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視頻標簽：直線與橢圓的位置關系

所屬欄目：高中數(shù)學優(yōu)質課視頻

視頻課題：高三數(shù)學復習《直線與橢圓的位置關系》福建省優(yōu)課

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高三數(shù)學復習《直線與橢圓的位置關系》福建省優(yōu)課

高三復習《直線與橢圓的位置關系》教學設計 
教學目標： 
1.掌握直線與橢圓的位置關系的判斷方法，結合一題多變、一題多解的形式，掌握利用“數(shù)形結合思想”和“方程思想”在解決圓錐曲線過程中的應用。   
2．掌握和運用直線被橢圓所截得的弦長及相應的直線方程相關題型的解決方法；   3．培養(yǎng)學生主動探究知識、合作交流的意識和運用方程思想、分類討論、數(shù)形結合等重要數(shù)學思想解決問題的能力，激發(fā)提出問題和解決問題的勇氣。 
教學重點：直線與橢圓的位置關系的判定及方程思想、分類討論思想、數(shù)形結合思想的運
用。 
教學難點：等價轉換、數(shù)形結合、設而不求在解題中的靈活應用。 教學方法：多媒體課件輔助教學. 教學過程： 
一、高考要求： 
1、能解決直線與橢圓的位置關系的判斷  2、會用弦長公式求弦的長；  
3、會利用“設點代點、設而不求”的方法求弦所在直線的方程等。 
本節(jié)內容是《直線與圓錐曲線的位置關系》，著重是掌握如何判斷直線與橢圓的位置關系，體會運用方程思想、數(shù)形結合、分類討論、類比歸納等數(shù)學思想方法，優(yōu)化解題思維，提高解題能力。這為后面解決直線與圓錐曲線的綜合問題打下良好的基礎。 
二、知識梳理： 
1．點與橢圓的位置關系 
點P(x0,y0)與橢圓22xa+2
2y
b
=1(a>b>0)的位置關系: 
點P在橢圓上 ⇔202xa+202yb=1,點P在橢圓內部 ⇔202xa+202yb<1,點P在橢圓外部 ⇔202xa+2
0
2yb
>1. 
2．直線Ax+By+C=0與橢圓22xa+2
2yb
=1的位置關系： 
（1）幾何法(數(shù)形結合思想) （2）代數(shù)法（方程思想）     Δ的取值 解的個數(shù) 
公共點個數(shù) 
位置關系 Δ>0 2 2 相交 Δ=0 1 1 相切 Δ<0 
0 
0 
相離 
3．橢圓的弦長 
）0（或0  1 
0x聯(lián)立2222112122
2
2CyByACxBxAbya
xCByA
                    
             
                    
                            2 
 
（1）若直線AB斜率不存在，即直線AB：x=x1，則|AB|=|y1-y2| 
（2）若直線AB斜率存在，設直線方程：y=kx+b，與橢圓22xa+2
2yb
=1(a>b>0)交于
A(x1,y1),B(x2,y2),則弦長|AB| 
法1：解方程組得A、B的坐標再求|AB|； 
法2：利用韋達定理與弦長公式求。(設而不求) 
|AB|=2
1k|x1-x2|=
2
1k21212
()4xxxx 
=
2
11k|y1-y2|=
2
11k21212
()4yyyy. 
 
 
三、應用舉例： 
例1.（1）判斷直線y=2x+1和橢圓              的位置關系； 直線與橢圓相交。,064089  12
12）聯(lián)立1解：（2
2
2xxyxxy 
 
變式：設交點分別為A、B，求所截弦長|AB|. 
解： 
958）971（）980（|| ）9
7
-，98-（）1，0（法一：22
ABBA 
9
58)98(54)(k1||k1|AB| 0,9
8
法二：22
122122122121


xxxxxxxxxx 
 
（2）判斷直線y=2x+m和橢圓              
的位置關系； 2
222
22
2872)22(366402289  122）聯(lián)立2解：（mmmmmxxyxm
xy 
.直線與橢圓相離,時3或3，即0當時，直線與橢圓相切；3，即0當時，直線與橢圓相交；33-，即0當mmmm 
12
22
yx12
22
yx
                    
             
                    
                            3 
 
所在直線的方程。
最長弦相交時，被橢圓截得的
12
與橢圓 m2xy：求直線1變式22
AByx 
02289解：聯(lián)立方程22mmxx 
時，直線與橢圓相交；33-，即0當m 
2
222
1221221222121m-99
10
29）22（4)98(54)(k1||k1|AB| 922,98



mmxxxxxxmxxmxx 
.2  所在直線方程為AB 最長，此時|AB|時，0當xym 
 
最小？最小距離是？
的距離
上是否存在一點到直線12
時，橢圓4：當2變式22
yxm 
與橢圓相離42 時，直線4解：xym 
5
55
|
43|.的距離42，32即兩平行直線的距離最短，42直線與橢圓的交點到
32 直線min
dxyxyxyxy 
 
