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視頻標簽：正方形的判定
所屬欄目：初中數學優質課視頻
視頻課題：北師大版初中數學九年級上冊《3.2正方形的判定》福建省 - 廈門
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《3.2 正方形》教學設計
一、教材分析
《正方形的判定》是北師大版數學教材九年級（上冊）第一章的第三節內容。本節課是在學習了平行四邊形、菱形和矩形知識的基礎上，對正方形判定方法的探索，是所學特殊四邊形知識的綜合運用。教材通過“將一張長方形紙對折兩次，然后剪下一個角，打開，怎樣剪才能剪出一個正方形？”的剪紙實驗為引入引導學生探索正方形的判定方法；通過例題，結合正方形的判定和矩形的性質進行正方形的證明；最后探索正方形的中點四邊形，是正方形的判定的再應用。這一節課既是前面所學知識的延續，又是對平行四邊形、菱形、矩形的判定進行綜合的不可缺少的重要環節。
二、學情分析
在之前的學習中，學生已經借助折紙、畫圖、測量、猜想、證明等活動探索學習了平行四邊形、菱形、矩形的性質和判定，在本節第一課時學習了正方形的定義和性質。特別地，在《菱形的判定》一課中已經做過剪紙實驗：“對折兩次，任意剪一個角”得菱形。在相關知識的學習中，學生經歷了“探索——發現——猜想——證明”的過程，初步體會了提出猜想后還應予以證明的意義，感受到了合情推理與演繹推理之間相互依賴和相互補充的辯證關系，因此學生已經具有一定的推理證明的能力。八年級時學生還學習了三角形中位線定理，為本節課探究正方形的中點四邊形作了鋪墊。因此學生已經具備知識基礎和實驗操作經驗。
值得注意的是，結合小學階段的學習，學生對正方形的認識主要在特征性質：四邊相等，四個角相等，但是對正方形的判定相對陌生。因此，本節課的教學設計將重點放在正方形判定的探索上，設計教學引入環節：先以學生熟悉的剪菱形的方法作為引入，在菱形的基礎上剪矩形，偶然發現正方形，自然得出正方形的判定方法——既是菱形又是矩形的四邊形是正方形。通過對生活中常用的正方形的折法分析，利用學習的新知解釋了生活中常見的問題，使學生體會到學習數學的作用和意義。通過學生自主探究、在舊知的基礎上發現新結論的過程，有效突
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破了本節重難點，提升了學生的成就感與學好數學的信心。
三、教學目標
本課時教學目標源于課標，略高于課標要求。 1. 理解正方形與矩形、菱形的關系，會識別正方形；
2. 以折紙為主線，以幾何直觀的方式，探索各種正方形的識別方法； 3. 經歷探索四邊形成為正方形的條件的過程，培養學生直觀想象、數學抽象的能力，以及動手操作的能力和主動探究的意識。
四、教學重難點
重點：探索正方形的判定方法；
難點：能運用正方形的判定方法解決有關問題。
五、教學準備
多媒體、實物投影儀、學生導學案、網頁動畫演示。
六、教學方法和手段
基于本節課內容的特點和學生的心理及思維發展的特征，在教學中選擇激趣法、討論法和總結法相結合。與學生建立平等融洽的互動關系，營造合作交流的學習氛圍。在引導學生進行觀察分析、抽象概括、練習鞏固各個環節中運用實物、多媒體進行演示，增強直觀性，提高教學效率，激發學生的學習興趣。
七、教學過程
一、創設情境，導入新課
復習：我們學習過哪些特殊的四邊形？
問題1：如圖1，把一個長方形的紙片對折兩次，然后剪下一個角，打開后觀察，你得到了一個什么圖形？
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（學生動手實驗，發現剪出來的四邊形是菱形。） 師：你的依據是什么？
生：四條邊相等的四邊形是菱形。
