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視頻標簽：用公式法求,解一元二次方程
所屬欄目：初中數學優質課視頻
視頻課題：北師大版初中數學九年級上冊《用公式法求解一元二次方程（一）》江西省優課
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第二章 一元二次方程
３．用公式法求解一元二次方程（一）
一、學生知識狀況分析
學生的知識技能基礎：學生通過前幾節課的學習，認識了一元二次方程的一般形式：ax2
+bx+c=0(a≠0),并且已經能夠熟練地將一元二次方程化成它們的一般形式；在上一節課的基礎上，大部分學生能夠利用配方法解一元二次方程，但仍有一部分認知較慢、運算不扎實的同學不能夠熟練使用配方法解一元二次方程.
學生活動經驗基礎：學生已經具備利用配方法解一元二次方程的經驗；學生通過《規律的探求》、《勾股定理的探求》、《一次函數的圖像》中一次函數增減性的總結等章節的學習，已經逐漸形成對于一些規律性的問題，用公式加以歸納總結的數學建模意識，并且已經具備本節課所需要的推理技能和邏輯思維能力.
二、教學任務分析
公式法實際上是配方法的一般化和程式化，然后再利用總結出來的公式更加便利地求解一元二次方程。所以首先要夯實上節課的配方法，在此基礎上再進行一般規律性的探求——推導求根公式，最后，用公式法解一元二次方程。
其中，引導學生自主的探索，正確地導出一元二次方程的求根公式是本節課的重點、難點之一；正確、熟練地使用一元二次方程的求根公式解方程，提高學生的綜合運算能力是本節課的另一個重點和難點。
為此，本節課的教學目標是：
①在教師的指導下，學生能夠正確的導出一元二次方程的求根公式，并在探求過程中培養學生的數學建模意識和合情推理能力。
②能夠根據方程的系數，判斷出方程的根的情況，在此過程中，培養學生觀察和總結的能力.
2
③通過正確、熟練的使用求根公式解一元二次方程，提高學生的綜合運算能力。
④通過在探求公式過程中同學間的交流、使用公式過程中的小技巧的交流，進一步發展學生合作交流的意識和能力
三、教學過程分析
本課時分為以下五個教學環節：第一環節：回憶鞏固；第二環節：探究新知；第三環節：鞏固新知；第四環節：收獲與感悟；第五環節：布置作業。
第一環節；回憶鞏固
活動內容：
①用配方法解下列方程：(1)2x2+3=7x (2)3x2+2x+1=0 全班同學在練習本上運算,可找位同學上黑板演算 ②由學生總結用配方法解方程的一般方法:
第一題： 2x2+3=7x 解：將方程化成一般形式: 2x2-7x +3=0 兩邊都除以一次項系數:2
023272
xx
配方:加上再減去一次項系數一半的平方
02
31649)47(2722
xx
即:
0
16
25)47(2x
1625)47(2
x
兩邊開平方取“±” 得：
4547
x 4547
x
寫出方程的根 ∴ x1=3 , x2=2
1
3
第二題： 3x2+2x+1=0 解：兩邊都除以一次項系數:3 031322
xx
配方:加上再減去一次項系數一半的平方
02
391)31(3222
xx
即:
0
18
25)31(2x
1825)31(2
x
∵
01825
∴原方程無解
活動目的：
（1）進一步夯實用配方法解方程的一般步驟.在這里相對于書上的解題方法作了小小的改動：沒有把常數項移到方程右邊，而是在方程的左邊直接加上再減去一次項系數一半的平方，這樣做的目的是為了與以后二次函數一般式化頂點式保持一致。
（2）選擇了一個沒有解的方程，讓學生切實感受并不是所有的一元二次方程在實數范圍內都有解。
（3）教師還可以根據上節課作業情況，選學生出錯多的題目糾錯、練習. 活動的實際效果：
通過對舊知識的回顧，學生再次經歷了配方法解方程的全過程，由于是舊知識，學生容易做出正確答案，并獲得成功的喜悅，調動了學生的學習熱情，喚醒學生的思維，為后面的探索奠定了良好的基礎。
第二環節 探究新知
（1）活動1：自主推導求根公式。
提出問題：解一元二次方程：ax2+bx+c=0(a≠0)
學生在演算紙上自主推導、并針對自己推導過程中預見的問題在小范圍內自由研討。最后由師生共同歸納、總結，得出求根公式.
