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視頻標(biāo)簽：導(dǎo)數(shù)的幾何意義

所屬欄目：高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課視頻

視頻課題：高中數(shù)學(xué)人教A版選修2-2第一章1.1.3導(dǎo)數(shù)的幾何意義-建設(shè)

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高中數(shù)學(xué)人教A版選修2-2第一章1.1.3導(dǎo)數(shù)的幾何意義-建設(shè)兵團(tuán)

教學(xué)目標(biāo)
1、知識(shí)與技能目標(biāo):
 (1) 通過復(fù)習(xí)舊知“求導(dǎo)數(shù)的兩個(gè)步驟”以及“平均變化率與割線斜率的關(guān)系”,解決了平均變化率的幾何意義后,明確探究導(dǎo)數(shù)的幾何意義可以依據(jù)導(dǎo)數(shù)概念的形成尋求解決問題的途徑。
(2) 借助兩個(gè)類比的動(dòng)畫,從圓中割線和切線的變化聯(lián)系,推廣到一般曲線中用割線逼近的方法直觀定義切線。
(3) 依據(jù)割線與切線的變化聯(lián)系,數(shù)形結(jié)合探究函數(shù) 在 處的導(dǎo)數(shù) 的幾何意義。在學(xué)習(xí)過程中感受逼近的思想方法,了解“以直代曲”的數(shù)學(xué)思想方法。
2、過程與方法目標(biāo):
(1) 學(xué)生通過觀察感知、動(dòng)手探究,培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手和感知發(fā)現(xiàn)的能力。
(2) 學(xué)生通過對(duì)圓的切線和割線聯(lián)系的認(rèn)識(shí),再類比探索一般曲線的情況,完善對(duì)切線的認(rèn)知,感受逼近的思想,體會(huì)相切是種局部性質(zhì)的本質(zhì),有助于數(shù)學(xué)思維能力的提高。
(3) 結(jié)合分層的探究問題和分層練習(xí),期望各種層次的學(xué)生都可以憑借自己的能力盡力走在教師的前面,獨(dú)立解決問題和發(fā)現(xiàn)新知、應(yīng)用新知。
3、情感、態(tài)度、價(jià)值觀:
(1) 通過在探究過程中滲透逼近和以直代曲思想,使學(xué)生了解近似與精確間的辨證關(guān)系;通過有限來認(rèn)識(shí)無限,體驗(yàn)數(shù)學(xué)中轉(zhuǎn)化思想的意義和價(jià)值;
(2) 在教學(xué)中向他們提供充分的從事數(shù)學(xué)活動(dòng)的機(jī)會(huì)活動(dòng)中激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)潛能,促進(jìn)他們真正理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識(shí)技能、數(shù)學(xué)思想方法,獲得廣泛的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),提高綜合能力,學(xué)會(huì)學(xué)習(xí),進(jìn)一步在意志力、自信心、理性精神等情感與態(tài)度方面得到良好的發(fā)展。
2學(xué)情分析
考慮授課對(duì)象是高二年級(jí)理科平行班,數(shù)學(xué)的知識(shí)基礎(chǔ)和數(shù)學(xué)思維能力的層次差異較大,所以本節(jié)課設(shè)計(jì)為探究、自主實(shí)踐的活動(dòng)課。巧用信息技術(shù),展示兩個(gè)類比的動(dòng)畫,增強(qiáng)直觀性,期望不同層次的學(xué)生,在探索的過程中都有感知和發(fā)現(xiàn),同時(shí)增加課堂容量。
3重點(diǎn)難點(diǎn)
 重點(diǎn):導(dǎo)數(shù)的幾何意義,導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用,“以直代曲”數(shù)學(xué)思想方法.
   難點(diǎn):對(duì)導(dǎo)數(shù)幾何意義的理解與掌握,在每處“附近”變化率與瞬時(shí)變化率的近似關(guān)系的理解.
4教學(xué)過程
4.1第一學(xué)時(shí)
4.1.1教學(xué)活動(dòng)
活動(dòng)1【導(dǎo)入】1．復(fù)習(xí)引入，溫故知新，誘發(fā)思考：
1)、平均變化率
一般地,函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x₀附近的平均變化率可以表示為

你能借助函數(shù)的圖象說說平均變化率的幾何意義嗎?
 
