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視頻標簽：圓周率π
所屬欄目：初中數學優質課視頻
視頻課題：人教版初中數學九年級上冊24.3正多邊形和圓《閱讀與思考 圓周率π》遼寧省 - 大連 
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24.3正多邊形和圓 《閱讀與思考 圓周率π》 教學設計
一、內容與內容解析 1.內容
本節課以閱讀與思考的活動課形式出現，介紹了關于圓周率的計算歷史、以及如何利用正多邊形的周長逼近圓的周長，從而得到圓周率π的計算方法。 2.內容解析
由于正多邊形和圓的關系密切，因此圓的有關計算也與正多邊形的關系密切，本節課的教學重點內容是：通過了解古人算得圓周率π的具體方法，讓學生可以自己估算圓周率。本節課介紹了利用正多邊形的周長逼近圓的周長，從而得到圓周率π的計算方法，其中涉及極限思想，同時通過了解關于圓周率的數學史，增強學生的探究精神以及民族自豪感。
二、目標和目標解析 1.目標
（1）了解π的計算歷史；
（2）了解利用正多邊形的周長逼近圓的周長，從而得到圓周率π的計算方法；
（3）感受數學之美以及數學與其他學科之間互相聯系的和諧之美，增強學生學習數學的熱情與積極性。 2.目標解析
達成目標（1）的標志是：學生通過前期小組合作的形式，收集關于圓周率計算史的相關資料，課上以小組長匯報的形式向全班同學講解，從而讓全班同學都能全面地了解關于圓周率π的計算歷史；
達成目標（2）的標志是：通過了解古希臘數學家阿基米德以及三國時期數學家劉徽求圓周率的方法，學生能夠站在前人的肩膀上，親自動手實際操作，利用數學推導以及計算器輔助，通過計算體會利用正多邊形的周長逼近圓的周長這一極限思想，得到圓周率π的近似值，同時體會轉化、類比的數學思想；
達成目標（3）的標志是：通過本節課對圓周率的學習，幫助學生體會數學中這一具體問題的發展過程，體會數學中蘊含的獨特美學特征，開啟學生喜歡數學、熱愛數學的大門。
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三、教學問題診斷分析
本節閱讀與思考課是在學生已經學習了《24.3正多邊形和圓》之后的一節閱讀課，學生在已經掌握關于關于正多邊形的相關概念之后，嘗試思考如何求得圓周率的近似值。
學生首先要熟練掌握相關概念，比如：正多邊形的中心、正多邊形的半徑、正多邊形的中心角、正多邊形的邊心距等重要概念。
同時學生還需熟練運用勾股定理及三角函數進行有關計算。
在畫圓的內接正多邊形的過程中，其實就揭示了正多邊形與圓的內在聯系。本節課要幫助學生去體會，我們既可以應用圓的有關知識研究正多邊形的問題，又可以利用正多邊形的有關問題解決圓的有關問題。例如，本節閱讀課對圓周率π的研究，其實就是對正多邊形與圓內在關系的研究。基于以上分析，確定本節課的教學難點，即通過計算圓內接正多邊形的周長，得到圓周率的近似值。
四、教學支持條件分析
本課需要呈現大量的圖片和動態模型，為了幫助學生更直觀、形象地觀察和理解計算圓周率的方法以及相關歷史，采用了多種多媒體設備相結合的方式，例如：電子白板、幾何畫板，同時配有PPT演示、Focusky軟件演示、以及微課講解等輔助教學，以便幫助學生更好地理解如何計算圓周率。
五、教學過程設計
1.課程引入 音樂引課 師生活動
師：“同學們，音樂如詩如畫，可以令我們的靈魂綻放，現在讓我們共同聆聽一段優美的樂曲。”
教師播放開篇音樂。
師：“好聽嗎？驚喜嗎？你留意到屏幕下面的數字了嗎？”