（設計意圖：1.以學生熟悉的剪紙為引入，易使學生產生親切感，容易較快進入學習角色； 2.通過已經學習的菱形的判定等相關知識解決問題，讓學生在具體的操作中體會已學數學知識的實際應用，獲得成就感，增強學習數學的信心； 3.為下一步在菱形的基礎上得到正方形作鋪墊。）
二、實驗操作，探究新知
問題2：怎么在這個獲得菱形的任意直角三角形的基礎上，剪一刀而得到的展開圖是矩形？并說說你的依據。
（學生思考，將圖形折回初始的三角形，進行修正。）
生1：我發現了這個直角三角形的兩條直角邊是展開圖對角線的一半，所以我使剪下的三角形的兩直角邊相等，從而對角線相等，所以在平行四邊形的前提下，它是一個矩形。
生2：使剪下的三角形的一個底角為45 ，從而有一個角為90 ，所以它是一個矩形。
師：現在觀察你們剪好的圖形，它既是菱形、又是矩形，這個圖形你熟悉嗎？ 生：它是一個正方形！
師：好。正方形是我們熟悉的幾何圖形，它的四條邊都相等，四個角都是直角。回顧剛才剪紙的過程，我們如何得到正方形的？
生：使這個四邊形既是菱形，又是矩形。 歸納：既是菱形又是矩形的四邊形是正方形。
（設計意圖：學生在菱形的基礎上剪矩形的過程中“偶然”發現了正方形，得出既是菱形又是矩形的四邊形是正方形的判定。通過設置數學剪紙實驗讓學生進行獨立的探究學習，促使學生主動參與數學知識的“再發現”，印象深刻，突出了教學重點。同時也培養了學生動手實踐能力，以及觀察、分析、比較、抽象、概括的思維能力。）
問題3：除了剛才的方法外，怎樣將一張矩形紙通過適當折疊后，一刀剪出
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正方形？
生：對折使得兩邊重合，截掉其余部分，得到正方形。
師：結合剛才的學習，你現在能否解釋為什么得到的是正方形？ 學生分小組討論。
生總結：對折后，有三個角是直角，因此它是矩形。邊重合，說明平行四邊形鄰邊相等，因此它是菱形。這個四邊形既是矩形又是菱形，所以它是正方形。
教師結合集合關系圖再次總結正方形與平行四邊形、矩形和菱形的關系。 歸納：證明一個四邊形是正方形時，可以先判定這個四邊形是菱形、再判斷它是矩形；也可以先判定這個四邊形是矩形，再判定它是菱形。
（設計意圖：學生熟悉如何折出一個正方形，所以回答問題3的作法并不困難。通過對生活中常見問題的數學解釋，使學生深刻體會到數學來源于生活，又服務于生活，再一次直觀感受到判定正方形的依據——矩形且菱形，進一步體會推理的過程，感受數學的生動和嚴謹。）
問題4：如果現在讓你判定正方形，你想怎么判定？ 教師設置填空幫助學生歸類： 1. ___________的菱形是正方形； 2. ___________的矩形是正方形； 3. ___________的平行四邊形是正方形； 4. ___________的四邊形是正方形；……
生1：有一個角是直角（或對角線相等）的菱形是正方形； 生2：有一組鄰邊相等（或對角線互相垂直）的矩形是正方形； 生3：有一組鄰邊相等且有一個角是直角的平行四邊形是正方形； 生4：既是矩形又是菱形的四邊形是正方形； 生5：有三個角是直角且四邊相等的四邊形 ……
歸納：判定一個四邊形是正方形的方法較多，但本質上都能總結為既能判定一個四邊形是矩形，又能判定這個四邊形是菱形，這也是今后我們判定正方形的方法。
（設計意圖：書本沒有完全列舉正方形的判定方法，基于此，這里讓學生自
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主思考，針對正方形的判定要素進行總結，培養學生的嚴謹思維和創新能力。）
三、例題講解，新知應用
例題1. 如圖2，△ABC中，∠ACB=90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分別為E、F. 求證:四邊形CFDE是正方形.
