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視頻標簽：根與系數的關系
所屬欄目：初中數學優質課視頻
視頻課題：北師大版初中數學九年級上冊《一元二次方程的根與系數的關系》寧夏省級優課
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第二章 一元二次方程
5．一元二次方程的根與系數的關系
一、學生知識狀況分析
“一元二次方程根與系數的關系”是《一元二次方程》中繼“一元二次方程的解法”之后的一個學習內容，學生已學習的用公式法解一元二次方程中的求根公式是本節課的基礎。基于初中三年級學生對事物的認識多是直觀、形象的，他們所注意的多是事物外部的、直接的、具體形象的特征，所以在教學初始，出示一些學生所熟悉和感興趣的東西，結合一元二次方程求根公式使他們在現代化的教學模式和傳統的教學模式相結合的基礎上掌握一元二次方程根與系數的關系。
二、教學任務分析
本節是從相關知識的復習入手，目的是在鞏固舊知的基礎上為后續學習打鋪墊，再通過計算、比較、分析、歸納發現根與系數的關系，發展學生的感性認識，合作意識，讓學生體會由特殊到一般的認知過程。根與系數的關系也稱為韋達定理（韋達是法國數學家），韋達定理是初中代數中的一個重要定理。這是因為通過韋達定理的學習，把一元二次方程的研究推向了高級階段，運用韋達定理可以進一步研究數學中的許多問題，如二次三項式的因式分解，解二元二次方程組；韋達定理對后面函數的學習研究也是作用非凡。同時通過韋達定理的教學，可以培養學生的創新意識、探究精神和綜合分析數學問題的能力，也為學生今后學習方程理論打下基礎。為此，確定本節課的教學目標和核心素養為：
教學目標：1、理解掌握一元二次方程ax2
+bx+c=0 (a≠0)的兩根x1，x2與系數a、b、c之間的關系。
2、能根據根與系數的關系式和已知一個根的條件下，求出方程的另一根，以及方程中的未知數。
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3、會求已知方程的兩根的倒數和與平方和、兩根的差。 核心素養：
1、在推導過程中，培養學生“觀察——發現——猜想——證明”的研究問題的思想與方法。
2、在學習過程中，培養學生一題多解，勇于嘗試，大膽挑戰的能力。
三、教學過程分析
本節課設計了七個教學環節：第一環節：復習回顧；第二環節：情境引入；第三環節：探究新知；第四環節：鞏固應用；第五環節：能力提升；第六環節：感悟與收獲；第七環節：布置作業。
第一環節：復習回顧
內容：
1、一元二次方程的一般形式？ ax2
+bx+c=0 (a≠0)（板書）
2、一元二次方程有實數根的條件是什么？ (△=b2
-4ac≥0)
3、一元二次方程的求根公式是什么？
目的：以問題串的形式引導學生思考，回憶公式法解一元二次方程的相關知識，
有利于學生銜接前后知識，形成清晰的知識脈絡，為后面的學習作好鋪墊。 效果：第一問題學生先動筆寫在練習本上，有個別同學少了條件“a≠0”。
后面的問題由于較簡單，學生很快回答出來，提高了學生自信心。
第二環節：探究新知
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內容： 計算填表
方程 x1 x2 x1+x2 x1x2
x2- 5x+6=0 x2+6x+8=0
9x2
-6x+1=0
問題：
1、你找到快速求出一元二次方程的兩根和與兩根積的方法了嗎？ 2、剛才我們列舉了部分方程發現兩根和、兩根積與系數的關系，那么是不是所有的一元二次方程根與系數都有這樣的關系呢？
3、請根據以上的觀察發現進一步猜想：方程ax2
+bx+c=0 (a≠0)的根x1，x2
與a、b、c之間的關系：____________。
4.你能證明上面的猜想嗎？請證明，并用文字語言敘述說明。 （分小組討論以上的問題，并作出推理證明。）
例1、利用根與系數的關系，求下列方程的兩根之和與兩根之積：
（1）x2
＋7x+6＝0； （2）x2
+3x -2=0.
目的：本環節采用“實踐——觀察——發現——猜想——證明”的過程，使學生既動手、動腦，又動口，教師引導啟發，避免注入式地講授一元二次方程根與系數的關系，體現學生的主體學習特性，培養了學生的創新意識和創新精神。
效果：在復習舊知的基礎上，學生很快口完成了表格，為解決后面的問題做好了準備。問題串讓學生合作解決，在探究的過程中體現了特殊到一般，從實踐到理論的認知規律。
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第三環節：鞏固應用
嘗試題1：根據根與系數的關系寫出下列方程的兩根之和與兩根之積 （方程兩根為x1，x2、k是常數）
（1）x2-3x+1=0 x1+x2= ________ x1x2= ________
（2）3x2+2x-5=0 x1+x2= ________ x1x2=
________
（學生迅速演算或口算）
第四環節：能力提升：已知方程5x2+kx-6=0的一個根為1，求它的另一
個根及k的值。
目的：“能力提高”是引導學生及時鞏固本節所學的新知“根與系數的關系”，培養學生思維嚴謹性和批判性；起過渡作用設計。
“能力提高” 展示學生的不同作法，通過比較，學生可以體會到用根與系數的關系來解決此類問題比較簡便。
效果：使學生體會解題方法的多樣性，開闊解題思路，優化解題方法，增強擇優能力。力求讓學生在自主探索和合作交流的過程中進行學習，獲得數學活動經驗。
第五環節：勞動能手
1、植樹節學校準備在校園栽樹，已知三角形的兩邊長AB，AC是方程x2-12x+k==0的兩個根，（1）現在BC兩棵樹之間的距離能等于15嗎？
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(2)若BC的長等于8，求以這三棵樹為頂點的三角形的周長。
目的：把一元二次方程根與系數的關系與三角形三邊關系相組合，借此鍛煉學生綜合分析、推理、歸納的能力。
效果：留給學生充分的獨立思考和小組合作交流的時間與空間，使學生在資源共享的同時，充分體會到一元二次方程根與系數的關系的廣泛應用和便捷， 第六環節 感悟與收獲
內容：師生互相交流總結
在方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，a、b、c有哪些作用？ ①二次項系數a是否為零，決定著方程是否為二次方程； ②當a≠0時，b=0，a、c異號，方程兩根互為相反數； ③當a≠0時，△=b2-4ac可判定根的情況
④當a≠0，b2-4ac≥0時，x1+x2= ，x1x2= ⑤當a≠0，c=0時，方程必有一根為0。
目的：鼓勵學生回顧本節課知識方面以及與之相聯系的知識有哪些收獲，解題技能方面有哪些提高，通過回顧進一步鞏固知識，將新知識納入到學生個人已有的知識體系中。
效果：學生通過回顧本節課的學習，感受到公式推導的全過程，發展了邏輯思維能力，提高了推理技能。 第七環節 布置作業
必做題：知識技能51頁1、3
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選做題：利用根與系數的關系，求作一個一元二次方程，使它的兩根為2和3.
目的：已知方程的兩根求作一個一元二次方程，是一元二次方程根與系
數的關系的逆用，比較抽象，學生真正掌握有一定的難度。同時要注意答案的多樣性及其中的規律.
學法指導
本節課充分以學生為主體進行教學，采用“實踐——觀察——發現——猜想——證明”的過程教學。讓學生多實踐，從實踐中反思過程，經歷一元二次方程根與系數的關系的發生發展過程，并從中體驗成功的樂趣。引導學生發現問題，師生共同解決問題。指導學生掌握思考問題的方法及解決問題的途徑，并將應用問題和規律歸類。
視頻來源：優質課網 www.jjlqy.cn
