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視頻標(biāo)簽：導(dǎo)數(shù)的,幾何意義

所屬欄目：高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課視頻

視頻課題：高中數(shù)學(xué)人教A版選修2-2第一章1.1.3導(dǎo)數(shù)的幾何意義-重慶

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高中數(shù)學(xué)人教A版選修2-2第一章1.1.3導(dǎo)數(shù)的幾何意義-重慶復(fù)旦中學(xué)

教學(xué)目標(biāo)
1.通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生回顧圓的切線的概念，發(fā)現(xiàn)圓的切線的定義的局限性，引發(fā)探究欲望，初步訓(xùn)練學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析解決問(wèn)題的能力；
2.通過(guò)導(dǎo)數(shù)概念的復(fù)習(xí)，經(jīng)過(guò)學(xué)生自己作圖和教師動(dòng)畫(huà)演示割線“逼近”成切線的過(guò)程，讓學(xué)生感受函數(shù)圖像的切線的“形成”過(guò)程，獲得函數(shù)圖像的切線的意義，體會(huì)由“量變”到“質(zhì)變”的心路歷程；
3.經(jīng)歷割線“逼近”成切線的過(guò)程，獲得一般曲線的切線定義，感知并初步理解函數(shù) 在 處的導(dǎo)數(shù) 的幾何意義就是函數(shù) 的圖像在 處的切線的斜率，即 =切線的斜率；
4.通過(guò)分析導(dǎo)數(shù)的幾何意義，研究在實(shí)際生活問(wèn)題中，用區(qū)間較小的范圍的平均變化率，來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題的瞬時(shí)變化率，體會(huì)“以直代曲”的近似替代的方法，養(yǎng)成學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的方法，初步體會(huì)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的樂(lè)趣；
5.通過(guò)對(duì)高臺(tái)跳水模型的研究，初步體會(huì)如何利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義來(lái)描述比較 在 ， ， 處的變化情況的方法，達(dá)到梳理新知的目的，增強(qiáng)學(xué)生問(wèn)題應(yīng)用意識(shí)教育，讓學(xué)生獲得學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣與信心。
2學(xué)情分析
從知識(shí)上看，學(xué)生通過(guò)學(xué)習(xí)平均變化率，特別是函數(shù)的瞬時(shí)變化率及導(dǎo)數(shù)的概念的學(xué)習(xí)，學(xué)生對(duì)導(dǎo)數(shù)概念有了一定的理解和認(rèn)識(shí)，導(dǎo)數(shù)是對(duì)變化率的一種“度量”，同時(shí)也在積極思考導(dǎo)數(shù)的另一種體現(xiàn)形式——“形”。在此之前，學(xué)生對(duì)曲線(尤其是圓和圓錐曲線)的切線有了一定的認(rèn)識(shí)，特別是在學(xué)習(xí)圓錐曲線與直線關(guān)系時(shí)，對(duì)拋物線和雙曲線的切線的有一定的了解與認(rèn)識(shí)。從學(xué)習(xí)能力上看，通過(guò)一年多的學(xué)習(xí)實(shí)踐，學(xué)生已經(jīng)掌握了一定的探究問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)，具有一定的想象能力和研究問(wèn)題的能力。從學(xué)習(xí)心理上看，學(xué)生已經(jīng)掌握了圓的切線及圓錐曲線的切線，只是它的含義是從公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)方面來(lái)了解的，當(dāng)然在思維方面，形成了定勢(shì)：直線與曲線相切，直線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)。本節(jié)課切線的含義要在思維層次方面獲得上升，不是從公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)上來(lái)定義切線，而是由 “割線”的“逼近”來(lái)定義曲線的切線，把曲線的切線上升到新的思維層面上。通過(guò)概念的建立，概念的辨析，問(wèn)題的探究來(lái)激動(dòng)學(xué)生的好奇和興趣。
本節(jié)課的內(nèi)容蘊(yùn)含著導(dǎo)數(shù)的“數(shù)”和“形”兩種體現(xiàn)形式，“逼近”和“以直代曲”的思想和用已知探究未知的思考方法。在教學(xué)過(guò)程中應(yīng)重視并體現(xiàn)這些數(shù)學(xué)思想方法。根據(jù)本節(jié)課的內(nèi)容特點(diǎn)，教學(xué)過(guò)程中可充分借用信息技術(shù)這一輔助手段，利用幾何畫(huà)板的動(dòng)態(tài)作圖這一優(yōu)勢(shì)平臺(tái)為學(xué)生的問(wèn)題探究，概念形成，思維過(guò)程提供支持。
3重點(diǎn)難點(diǎn)
重點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的幾何意義，導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，“逼近”和“以直代曲”數(shù)學(xué)思想方法。
難點(diǎn)：對(duì)導(dǎo)數(shù)幾何意義的理解與掌握，在每點(diǎn)處“附近”的變化率與瞬時(shí)變化率的近似關(guān)系的理解。
關(guān)鍵：由割線 “逼近”切線的動(dòng)態(tài)變化效果，體現(xiàn)“量”與“質(zhì)”的轉(zhuǎn)化與相互替代。
4教學(xué)過(guò)程
4.1第一學(xué)時(shí)
4.1.1教學(xué)活動(dòng)
活動(dòng)1【導(dǎo)入】提出問(wèn)題－－－引入課題
【創(chuàng)設(shè)情境，誘發(fā)思考】
問(wèn)題1：初中平面幾何中，我們是怎樣判斷一條直線是否是圓的切線或割線？ 在高中選修2-1中，我們又學(xué)習(xí)了橢圓，以上判斷方法對(duì)橢圓的切線還適用嗎？
學(xué)生（預(yù)設(shè)）：通過(guò)公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)來(lái)判斷。直線和圓有惟一公共點(diǎn)時(shí)，直線叫做圓的切線，惟一公共點(diǎn)叫做切點(diǎn)．直線和圓有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，直線叫做圓的割線，兩個(gè)公共點(diǎn)叫做交點(diǎn)．
問(wèn)題2：上述圓與橢圓的切線的判斷方法是否適用于拋物線、雙曲線，甚至更一般的曲線呢？請(qǐng)思考下圖中的幾條直線，哪些是切線？
圖1
A
圖2
 
