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視頻標簽：習題課,綜合題的探究
視頻課題：初中數(shù)學人教版七年級上冊習題課一道綜合題的探究-北京市57中
教學設(shè)計、課堂實錄及教案：初中數(shù)學人教版七年級上冊習題課一道綜合題的探究-北京市第五十七中學
習題課----一道綜合題的探究
一．設(shè)計思路：
初一第一學期學完了前三章代數(shù)的知識，這道綜合題是海淀區(qū)初一第一學
期期末的最后一道壓軸題，綜合性確實非常強，涉及的知識點很多，不僅要
對多種情況進行分類，而且還要進行取舍。題中出現(xiàn)了三個數(shù)，而且都是字母的形式，用到了方程的思想，把兩個字母用含有a的代數(shù)式先進行表示，再列方程。雖然有難度，但是我還是很喜歡這道題，我覺得可以借助這道題教會孩子思考綜合題的方法，從哪些方面來考慮。
二．教學過程：
一個字母可以表示什么數(shù)呢?可以是正數(shù)，負數(shù)或零，自從負數(shù)引入到有理數(shù)這個大家庭中后，數(shù)的運算就變得豐富多彩起來。本節(jié)課我們通過一道綜合題的探究，看看最后大家都會有哪些收獲。
（一）對問題的初步認識：
探究題目：在數(shù)軸上，點A向右移動1個單位長得到點B，點B向右移動n+1（n為正整數(shù)）個單位長得到點C，點A、B、C分別表示有理數(shù)a、b、c．
（1）當n=1時，A、B、C三點在數(shù)軸上的位置如圖所示，a、b、c三個數(shù)的乘積為正數(shù)。
①數(shù)軸上原點的位置可能是（）
A、在點A左側(cè)或在A、B兩點之間
B、在點C右側(cè)或在A、B兩點之間 C、在點A左側(cè)或在B、C兩點之間 D、在點C右側(cè)或在B、C兩點之間
問題1：題目中的關(guān)鍵詞是什么？你能得到什么結(jié)論?
第一個關(guān)鍵詞是n=1，如果這時沒答這個也沒關(guān)系，對本題不影響。第二個是a、b、c三個數(shù)的乘積為正數(shù)，即abc>0,根據(jù)乘法的運算法則，積為正，則負因數(shù)的個數(shù)為偶數(shù)個，所以是0個或2個，即3個正數(shù)，或2負1正兩種情況。所以原點應該在點A左側(cè)或在B、C兩點之間，選c。老師板書+++，--+。
問題2：如何用含有a 的式子表示b和c呢？
因為n=1，且點B在點A的右側(cè)，所以b=a+1，同理c=a+3。這樣題目中的數(shù)b,c就換成了a的代數(shù)式。用含有字母a的的代數(shù)式來表示數(shù)b和c。一道題中，字母越少越好。
（二）對問題的進一步認識：
探究題目：在數(shù)軸上，點A向右移動1個單位長得到點B，點B向右移動n+1（n為正整數(shù)）個單位長得到點C，點A、B、C分別表示有理數(shù)a、b、c．
（1） 當n=1時，A、B、C三點在數(shù)軸上的位置如圖所示，a、b、c三個數(shù)的乘積為
正數(shù)。
BC
A2
1
c=a+3
b=a+1
a
C
B
A
②若這三個數(shù)之和與其中的一個數(shù)相等，則a=；
問題1：如何理解這三個數(shù)之和與其中的一個數(shù)相等？
與其中一個數(shù)相等，可以是a,也可以是b，也可以是c，所以有三種情況，要分類討論，列出三個方程，解方程。
1）a+b+c=a,a+(a+1)+(a+3)=a解得a=-2 2）a+b+c=b,a+(a+1)+(a+3)=a+1解得a=-1.5 3）a+b+c=c,a+(a+1)+(a+3)=a+3解得a=-0.5 問題2：這三個解，三個a值都合適嗎？為什么？
題目中還有一個條件，即abc>0，所以要用這個條件來對a值進行取舍，不能忽視。 如：當a=-0.5時，a+1=0.5，a+3=2.5，此時abc<0，矛盾，所以舍去。而另外兩個都是符合題意的。所以首先要把題目中的條件弄清楚共有幾個，其次答案不唯一時要思考進行取舍。 問題3：對于這道題目，你還有別的想法或方法嗎？
有，這三個數(shù)之和與其中的一個數(shù)相等，它的隱含意思是其中兩個數(shù)的和為零，這
樣三個方程就可以簡化為：
1）b+c=0,(a+1)+(a+3)=0，解得a=-2 2）a+c=0,a+(a+3)=0，解得a=-1.5 3）a+b=0,a+(a+1)=0，解得a=-0.5
然后再進行取舍，這樣方程解起來稍微簡單一點兒。
問題4：我們剛才挖掘出了第②問的隱含意思是其中兩個數(shù)的和為零，如果再結(jié)合數(shù)軸，你能怎樣解決第②問呢？
兩個數(shù)的和為零，就是兩個數(shù)互為相反數(shù)，因為a,b,c三個數(shù)都不相等，所以不可能是零和零的情況，只能是一個正數(shù)和一個負數(shù)。共有三種情況：
1） a與b互為相反數(shù)，則原點O在AB中點處，可是這樣就出現(xiàn)了a為負數(shù)，b,c為
正數(shù),abc<0,就和題目條件矛盾了，所以直接舍去；
2） a與c互為相反數(shù)，則原點O在AC中點處，且在B的右邊，∵AC=3,∴OC=1.5，
