùn)練.
導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)單調(diào)性,極值和最值最佳的重要工具,得出的一般結(jié)論具有科學(xué)方法論價(jià)值,廣泛運(yùn)用在討論函數(shù)圖象的變化趨勢(shì)及證明不等式等方面.導(dǎo)數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的新增內(nèi)容,是高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)內(nèi)容,它在中學(xué)數(shù)學(xué)教材中的出現(xiàn),使中學(xué)數(shù)學(xué)與大學(xué)數(shù)學(xué)之間又多了一個(gè)無(wú)可爭(zhēng)辯的銜接點(diǎn).
    我們常說(shuō)：“現(xiàn)代的文盲不是不識(shí)字的人，而是沒(méi)有掌握學(xué)習(xí)方法的人”，因而在學(xué)習(xí)中要特別重視學(xué)法的學(xué)習(xí)總結(jié)。轉(zhuǎn)變學(xué)習(xí)方式，倡導(dǎo)主動(dòng)參與、樂(lè)于探究、勤于動(dòng)手，培養(yǎng)搜集和處理信息的能力、獲取新知識(shí)的能力、分析和解決問(wèn)題的能力以及交流與合作的能力 ，從而順利完成學(xué)習(xí)目標(biāo),最終實(shí)現(xiàn)我們上大學(xué)的理想 。
作業(yè)設(shè)計(jì)
1.
$C:\Users\admin\AppData\Local\Microsoft\Windows\Temporary Internet Files\Content.IE5\F19FXVLS\G4.TIF$
函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?strong>R，導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖象如圖，則函數(shù)f(x)(　　)
A．無(wú)極大值點(diǎn)，有四個(gè)極小值點(diǎn)
B．有三個(gè)極大值點(diǎn)，兩個(gè)極小值點(diǎn)
C．有兩個(gè)極大值點(diǎn)，兩個(gè)極小值點(diǎn)
D．有四個(gè)極大值點(diǎn)，無(wú)極小值點(diǎn)
2．已知函數(shù)f(x)，x∈R，且在x＝1處，f(x)存在極小值，則(　　)
A．當(dāng)x∈(－∞，1)時(shí)，f′(x)>0；當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，f′(x)<0
B．當(dāng)x∈(－∞，1)時(shí)，f′(x)>0；當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，f′(x)>0
C．當(dāng)x∈(－∞，1)時(shí)，f′(x)<0；當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，f′(x)>0
D．當(dāng)x∈(－∞，1)時(shí)，f′(x)<0；當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，f′(x)<0
3．函數(shù)f(x)＝x＋在x>0時(shí)有(　　)
A．極小值B．極大值C．既有極大值又有極小值D．極值不存在
4．函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?a，b)，導(dǎo)函數(shù)f′(x)在(a，b)內(nèi)的圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)在開(kāi)區(qū)間(a，b)內(nèi)有極小值點(diǎn)(　　)
$C:\Users\admin\AppData\Local\Microsoft\Windows\Temporary Internet Files\Content.IE5\F19FXVLS\G5.TIF$
A．1個(gè)        B．2個(gè)        C．3個(gè)        D．4個(gè)
5．函數(shù)f(x)＝x³－3bx＋3b在(0,1)內(nèi)有且只有一個(gè)極小值，則(　　)
A．0<b<1        B．b<1 C．b>0          D．b<
6．已知f(x)＝x³＋ax²＋(a＋6)x＋1有極大值和極小值，則a的取值范圍為(　　)
A．－1<a<2              B．－3<a<2
C．a<－1或a>2          D．a<－3或a>6
7．函數(shù)f(x)＝ax³＋bx在x＝1處有極值－2，則a、b的值分別為_(kāi)_______、________.
8．函數(shù)f(x)＝x³－3a²x＋a(a>0)的極大值為正數(shù)，極小值為負(fù)數(shù)，則a的取值范圍是________．
9求下列函數(shù)的極值．f(x)＝x³－12x；
$C:\Users\admin\AppData\Local\Microsoft\Windows\Temporary Internet Files\Content.IE5\F19FXVLS\左括.TIF$ 能力提升 $C:\Users\admin\AppData\Local\Microsoft\Windows\Temporary Internet Files\Content.IE5\F19FXVLS\右括.TIF$
10．已知函數(shù)f(x)＝xe^－^x(x∈R)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值．

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