 
結(jié)論: 圓是一種特殊的曲線，圓的切線的定義并不能適用于一般曲線的切線，如圖2中的l5雖然與曲線有唯一的公共點(diǎn)A，但我們不能認(rèn)為它與曲線相切。而另一條直線l4，雖然與曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)，我們還是認(rèn)為它是曲線在點(diǎn)D處的切線。
問(wèn)題3：圓的切線除了直接用公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)來(lái)定義外，實(shí)際上也可以由割線通過(guò)平移或繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而得到。
學(xué)生活動(dòng)1：試在圖3、圖4中作出過(guò)點(diǎn)A的切線，并思考這條切線與割線l1的關(guān)系。（圖3中過(guò)A的直徑垂直于l1）
l1
教師：引導(dǎo)學(xué)生用平移和旋轉(zhuǎn)兩種觀點(diǎn)來(lái)認(rèn)識(shí)圓的切線，為定義一般曲線的定義作鋪墊。
l1
圖3
圖4
 
 
O
y=f(x)
x
y
Δx
Δy
P
P1
β
圖5
設(shè)計(jì)意圖：以上3個(gè)問(wèn)題旨在幫助學(xué)生反思圓的切線的定義的局限性，引發(fā)學(xué)生的思考，帶著問(wèn)題走進(jìn)課堂，從而為尋找更加科學(xué)的方法來(lái)定義曲線的切線作鋪墊，引導(dǎo)學(xué)生將數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行推廣和遷移。
提問(wèn)：對(duì)于一般的曲線，是否可以用這種旋轉(zhuǎn)的方式來(lái)定義曲線的切線呢？(為了回答這個(gè)問(wèn)題，讓我們回顧一下導(dǎo)數(shù)的知識(shí)，并從導(dǎo)數(shù)的角度來(lái)探究割線與切線之間的關(guān)系。)
問(wèn)題4：導(dǎo)數(shù)的定義是什么？
問(wèn)題5：求導(dǎo)數(shù)的方法步驟
第一步：求平均變化率
第二步：取極限，得導(dǎo)數(shù)
問(wèn)題6：你能借助圖像說(shuō)說(shuō)平均變化率 表示什么嗎？請(qǐng)?jiān)趫D5中畫(huà)出來(lái)。
設(shè)計(jì)意圖：（1）通過(guò)提問(wèn)，學(xué)生復(fù)習(xí)，實(shí)現(xiàn)類(lèi)比遷移，為探尋導(dǎo)數(shù)的幾何意義做準(zhǔn)備；
             （2）培養(yǎng)學(xué)生觀察圖像，歸納總結(jié)的能力.
活動(dòng)2【導(dǎo)入】探索問(wèn)題－－－合情推理
【實(shí)驗(yàn)探究，思維辨析】
問(wèn)題7：在圖6中作出過(guò)點(diǎn)P2、P3、P4、P5的割線，并注意觀察在點(diǎn)P1沿曲線逐漸向點(diǎn)P靠近的過(guò)程中，割線PPn的運(yùn)動(dòng)情況。
探究1：在Pn無(wú)限逼近P的過(guò)程中，你能描述一下割線PPn的變化情況嗎？用這種方式得到的切線具有一般性嗎？你認(rèn)為如何定義曲線的切線呢？
（通過(guò)PPT課件向?qū)W生演示 向 逐步逼近的動(dòng)態(tài)過(guò)程，結(jié)合圖形向?qū)W生引出切線的定義．）
設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生通過(guò)作圖來(lái)參與曲線的切的“逼近”的發(fā)現(xiàn)過(guò)程，初步體會(huì)曲線的切線的逼近定義。教師用PPT課件演示割線的動(dòng)態(tài)變化，為學(xué)生觀察、思考提供平臺(tái)，引導(dǎo)學(xué)生共同分析，直觀獲得切線定義；學(xué)生通過(guò)曲線的切線的定義解決了切線推廣的問(wèn)題，體驗(yàn)到數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)和數(shù)形結(jié)合的直觀。
活動(dòng)3【講授】解決問(wèn)題－－－獲取新知
【歸納提煉，得出新知】
（板書(shū)）1.曲線的切線的定義：當(dāng) 時(shí)，割線 （確定位置） ，PT叫做曲線在點(diǎn)P處的切線．
問(wèn)題8：切線 的斜率與割線 變化過(guò)程中的斜率有什么關(guān)系呢？
學(xué)生活動(dòng)3：學(xué)生自主思考，小組討論.
平均變化率
瞬時(shí)變化率