∴a+3=1.5,a=-1.5 且兩負一正符合題意；
3） b與c互為相反數(shù)，則原點O在BC中點處，BC=2，OC=1，a+3=1,a=-2,且兩負一
正符合題意。
以上問題都請學生思考后回答講解，其他同學補充，老師最后點撥。
小結(jié)：由上面可知，先挖掘出隱含意義，把三個量的關(guān)系變成兩個量的關(guān)系，再結(jié)合數(shù)軸分析很容易就淘汰了一種情況，不用列方程計算了，這樣整個過程就變得很簡潔。
（三）對問題的更深入認識：
探究題目：在數(shù)軸上，點A向右移動1個單位長得到點B，點B向右移動n+1（n為正整數(shù)）個單位長得到點C，點A、B、C分別表示有理數(shù)a、b、c．
（2）將點C向右移動n+2個單位長得到點D，點D表示有理數(shù)d．若a、b、c、d四數(shù)之積為正數(shù)，且這四個數(shù)的和與其中兩數(shù)之和相等，則a=_____________________________(a用含n的代數(shù)式表示)
問題1：此時b,c,d如何用a的代數(shù)式表示呢？
2
1
a+3
a+1
a
O
C
B
A
問題2：a、b、c、d四數(shù)之積為正數(shù)，可以得到什么結(jié)論？ 共有三種情況：1)++++; 2)- - ++; 3)- - - - .所以原點的位置也有三種：在點A左側(cè)，在B，C之間，在點D右側(cè)。
問題3：這四個數(shù)的和與其中兩數(shù)之和相等的隱含意義是什么？
隱含意義是另外兩個數(shù)的和為零，也就是互為相反數(shù)。所以有6種情況。 1)a與b互為相反數(shù)；2)a與c互為相反數(shù)；3)a與d互為相反數(shù)； 4)b與c互為相反數(shù)；5)b與d互為相反數(shù)；6)c與d互為相反數(shù)； 問題4：請大家結(jié)合數(shù)軸，你還有什么想法呢？ ∵a、b、c、d四數(shù)之積為正數(shù),所以原點的位置有三種：在點A左側(cè)，在B，C之間，在點D右側(cè)。
1) 當a與b互為相反數(shù)時，原點在AB中點，此時一負三正，乘積為負，不合題意，舍去； 2) 當a與c互為相反數(shù)時，原點在AC中點，且在B的右側(cè)，此時可以；
3) 當a與d互為相反數(shù)時，原點在AD中點，此時恰好是點C，∵c≠0，∴點C不可能是
原點，矛盾，舍去；
4) 當b與c互為相反數(shù)時，原點BC中點，此時可以；
5) 當b與d互為相反數(shù)時，原點在BD中點，且在點C右側(cè)，三負一正，乘積為負，不合
題意，舍去；
6) 當c與d互為相反數(shù)時，原點在CD中點，也是三負一正，乘積為負，不合題意，舍去；
通過結(jié)合數(shù)軸分析，最后6種情況只剩下了2種符合題意，所以我們只要解兩個
小方程就可以了，問題一下子變得很簡潔了，計算量大大較少了。所以這一問更加突顯了數(shù)軸的作用，更好地體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的重要性。
也就是①a+c=0,a+(a+n+2)=0，解得a=-𝑛+22
②b+c=0,(a+1)+(a+n+2)=0, 解得a=-𝑛+32
所以a=-𝑛+22
或 a=-
𝑛+32
問題5：請大家思考，如果不借助數(shù)軸，而是純代數(shù)方法，直接解6個方程，最后再用4個數(shù)乘積為正去淘汰，具體過程是怎樣呢？留給大家課后完成，與我們課上講的方法進行比較，看看哪個更好？
三．課后反思
由于這節(jié)課包含的信息量太大，知識點太多，而且方法多樣，難點較多，課上我主要是讓孩子們獨立思考，逐步分析挖掘，交流討論，互相質(zhì)疑，從而完成了本節(jié)課。有少部分孩子善于利用數(shù)軸解決問題，分析得很是清楚。這節(jié)課孩子們還是有很多收獲的。
1，通過這節(jié)課，他們知道首先要好好讀題審題，抓住每一個重要條件，多個結(jié)論要進行取舍，其次還要善于看到條件背后隱含的信息，從而簡化過程，
d=a+2n+4
n+2
a
b=a+1
c=a+n+2
1
n+1
D
C
B
A
d=a+2n+4
n+2
a
b=a+1
c=a+n+2
1
n+1
D
C
B
A
另外很多孩子還不太適應借助圖形--數(shù)軸來對問題進行研究。
通過本節(jié)課的學習，孩子們會學著從形的角度去解決問題，會非常簡單。 由于這節(jié)課包含的信息量太大，知識點太多，所以還是很有難度和深度的，課還是有點緊，進行得有點趕，應該再多給孩子門一些探討交流和梳理的時間，及時消化的時間，可能學習效果會更好些。
對于這節(jié)課，北師大的朱文芳教授也做了充分的肯定，說題目雖然很難，但是孩子們表現(xiàn)得非常好，思維很活躍，各種想法，她聽了很震撼。不過朱教授也指出此題難度還是過大，今后的趨勢會是難度下降，所以以后上課要適當?shù)亟档碗y度。
視頻來源：優(yōu)質(zhì)課網(wǎng) www.jjlqy.cn
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