生：“特別驚喜！我發現屏幕下面的數字恰好對應這段旋律的樂譜，曲譜竟然是根據圓周率譜寫而成的！想不到圓周率竟然可以用音樂的形式表達出來，覺得特別美好。” 師：“是的，老師第一次聽也覺得特別美妙。” 師：“那么在大家的印象中，圓周率是什么呢？”
生：“圓周率就是π、圓周率是3.1415926、圓周率是無理數、圓周率是圓的周長與直徑的比值、圓周率還是圓的面積與半徑平方的比值……”
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師：“非常的好，今天就讓我們走進圓周率的世界，進一步來研究一下大家喜歡的圓周率。”
設計意圖：開篇播放一段學生從未聽過的優美旋律，可以激發學生們的好奇心以及對本節課的學習熱情，當學生發現這段旋律的曲譜恰好是由圓周率譜寫而成時，他們的學習積極性會大大提高，同時也借此段旋律幫助學生體會數學與音樂相結合的和諧之美。
2.學生講解數學史
師生活動
師：“課前同學們已經廣泛收集了關于圓周率計算史的相關資料，下面我們有請幾位組長上前來匯報你們小組的合作成果。首先有請第一組代表。”
生：“大家好，我主要研究的是歷史上計算圓周率的第一階段，通過實驗估計的方法獲取圓周率，古人非常聰明，他們在應用輪子的過程中，想到這樣一個問題：輪子滾一圈可以滾多遠？滾的距離與輪子的直徑有什么關系？
為了測量圓的周長，他們采用了繞線的方法；或者將圓沿直尺滾動一周，測量長度。通過實驗估計，古代中國人得到了“徑一周三”這一圓周率的近似值。
公元前2000多年的埃及人則采用測量圓面積的方法估算圓周率，他們在直徑為9的圓中擺滿谷粒，發現谷子也可以擺滿邊長是8的正方形，近似算出圓周率是3.16，這和真實的圓周率已經非常的接近。古代勞動人民確實充滿了智慧。” 師：“很精彩，有請第二組組長上前匯報。”
生：“大家好，我們組主要研究歷史上計算圓周率的第二階段，通過幾何法，科學計算圓周率。其代表人物是古希臘著名數學家阿基米德，他采用圓的內接正多邊形和外切正多邊形來逼近圓周長的真實值，通過不斷分割，求出圓周長的上下界，阿基米德從圓的內接正六邊形入手，通過不斷細分，借助勾股定理，最后算到圓內接與外切96邊形，得到圓周率的范圍
是： ，近似值是3.14。”
師：“很好，我們請第三組繼續來展示。”
生：“大家好，我來為大家講一講中國古代數學家關于圓周率的計算方法。早在東漢的《周髀算經》一書中，就記載了古率，即“周三徑一”，但是此時的圓周率誤差是比較大的。等到三國時期，魏國的數學家劉徽創立了“割圓術”。從而獲得更精確的圓周率近似值。
劉徽將圓周用內接正多邊形窮竭，從而近似求圓的面積和圓的周長。他用割圓術，從直徑為2尺的圓內接正六邊形開始割圓，一直計算到圓內接192邊形。用劉徽當時的原話說，
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就是“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣。”
劉徽算到圓的內接正192邊形，使圓周率精確到四位小數，得到3.1416。” 師：“非常棒，還有哪個小組可以為他們補充？”
生：“大家好，我來為大家介紹一下著名的數學家祖沖之以及我們熟知的圓周率。祖沖之是我國南北朝時期著名的數學家、天文學家。祖沖之算到圓的內接12288邊形，算出圓周率在3.1415926到3.1415927之間。這對于當時的人來說，已經非常不容易。