學生獨立思考、分析、解答問題。
教師應重點關注：1. 判定的順序，先證明矩形再證明菱形更為簡便；2. 應用角平分線的性質得出鄰邊相等。
證明：∵CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC
∴DE=DF（角平分線上的點到角的兩邊的距離相等） ∴∠DEC=∠ECF=∠CFD=90°
∴四邊形CFDE是矩形（有三個角是直角的四邊形是矩形） 又∵ DE=DF（已證）
∴四邊形CFDE是菱形（有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形） ∴四邊形CFDE是正方形.（既是矩形又是菱形的四邊形是正方形）
（設計意圖：此例題是正方形判定的應用，結合條件選擇最優證法。將新知識內化入學生已有的認知結構，突破了本節的難點。） 練習：如圖3，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCE，BF // CE，CF // BE. 求證：四邊形BECF是正方形.
生獨立完成，一人上臺板書。教師進行指導完善。 （設計意圖：進一步應用和鞏固所學知識。）
四、深化思維，拓展延伸
例題2. 已知：如圖4，點E、F、G、H分別是正方形ABCD的四條邊上的中點. 求證：四邊形EFGH是正方形.
生思考，進行一題多解，發散思維。
變式：如圖5，點E、F、G、H分別是正方形ABCD的四條邊上的點，并且 AE=BF=CG=DH. 證明四邊形EFGH是正方形.
教師運用網頁動畫變化AE=BF=CG=DH的長度展示動圖，使學生發現圖形中的不變量：四個全等三角形、正方形EFGH等，
G
F
E
H
B
C
A
D
F
E
D
A
BC
H
GFE
D
C
B
A
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并進行證明。
（設計意圖：例題到變式，是特殊到一般的推廣。借助幾何軟件動態演示圖形運動的變化，發現其中不變的性質，具有生動性和直觀性。使學生經歷觀察-實驗-猜想-證明的數學探究的過程，符合學生的認知規律，進一步提高認知水平。）
五、歸納小結，內化知識
1.通過本節課的學習，你學習了哪些知識？ 2.對于判定一個四邊形是正方形，你還有哪些疑問？
六、課后作業，顆粒歸倉 1、課本P24. 練習；P26. 2、5；
2、選做題：如圖6，正方形ABCD和正方形CEFG，延
長CD到H，且DH=CE=BK. 求證：四邊形AKFH是一個正方
形.
（設計意圖：作業分層。）
八、設計說明
本節以三個折紙活動為主線，以正方形與特殊四邊形的關系為核心，通過幾何直觀的方式串聯各種正方形的識別方法。設計思路的過程如下：
第一個實驗是一刀剪出菱形，這是已學內容，為下個實驗做好鋪墊。 第二個實驗由北師大課本的實驗引入得到啟示：實際上這個過程就是控制展開圖既是菱形又是矩形。于是教師分散難點，將實驗過程分成了兩步：先剪菱形，后剪矩形，學生展開后“意外”發現得到了一個新的特殊圖形：正方形。將原題中已知圖形改為未知圖形，學生在操作的過程中自主發現并總結得到正方形的方法，真正成為了學習的主人，提高了學習數學的興趣。
第三個實驗由人教版課后的剪正方形紙片的練習得到啟示：這個生活中常見的操作同樣也體現了既是矩形又是菱形的四邊形是正方形。由于學生對生活中的折紙只停留在感性的認識，所以這里設計問題：為什么得到的是正方形？利用學習的數學知識解釋了實驗操作的合理性，是對正方形判定的二次推理和應用，體
KH
G
F
E
DC
B
A
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現了數學來源于生活又應用于生活，提升學生數學學習的成就感和應用數學的意識。
學生通過數學折紙活動進行實驗探索，親身體驗得到正方形的操作過程，進而總結正方形的判定方法。在這個過程中，教師只是為學生提供“做中學”、“想中學”、“動中學”空間的引導者，學生作為學習的主體在自主操作和探究中體驗到發現與收獲，既加深了學生對正方形判定的認識，又培養了學生的直觀想象、數學抽象的能力，有效突破了本節課的重難點。這一節課將數學實驗與數學理論有效結合，相輔相成，體現了數學的嚴謹思維和靈巧生動。
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