（3）直線y=kx+1和橢圓              恒有公共點，求m的取值范圍。  
0224)2(  12
1
聯(lián)立2
且0）依題意可知，3解法一：（2222
mkxxkmmy
xkxymm 01688)22)(2(4162222mkmmmkmk 
1212km 
綜上可知，m的取值范圍為[1,2)∪(2,+∞). 
122
2m
yx
                    
             
                    
                            4 
 
2且0解法二：依題意可知，mm 
直線y=2x+1過定點（0，1） 
① 當m<2時，橢圓焦點在x軸上，短半軸長b=m， 
要使直線與橢圓恒有交點，則
，
1m21即m ②當m>2時，橢圓焦點在y軸上，長半軸長a=2m 
可保證直線與橢圓恒有交點，即m>2 
綜上可知，m的取值范圍為[1,2)∪(2,+∞).  
2且0解法三：依題意可知，mm 
直線y=2x+1過定點（0，1） 
要使直線與橢圓恒有交點，即要保證 定點（0，1）在橢圓上或內部： 
11202
2m   1即m 
綜上可知，m的取值范圍為[1,2)∪(2,+∞). 
 
設計說明： 
（1）學生可以分別從形和數(shù)這兩個角度考慮； 
（2）含參問題，需要分類討論，來判斷直線和橢圓的位置關系； 
（3）可以利用根的判別式得出恒成立，這個代數(shù)角度去解決，也可以從直線過定點（0，1）的幾何角度去解。  
（4）利用一題多解的形式，鍛煉學生的思維能力。 
 
的面積。兩點，求,于的直線交橢圓
）及2-，0（，若過,的左右焦點分別為12
已知橢圓.2例212122
ABFBAFPFFyx 
（一題多解） 
022方程為直線,1,1,2解：222yxABcba 
 
 
                    
             
                    
                            5 
 
9
2
104)(1|
|1||32
,916,06169可得12
22法一：由21221221221212
2
2


xxxxkxxkABxxxxxxxyyx 
5545
|
22|的距離到直線又2

hABF 
.9104554921021||212
hABSABF 
。91049104221||||219
10
44)(||94
,94,0449可得12
022法二：由2121212212121212
2
22



yyFFSyyyyyyyyyyyyyxABFyx 
 
設計說明： 
（1）弦長公式的應用； 
（2）一題多解的形式，利用韋達定理，設而不求，求出弦長。 
 
四、小結 
1.直線與橢圓的三種位置關系及判斷方法： 
解方程組消去其中一元得一元二次型方程 △<0 相離 ；△=0 相切 ；△>0 相交 2.弦長的計算方法：（適用于任何曲線） 
|AB|=
2
1k|x1-x2|=
2
1k21212
()4xxxx=
2
11k
|y1-y2|=
2
11k
21212
()4yyyy.  
    
 
                    
             
                    
                            6 
 
五、知識檢測 
1.若直線y=x+m和橢圓4x2+y2
=1有公共點，求實數(shù)m的取值范圍。  
2.橢圓            上的點到直線                   最大距離是        。  
3.過橢圓x2+2y2=4的左焦點作傾斜角為300
的直線，則弦長|AB|=       。  
教學反思： 
本節(jié)先讓學生完成學案，明確要復習的相關知識，提示學生以直線和圓錐曲線的幾何特征為主線展開思考和討論，回顧相關知識，教學過程中主要利用一題多變、一題多解的形式，梳理直線與橢圓的位置關系的知識點，通過數(shù)形結合、函數(shù)與方程思想，培養(yǎng)并提高學生的運算能力和發(fā)散思維能力。 
本節(jié)的成功之處是從一道例題展開，由點到面，梳理知識結構，培養(yǎng)思維能力，減少了很多重復運算和重復練習講解，讓高考備考一輪復習的教學從“題海”中走出來，這也完全符合新課程標準的精神。 
其次，教學過程中利用電子白板、PPT動畫演示呈現(xiàn)課堂教學內容，同時利用實物投影的功能實時反饋學生的答題情況，體現(xiàn)了信息技術與課程的有機整合，提高了教學效率。   
六、板書設計  
課題：高考復習：直線與橢圓的位置關系 
1． 點與橢圓的位置關系            例1                    例2 2． 直線與橢圓的位置關系  
3． 弦長公式

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