史書中關于祖沖之和他所計算的圓周率是這樣記載的：“南徐州從事史祖沖之，更開密法，以圓徑一億為一丈，圓周盈數三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，缺數三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽。”我們能夠看出，古代中國人記載數據的方式是十分繁瑣的。而且古人沒有現代人的計算工具，只能采用算籌，也就是刻有標記的小竹條去進行如此復雜的運算。我們可以體會，祖沖之想要將圓周率精確到小數點后7位，需要極強的聰明智慧更需要堅持潛心研究的毅力。
祖沖之將圓周率精確到小數點后7位這一記錄，直到一千年以后才被一位阿拉伯數學家打破。”
設計意圖：通過四位小組長上前匯報他們所收集到的圓周率的計算發展史，幫助學生直觀了解計算圓周率的前兩個階段，即“實驗估計”階段和“幾何計算”階段。通過關于圓周率計算生動有趣的講解，孩子們會逐漸理解“數學來源于生活，同時也要服務于生活”這一道理。同時也能體會到阿基米德、劉徽以及祖沖之在計算圓周率過程中付出的艱辛努力。尤其在講解劉徽和祖沖之計算圓周率時，可以培養學生的民族自豪感。同時可以鍛煉學生的語言表達能力。
3.動手操作環節 師生活動：
師：“剛才同學們跟著四位小歷史學家了解了圓周率的計算史，下面我們也做一次
小小數學家，親自去經歷“割圓術”的方法，踏著前人的足跡，動手探求π的值。” 師：“我們就以最簡單的圓內接正三角形為例，開始計算。很明顯，用圓內接正三角形去逼近圓的周長，誤差會很大，我們如何以圓內接正三角形為基礎，獲得圓內接正六邊形？”
學生思考，給出獲得圓內接正六邊形的方法。教師給出方法指導和提示。
生：“我們可以從圓心出發，分別向正三角形的每條邊做垂線，與圓產生三個交點，順次連
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接圓上六點，就得到圓的內接正六邊形。”
師：“非常好，我們可以順著他的思路，獲得圓的內接正二十四邊形，正四十八邊形，甚至正九十六邊形。
為了獲得更多數據，我們現在分為兩大組，我們請這三組同學從圓內接正三角形入手，算邊數為三、六、十二的正多邊形的周長與直徑之比。
請這三組同學算邊數為四、八、十六的正多邊形的周長與直徑之比。”
學生親自經歷動手計算、小組合作、組內交流的環節，并請兩位同學到黑板板書求圓的正八邊形以及正十二邊形的周長與直徑之比的具體過程，并請這兩位同學上前講解。
同時請班級計算最快的同學上前來填寫黑板上的表格，總結正多邊形邊數與計算出圓周率之間存在的規律。
正n邊形
正多邊形周長直徑
3 4 6 8 12
16 24 48 96 192
……
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師：“請同學展示正八邊形和正十二邊形周長與直徑的比值求法，有請兩位同學上前講解。” 師：“哪個小組算完了，請把數據填上來。”
師：“好，我們觀察一下，從正三角形到正十六邊形，算出的π值，有什么特點？你得到什么結論？”
生：“我們發現，當圓的內接正多邊形邊數越多時，它的周長就越接近圓周長的真實值，所
求的正多邊形周長與直徑的比值就越接近π的真值。”
師：“你說的非常好，正如你們看到的那樣，隨著邊數的增加，計算量確實越來越大，老師通過幾何畫板，帶著大家驗證一下，是不是正二十四邊形比正十六邊形算出來的周長與直徑之比離π值更近。我們也可以通過改變幾何畫板中對應的參數值，來求邊數更多的正多邊形它的周長與直徑之比。”
師：“通過親自計算圓周率，同學們有什么感受？”
生：“我們體會到祖沖之如果想用算籌精確到小數點后7位難度很大，不僅需要純熟的理論和技巧，更需要一絲不茍的研究精神，才能在科學的道路上獲得如此輝煌的成就。” 師：“還有呢？”