平均變化率幾何意義表示的是該曲線的割線的斜率。
2).導(dǎo)數(shù)的概念

類比平均變化率的幾何意義,導(dǎo)數(shù)的幾何意義又是什么呢?今天我們就來探究導(dǎo)數(shù)的幾何意義。
活動(dòng)2【活動(dòng)】2．自主思考，參與探究
1.動(dòng)畫類比,得到切線的新定義
問題探究
要研究導(dǎo)數(shù)的幾何意義,結(jié)合導(dǎo)數(shù)的概念,即要探究 ,割線的變化趨勢(shì),看下面的動(dòng)畫。
帶著問題觀察動(dòng)畫,借助熟悉的圓中的某點(diǎn)處的割線和切線,學(xué)生更易感知當(dāng) ,割線的變化趨勢(shì)。
學(xué)生交流說出割線的變化趨勢(shì)
活動(dòng)3【活動(dòng)】2.多媒體顯示【動(dòng)畫1】
用逼近的方法體會(huì)割線逼近切線,消除學(xué)生對(duì)極限的神秘感。
當(dāng)點(diǎn)Pn沿著曲線無限接近點(diǎn)P即Δx→0時(shí),割線Pn趨近于確定的位置,這個(gè)確定位置的直線PT稱為點(diǎn)P處的切線.
合作交流
割線的斜率與切線的斜率有什么呢?
活動(dòng)4【活動(dòng)】3.多媒體顯示【動(dòng)畫2】
學(xué)生交流得出以下結(jié)論
 
即:當(dāng)△x→0時(shí),割線PQ的斜率的極限,就是曲線在點(diǎn)P處的切線的斜率,
學(xué)生交流得出以下結(jié)論
 
即:當(dāng)△x→0時(shí),割線PQ的斜率的極限,就是曲線在點(diǎn)P處的切線的斜率,
活動(dòng)5【講授】三、歸納小結(jié)
結(jié)合上面的研究過程,你能指出導(dǎo)數(shù)f‘(x0) 的幾何意義嗎?
函數(shù)f(x) 在x=x0 處的導(dǎo)數(shù)就是曲線在該點(diǎn)處的切線斜率 ,即:

活動(dòng)6【練習(xí)】四、典例精講
例題:如圖,它表示跳水運(yùn)動(dòng)中高度隨時(shí)間變化的函數(shù) 的圖象。
說明在 t0、t1 、t2 變化情況

 
分析:附近:瞬時(shí),增減:變化率,即研究函數(shù)在該點(diǎn)處的瞬時(shí)變化率,也就是導(dǎo)數(shù)。可借助切線的變化趨勢(shì)得到導(dǎo)數(shù)的情況。
生:作出曲線在這些點(diǎn)處的切線,在t0 處切線平行于 x軸,即h'(t0) =0,說明在t0 時(shí)刻附近變化率為0,函數(shù)幾乎沒有增減;在t1、t2 作出切線,切線呈下降趨勢(shì),即 h'(t1) <0,h'(t2) <0,函數(shù)在點(diǎn)附近單調(diào)遞減。曲線在t2 附近比在t1 附近下降得更快,則是因?yàn)椹�h'(t1)│<│h'(t2)│ 。
例2:
1)若曲線y=f(x)在點(diǎn)(x0,f(x0))處的切線方程為2x+y+1=0,
2)設(shè)曲線y=ax2在點(diǎn)(1,a)處的切線與直線 2x-y-6=0平行,則a等于_______.
(3)在曲線y=x2上切線傾斜角為π/ 4的點(diǎn)是(    )
A.(0,0)     B.(2,4)    C.(1/4,1/6 )    D.(1/2,1/4 )
這幾道題對(duì)應(yīng)檢測(cè)本節(jié)課的學(xué)習(xí)重點(diǎn),了解和掌握導(dǎo)數(shù)的幾何意義。
活動(dòng)7【練習(xí)】五、拓展提升：
例1:求曲線y=x²+1在點(diǎn)P(1,2)處 的切線方程.
例2:求曲線y=x²在點(diǎn)P(5/2,6) 的切線方程
設(shè)計(jì)意圖:學(xué)會(huì)求切線方程,并且會(huì)判斷切點(diǎn)在曲線與不在曲線上的兩種情況
活動(dòng)8【測(cè)試】六、當(dāng)堂檢測(cè)：
(1)若曲線y=f(x)在點(diǎn)(x₀,f(x₀))處的切線方程為2x+y+1=0,則f(x0) =           .  
(2)設(shè)曲線y=ax²在點(diǎn)(1,a)處的切線與直線  2x-y-6=0平行,則a等于_______.
(3)在曲線y=x²上切線傾斜角為π/ 4的點(diǎn)是(    )
      A.(0,0)     B.(2,4)    C.(1/4,1/6 )    D.(1/2,1/4 )
活動(dòng)9【講授】七、課堂總結(jié)：
本節(jié)課重點(diǎn)在于講述導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解釋實(shí)際問題,運(yùn)用逼近思想定義了曲線上某點(diǎn)的切線,再引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)形結(jié)合的角度思考,獲得導(dǎo)數(shù)的幾何意義——“導(dǎo)數(shù)是曲線上某點(diǎn)處切線的斜率”。
活動(dòng)10【作業(yè)】八、作業(yè)布置：
習(xí)題1.1       A組    第5、6題
 

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