割線的斜率
切線的斜率
得出結(jié)論：割線斜率的極限是切線的斜率，即：切線的斜率k=
設(shè)計(jì)意圖：這個(gè)環(huán)節(jié)是整個(gè)教學(xué)過(guò)程中的難點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生在直觀認(rèn)識(shí)基礎(chǔ)上，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言歸納概括；另一方面使學(xué)生體會(huì)“由量變到質(zhì)變”的哲學(xué)思想。
教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)比導(dǎo)數(shù)定義表達(dá)式 與切線斜率 得出導(dǎo)數(shù)的幾何意義。
設(shè)計(jì)意圖：導(dǎo)數(shù)幾何意義的得出是整個(gè)教學(xué)活動(dòng)的重點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生將數(shù)與形結(jié)合，將切線斜率和導(dǎo)數(shù)相聯(lián)系，觀察、思考獲得導(dǎo)數(shù)的幾何意義.
(板書(shū))2.函數(shù)f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義
函數(shù)f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)就是切線PT的斜率k，即
探究2:解決“問(wèn)題2” 
結(jié)論: 這種通過(guò)逼近的方法，將割線趨于的確定位置的直線定義為切線，適用于各種曲線。所以這種定義才真正反映了切線的直觀本質(zhì)。
問(wèn)題9:研究導(dǎo)數(shù)的幾何意義有什么作用？ 請(qǐng)思考圖7中三幅圖的含義。
結(jié)論：以“直代曲”是微積分中的重要的思想方法，即以簡(jiǎn)單的對(duì)象(切線)來(lái)刻畫(huà)復(fù)雜的對(duì)象(曲線)。大多數(shù)的曲線就一小范圍來(lái)看，大致可看成直線，所以，某點(diǎn)附近的曲線可以用過(guò)此點(diǎn)的切線近似代替，即“以直代曲”。
設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)對(duì)點(diǎn)P附近圖像的逐步放大，讓學(xué)生體會(huì)到“某點(diǎn)附近的曲線可以用過(guò)此點(diǎn)的切線近似代替”這一“以直代曲”的數(shù)學(xué)思想方法，這種思想是微積分學(xué)中的重要思想方法．
（板書(shū)）3．?dāng)?shù)學(xué)思想方法：“以直代曲”思想方法．即曲線上某點(diǎn)的切線近似代替這一點(diǎn)附近的曲線.
活動(dòng)4【練習(xí)】新知應(yīng)用－－－及時(shí)鞏固
【學(xué)而習(xí)之，牛刀小試】
[練習(xí)]  求曲線y=f(x)=x2在點(diǎn)P(1,2)處的切線方程.
[文本框: 求曲線在某點(diǎn)處的切線方程的基本步驟:先利用切線斜率的定義求出切線的斜率,然后利用點(diǎn)斜式求切線方程.]
因此，切線方程為y-2=2(x-1)，即y=2x.
設(shè)計(jì)意圖：回顧重點(diǎn)，突出導(dǎo)數(shù)的幾何意義及應(yīng)用，學(xué)會(huì)利用導(dǎo)數(shù)的切線的關(guān)系解題。此練習(xí)讓學(xué)生獨(dú)立動(dòng)手完成，檢測(cè)學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握情況。
【游刃有余，提升能力】
[例1] 觀察跳水運(yùn)動(dòng)高度隨時(shí)間變化的函數(shù)h(t)=-4.9t2+6.5t+10的圖象，請(qǐng)描述曲線在t0,t1,t2附近的變化情況。以及t1,t2附近的增（減）快慢情況。
解：可用曲線h(t)在t0,t1,t2處的切線來(lái)描述曲線h(t)在上述三個(gè)時(shí)刻附近的變化情況．
(1)當(dāng)t=t0時(shí)，曲線h(t)在t0處的切線l0平行于x軸，所以，在t=t0附近曲線比較平坦，幾乎沒(méi)有升降；
(2)當(dāng)t=t1時(shí)，曲線h(t)在t1處的切線l1的斜率h/(t1)<0，所以，在t=t1附近曲線下降，即函數(shù)h(t)在t1附近單調(diào)遞減；