生：“在追求科學的道路上，我們要有嚴謹求實，不畏艱辛的科學態度，我們要熱愛數學，當我們對數學產生了興趣，枯燥也會變得有趣，煩瑣也會變成吸引力。” 師：“說的很好，其實我們所有的研究都是站在巨人的肩膀上。”
設計意圖：學生通過親自動手計算圓周率，經歷劉徽以及祖沖之的足跡，會對圓周率的計算有更深刻的體會和認識，同時也能感受到古代數學家在計算過程中，不僅需要純熟的理論和技巧，更需要一絲不茍的研究精神，才能在科學的道路上獲得如此輝煌的成就。在追求科學的道路上，我們要有嚴謹求實，不畏艱辛的科學態度，增強學生學習數學的熱情。本節課的難點即計算圓周率，通過逐步引導，學生都能掌握計算圓內接正多邊形的周長的方法，從而突破本節課的難點。
4.微課介紹圓周率計算史 師生活動：
教師通過播放微課，講解計算圓周率的第三階段，“高等數學階段”，以及第四階段，“計算機階段”。
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微課內容：
在經歷了實驗估算階段和幾何計算階段之后，隨著高等數學的發展，在十七世紀中葉，數學家們開始利用數學分析的方法，得到計算圓周率的公式，從而求得π的近似值。這也是計算圓周率的第三階段。
數學家們找到了很多美妙的公式來刻畫π。法國數學家韋達利用三角函數，得到了π的無窮級數展式。1656年英國數學家沃利斯給出了計算π的另一種公式，計算次數越多，計算結果就越接近π的真實值。大數學家歐拉同樣得到了關于π的優美展開式。
利用這些公式，我們就可以免去很多繁瑣的幾何運算過程。
計算機的出現使圓周率的計算進入了一個更新的時代，這也許是它的最后一個時期。1949年第一代計算機ENIAC（埃尼阿克）用七十分鐘，將π計算到了小數點后2037位；1961年利用晶體管計算機，數學家們將π計算到了小數點后兩萬位；1999年東京大學的金田康正和高橋大介二人用了七十三個小時，把圓周率計算到了小數點后六百八十七億一千九百四十七萬位；2010年近藤茂把π計算到了小數點后五兆位。
由于單純的通過計算機去追求更高的位數已經毫無意義，現如今，我們進行π值的運算主要目的是用于：測試或檢驗超級計算機的各項性能。特別是用來測試運算速度與運算過程的穩定性，以及算法的準確性。
設計意圖：通過播放微課，可以簡潔明了的幫助學生了解圓周率計算史的第三階段以及第四階段，幫助學生認識了解圓周率的作用不僅僅局限在計算圓的周長以及面積上，還可以利用圓周率來檢測計算機的運行速度、運行穩定性以及算法的準確性。開闊學生的視野，讓學生體會數學源于生活同時也服務于生活的道理，培養學生學習數學的熱情和興趣。
5.游戲環節
師生活動：由于圓周率的無限不循環特性，背誦圓周率可以作為開發和鍛煉記憶力的好方法。教師在電子白板上展示圓周率的前200位，給學生1分鐘時間，激發學生的學習熱情，比賽誰在1分鐘內背誦位數最多。
師：“同學們，我國著名的橋梁學家茅以升在青年時期就能背誦到小數點后100位，背誦圓周率可以開發人腦的記憶力和存儲能力，可以說，背誦圓周率既有用，又有趣。在本節課的最后，我們進行一個小游戲，一起來記圓周率，看看誰是我們班今天的最強大腦。”
設計意圖：通過設置背誦圓周率這一游戲環節，激發學生的學習熱情，培養學生追求成功的韌性。
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6.小結
實際上我們求圓周率一共經歷了四個階段，分別是第一階段“實驗估算階段”、第二階段“幾何計算階段”、第三階段“高等數學分析階段”、第四階段“計算機階段”；大家都知道，我們在做題時，通常π都取到3.14，即使是非常精密的計算，我們也只取到小數點后7位，那么我們探索小數點后萬位甚至億位的精確度，對我們實際的生產生活又有什么作用呢？