解：兩邊都除以一次項系數:a 02ac
xa
bx
4
問：為什么可以兩邊都除以一次項系數:a 答：因為a≠0
配方:加上再減去一次項系數一半的平方
0
4)2(
2
2
2
2
a
c
aba
bxa
bx 即:
0
44)(2
22aac
babx 2
2244)(aacbabx
問：現在可以兩邊開平方嗎？
答：不可以，因為不能保證 0442
2
aacb
問：什么情況下 0442
2
aacb
學生討論后回答： 答： ∵ a≠0
∴ 4a2>0 要使0442
2
aacb
只要 b2-4ac≥0即可
∴當b2-4ac≥0時，兩邊開平方取“±” 得： 2
2
44aacbabx
a
acbabx242
a
acbabx242
a
acbbx242
問：如果b2-4ac<0時，會出現什么問題？ 答：方程無解
如果b2-4ac=0呢？答;方程有兩個相等的實數根。 活動目的：
學生能否自主推導出來并不重要，重要的是由學生親身經歷公式的推導過程，只有經歷了這一過程，他們才能發現問題、汲取教訓、總結經驗，形成自己的認識.在集體交流的時候，才能有感而發。
5
活動的實際效果：
學生的主要問題通常出現在這樣的幾個地方： （1）
04)2(22
22a
c
ababxabx中acab
224運算的符號出現錯誤和通分出現錯誤 （2）不能主動意識到只有當b2-4ac≥0時，兩邊才能開平方 （3）兩邊開平方，忽略取“±”。
大部分學生需要在教師的幫助下，才能完善公式的推導。 （2）活動2：歸納總結公式法定義和根的判別式。 第三環節：鞏固新知 活動內容：
１、判斷下列方程是否有解：（學生口答）
(1) 2x2+3=7x （2）x2-7x=18 （3）3x2+2x+1=0（4）9x2+6x+1=0 (5)16x2+8x=3 (6) 2x2-9x+8=0
學生迅速演算或口算出b2-4ac,從而判斷出根的情況。
問第（3）題的判斷，與第一環節中的第（2）題對比，哪種方法更簡捷？ ２、上述方程如果有解，求出方程的解 學生口述，教師板書第（1）題，第（4）題
例：解方程 2x2+3=7x
先將方程化成一般形式 解： 2x2-7x+3=0 確定a,b,c的值 a=2, b=-7, c=3 判斷方程是否有根 ∵b2-4ac=(-7)2-4×2×
3=25>0 ∴
4
5722257242
a
ac
bbx
寫出方程的根 即x1=3,x2=-2
1
問：與第一環節中的第（1）題對比，哪種解法更簡捷？
例：解方程 9x2+6x+1=0
確定a,b,c的值 解：a=9, b=6, c=1
6
判斷方程是否有根 ∵b2-4ac=62-4×9×1=0
∴3
118069
206242
aacbbx （剩下的題目教師根據時間情況選擇使用，個別學生上黑板做題，其他同學在座位上練習）
３、課本隨堂練習1、2.
活動目的：通過讓學生或口述交流或上黑板解方程，公示學生的思維過程，查缺補漏，了解學生的掌握情況和靈活運用所學知識的程度。
活動實際效果：教師引導學生分析，學生口答、板書，筆答，對比，評價，總結．大部分學生能夠正確、熟練的用公式法解方程。 第四環節：收獲與感悟
活動內容： 提出問題：
1、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式是什么？ 2、如何判斷一元二次方程根的情況？ 3、用公式法解方程應注意的問題是什么？ 4、你在解方程的過程中有哪些小技巧？
讓學生在四人小組中進行回顧與反思后，進行組間交流發言。
活動目的：鼓勵學生回顧本節課知識方面有哪些收獲，解題技能方面有哪些提高，通過回顧進一步鞏固知識，將新知識納入到學生個人已有的知識體系中。
活動實際效果：學生通過回顧本節課的學習，感受到公式推導的全過程，發展了邏輯思維能力，提高了推理技能，在使用公式解方程的過程中，感受到有的一元二次方程的有根，而有的沒有根，通過解方程，進一步提高了學生的運算能力。
第五環節：布置作業
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用公式法解下列方程（教師可根據實際情況選用） 1、課本47頁1,2題。 2、程解應用題
（1）已知長方形城門的高比寬多6尺8寸,門的對角線長1丈,那么,門的高和寬各是多少?
（2）一張桌子長4米,寬2米,臺布的面積是桌面面積的2倍,鋪在桌子上時,各邊下垂的長度相同,求臺布的長和寬
四、教學反思
1、要創造性的使用教材
教材只是為教師提供最基本的教學素材，教師完全可以根據學生的實際情況進行適當調整。本節課教師就根據學生實際情況，調整了配方時的個別過程，使之與后續知識學習相一致，添加了例題和練習題。
2、要為學生的終身學習奠基
這節課不能夠僅僅讓學生背公式、套公式解方程，而應讓學生初步建立對一些規律性的問題加以歸納、總結的數學建模意識，親身體會公式推導的全過程，提高學生推理技能和邏輯思維能力；進一步發展學生合作交流的意識和能力．幫助學
生形成積極主動的求知態度.
視頻來源：優質課網 www.jjlqy.cn