(3)當(dāng)t=t2時(shí)，曲線h(t)在t2處的切線l2的斜率h/(t2)<0，所以，在t=t2附近曲線下降，即函數(shù)h(t)在t2附近單調(diào)遞減；
另外，直線l1的傾斜程度小于直線l2的傾斜程度，說(shuō)明曲線h(t)在t1附近比在t2附近下降得緩慢。
講析要點(diǎn)：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，當(dāng)某點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)大于零時(shí)，說(shuō)明在這點(diǎn)的附近曲線是上升的，即函數(shù)在這點(diǎn)附近是單調(diào)遞增；當(dāng)某點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)小于零時(shí)，說(shuō)明在這點(diǎn)的附近曲線是下降的，即函數(shù)在這點(diǎn)附近是單調(diào)遞減；當(dāng)某點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)等于零時(shí)，說(shuō)明是函數(shù)的最大值點(diǎn)．
設(shè)計(jì)意圖：此例先由學(xué)生交流討論后，由學(xué)生回答，教師歸納結(jié)論。引領(lǐng)學(xué)生對(duì)問(wèn)題進(jìn)行定性分析，在某點(diǎn)處由切線的“走向”分析曲線的“走向”，滲透“以直代曲”的數(shù)學(xué)思想。
【歸納小結(jié)，規(guī)律提煉】
問(wèn)題10：通過(guò)觀察跳水問(wèn)題中導(dǎo)數(shù)的變化情況,你得到了哪些結(jié)論?
(1)以直代曲：大多數(shù)函數(shù)就一小段范圍看，大致可以看作直線，某點(diǎn)附近的曲線可以用過(guò)該點(diǎn)的切線近似代替；
(2)函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)正負(fù)的關(guān)系；
(3)曲線的變化快慢與切線的傾斜程度的內(nèi)在聯(lián)系.
【課堂練習(xí)，鞏固新知】
如果曲線y=f(x)在點(diǎn)(x0，f(x0))處的切線方程為x+2y-3=0，那么           (    )
A.f/(x0)>0        B.f/(x0)<0        C.f/(x0)=0          D.f/(x0)不存在
活動(dòng)5【講授】課堂小結(jié)－－－回味悠長(zhǎng)
1.本節(jié)課你學(xué)到了哪些知識(shí)？
(1)曲線的切線的定義；
(2)導(dǎo)數(shù)的幾何意義：
(3)求曲線在某點(diǎn)處的切線的方法步驟。
2.通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你了解了哪些方法？
(1)求曲線在某點(diǎn)處的切線的方法步驟。
(2)利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)來(lái)判斷函數(shù)的單調(diào)性；
(3)利用切線的傾斜程度來(lái)判斷曲線的變化快慢.
3.通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你了解了哪些數(shù)學(xué)思想？
(1)“以直代曲”；         (2)“逼近”；           (3)“數(shù)形結(jié)合”；
4.通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你還想繼續(xù)探究什么？
設(shè)計(jì)意圖：總結(jié)知識(shí)，加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解和記憶。同時(shí)，問(wèn)題4的設(shè)計(jì)是讓學(xué)生“帶著問(wèn)題走進(jìn)課堂，帶著思考走出課堂”
活動(dòng)6【作業(yè)】課后思考－－－努力前行
課后思考：已知導(dǎo)函數(shù)f/(x)的下列信息：
當(dāng)1<x<4時(shí)，f/(x)>0，當(dāng)x>4或x<1時(shí)，f/(x)<0，當(dāng)x=4或x=1時(shí)，f/(x)=0
試畫(huà)出函數(shù)f(x)的大致形狀。
【課后作業(yè)】
1.閱讀教材P6-8
2.P10習(xí)題A4-6。

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