（1）圓周率的精確度越高，我們求圓的周長就越精確，生活中我們需要這種嚴謹性； （2）我們學數學就需要這樣的嚴謹性，不能淺嘗輒止，我們要去猜想，更要去驗證；
（3）數學來源于生活，我們學習數學就是要學以致用，為了更好的服務于生活，我們可以
利用計算圓周率來檢測計算機的運行速度、以及運行時的準確性、穩定性；
（4）數學很美，我們竟然可以利用圓周率來譜寫樂曲……
教師總結：
師：“確實如此，數學中有很多美妙的數字，比如π，比如我們學過的黃金分割0.618，數學與其他學科也有緊密的聯系，比如數學和音樂、和美術、和藝術，數學和物理、和化學。如果你對數學充滿了興趣，希望你從今天起，認認真真地把基礎打好，憑借毅力與智慧去體會數學的多彩世界和無限風光！”
師：“讓我們再次聆聽圓周率之歌，在曼妙的音樂聲中結束今天的課程……” 教師播放《圓周率之歌》，學生在歌曲欣賞中結束本節課的學習。
設計意圖：總結提升階段，讓學生自由發表自己的看法，教師從知識和情感兩個方面進行引導，讓學生歸納本節課所學知識，同時培養學生學習數學的熱情與興趣，激發學生學習數學的動力，讓學生以飽滿的熱情繼續進一步學習，激勵學生勇于攀登科學界的重重險峰，體會數學的別樣風采。
7.布置作業
利用課余時間查找關于圓周率的其他妙聞趣事，組織同學交流。
設計意圖：讓有興趣的同學進一步加深對圓周率的了解，培養學生學習數學的熱情與興趣，讓學生在學中玩，在玩中學。
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教學反思：
《閱讀與思考 圓周率π》是一節活動課，教學內容比較輕松，本節課主要要求學生了解圓周率的計算史及相關知識、數學史上做出重要貢獻的人物以及數學家求圓周率的方法，其中“割圓術”為本節課重點內容。
學生在本節課的準備過程中，通過搜集圓周率的相關資料、交流體驗，培養了學生收集信息、整合信息、提高質疑及理解能力，同時在課堂展示環節，更培養了學生的合作意識以及語言表達能力。
在整節課過程中，通過了解圓周率的歷史以及親自動手操作計算圓周率，學生體驗到了數學文化的魅力，同時激發同學進一步研究數學的興趣，在閱讀劉徽、祖沖之的相關成就時激發民族自豪感。
本節課是在區教研員董陽老師、實驗學校數學教研組各位教師的多次悉心指導中，反復修改而成的，一共試講四次，通過反復調整，才展現出這樣一堂關于圓周率的數學活動課，特別感謝董老師和學校領導的一路指導和幫助，讓我能夠不斷進步。也要感謝在過程中給予我幫助的所有老師，雖然回頭再看課堂實錄，仍會發現有待修正的課堂環境，但是自己確實在過程中收獲了成長與體驗。
本節課采用了大量的多媒體信息技術，包括電子白板、幾何畫板、微課等現代信息技術，尤其是利用幾何畫板，可以精準做圖，通過巧妙設置參數，可以高效地做出圓內接正多邊形，同時快速算出正多邊形周長與直徑之比。同時，在精心制作微課的過程中，我也在逐步提升視頻設計和制作的能力和技巧，特別感謝在制作微課過程中給予我大力幫助的伙伴。
在這節圓周率的活動課之后，我也思考了很多，在日常教學過程中，我們是否可以多設置一些關于數學活動、數學文化、數學史的課程，在務實抓好數學基本功的同時，能否幫助學生開闊他們的數學視野，培養學生學習數學的熱情和興趣呢？興趣是最好的老師，希望在未來的教學之路上，我可以幫助學生熱愛數學，讓學生在數學學習中體會學習的樂趣，從而幫助學生在數學之路上滿懷希望地越走越遠。
視頻來源：優質課網 www.jjlqy.cn
