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視頻標(biāo)簽：正多邊形的有關(guān)計(jì)算
所屬欄目：初中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課視頻
視頻課題：人教版初中數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)《正多邊形的有關(guān)計(jì)算》山西省 - 忻州
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《正多邊形的有關(guān)計(jì)算》數(shù)學(xué)教案
教學(xué)目標(biāo)：
1.會(huì)將正多邊形的邊長(zhǎng)、半徑、邊心距和中心角、周長(zhǎng)、面積等有關(guān)的計(jì)算問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問(wèn)題； 2.鞏固學(xué)生解直角三角形的能力，培養(yǎng)學(xué)生正確迅速的運(yùn)算能力；
3.通過(guò)正多邊形有關(guān)計(jì)算公式的推導(dǎo)，激發(fā)學(xué)生探索和創(chuàng)新． 教學(xué)重點(diǎn):
把正多邊形的有關(guān)計(jì)算問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問(wèn)題． 教學(xué)難點(diǎn):
正確地將正多邊形的有關(guān)計(jì)算問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問(wèn)題解決、綜合運(yùn)用幾何知識(shí)準(zhǔn)確計(jì)算． 教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì): （一）復(fù)習(xí)引入 正多邊形的有關(guān)概念 1. 中心 外接圓的圓心 2. 半徑 外接圓的半徑 3. 邊心距 內(nèi)切圓的半徑 4.中心角 3600
/n
（二）創(chuàng)設(shè)情境、觀察、分析、歸納結(jié)論 1、情境一：給出圖形．
問(wèn)題1：正n邊形內(nèi)角的規(guī)律、外角與中心角的關(guān)系？ 觀察：在圖形中，應(yīng)用多邊形內(nèi)角和定理和正多邊形的每個(gè)內(nèi)角都相等得出新結(jié)論．
應(yīng)用正多邊形外角和等于3600
得出外角與中心角的關(guān)系 教師引導(dǎo)學(xué)生自主觀察，學(xué)生回答．
歸納1：正n邊形的每個(gè)內(nèi)角都等于 （n-2）1800
/n 歸納2：正多邊形的外角等于中心角 2、情境二：給出圖形．
問(wèn)題2：每個(gè)圖形的半徑，分別將它們分割成什么樣的三角形？它們有什么規(guī)律？
教師引導(dǎo)學(xué)生觀察，學(xué)生回答． 觀察：三角形的形狀，三角形的個(gè)數(shù)．
歸納：正n邊形的n條半徑分正n邊形為n個(gè)全等的等腰三角形．
3、情境三：給出圖形．
問(wèn)題3：作每個(gè)正多邊形的邊心距，又有什么規(guī)律？ 觀察:三角形的形狀，三角形的個(gè)數(shù)
歸納：這些邊心距又把這n個(gè)等腰三角形分成了2n個(gè)直角三角形，這些直角三角形也是全等的．
理解：實(shí)質(zhì)是把正多邊形的問(wèn)題向直角三角形轉(zhuǎn)化． 由于這些直角三角形的斜邊都是正n邊形的半徑R，一條直角邊是正n邊形的邊心距
rn，另一條直角邊是正n邊
形邊長(zhǎng)an的一半，一個(gè)銳角是正n邊形中心角 的一半 歸納公式：(a
n/2)2
+r
n2=R
2
分析：只要給定兩個(gè)條件，則正多邊形就完全確定了 比如：1.圓的半徑或邊數(shù)；2.圓的半徑和邊心距；3.邊長(zhǎng)及邊心距，就可以確定正多邊形的其它元素
（三）實(shí)際應(yīng)用
1.例1：正n邊形中心角150
，求n的值以及正n邊形內(nèi)角度數(shù)
解：n=3600
/15=24 內(nèi)角度數(shù)：1800
-150
=165
0
2.例2：已知正三角形ABC的半徑為R，求這個(gè)正三角形的邊長(zhǎng)
a3
、邊心距r3
、周長(zhǎng)P3
和面積S3
．
教師引導(dǎo)學(xué)生分析解題思路： n=3 中心角 =3600
/3=120
0
教師板演解題過(guò)程，并關(guān)注學(xué)生解直角三角形的能力． 解：作半徑OA、OB；作OH⊥AB，垂足為H，得Rt△OHB． ∵∠HOB=600
， ∴r3=Rcos60°=1/2R ∴a3 =2·Rsin60°=√3R， ∴P3=3·a3=3√3R
S3=3S AOB=3·1/2·a3·r3=1/2·3a3·r3=1/2P3r3 =1/2·3√3·1/2R=3√3/4·R2
歸納：正n邊形的周長(zhǎng)Pn=nan
歸納：正n邊形的面積Sn=1/2 Pn· rn． 3.研究：（應(yīng)用例1的方法進(jìn)一步研究）
解決問(wèn)題：已知圓的半徑為R，用半徑R和邊數(shù)表示它的內(nèi)接正方形、內(nèi)接正六邊形的邊長(zhǎng)、邊心距、周長(zhǎng)及面積．
（學(xué)生以小組進(jìn)行研究，并初步歸納） 教師提示：中心角的一半：180°/n 邊 數(shù) 內(nèi) 角 外角/中心角 半 徑
邊心 距
邊 長(zhǎng) 周 長(zhǎng)
面 積
3 60° 120° R 1/2·R √3R
3√3R 3√3/4·R2
4 90° 90° R √2/2·R √2R 4√2R 2R2
6 120° 60°
R √3/2·R R
6R
3√3/2·R2
n
180°（n-2）/2 3600
/n R cos180°/n·R
2sin180°/n·R
2n·sin180°/n·R
n·sin180°/n·cos180°/n·R2
歸納：正n邊形的邊數(shù)越大，其內(nèi)角、邊心距、周長(zhǎng)、面積越大，其外角及邊長(zhǎng)越小
習(xí)題練習(xí)
1. 已知圓的邊長(zhǎng)是4，則該圓的內(nèi)接正方形的半徑是多少？ 2. 已知元的半徑為6，則它的內(nèi)接正三角形、正四邊形、正六邊形的邊長(zhǎng)分別是多少？邊心距的比是多少？
（四）課堂小結(jié)
知識(shí)：正三角形、正方形、正六邊形的元素的計(jì)算問(wèn)題． 思想：轉(zhuǎn)化思想．
能力：解直角三角形的能力、計(jì)算能力；觀察、分析、研究、歸納能力． （五）作業(yè)
歸納并掌握正三角形、正方形、正六邊形以及正n邊形的有關(guān)計(jì)算公式．完成練習(xí)題1、2、3題。
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