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視頻標(biāo)簽：閱讀與思考,圓周率π

所屬欄目：初中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課視頻

視頻課題：人教版初中數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)24.3閱讀與思考---圓周率π-福建

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人教版初中數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)24.3閱讀與思考---圓周率π-福建省 - 莆田

閱讀與思考---圓周率π 
學(xué)科 
數(shù)學(xué) 
教材分析  
本節(jié)課是以人教版初中數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)第二十四章《圓》中的第24.4節(jié)“圓與正多邊形”為內(nèi)容依托，是課本第109頁和110頁的閱讀與思考的內(nèi)容。學(xué)生在學(xué)習(xí)“圓與正多邊形”和銳角三角函數(shù)的基礎(chǔ)上,對(duì)圓周率的計(jì)算進(jìn)行初步探究和對(duì)圓周率的歷史進(jìn)行初步的了解。這個(gè)數(shù)學(xué)閱讀內(nèi)容：1.介紹了利用正多邊形的周長(zhǎng)逼近圓的周長(zhǎng)，從而得到了圓周率π的計(jì)算方法，其中涉及極限思想、轉(zhuǎn)化思想；2.教材羅列了在圓周率研究歷史中最為重要的人物及方法，從古至今，涵蓋中外，以圓周率的探索過程為主線，以體現(xiàn)圓周率的文化價(jià)值為主格調(diào)，來滿足孩子們的好奇心：也為學(xué)生打開了一扇窺視數(shù)學(xué)文化發(fā)展史的窗戶，為進(jìn)一步理解圓周率的意義，及今后對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，留下一片想象的空間。通過閱讀來挖掘圓周率蘊(yùn)含的教育價(jià)值，感受數(shù)學(xué)的魅力，激發(fā)研究數(shù)學(xué)的興趣。   
學(xué)情分析 學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了圓的相關(guān)知識(shí)、圓與正多邊形的關(guān)系、銳角三函數(shù)的相關(guān)知識(shí)的基礎(chǔ)上，進(jìn)行學(xué)習(xí)《閱讀與思考---圓周率π》。 
教學(xué)目標(biāo) 
 知識(shí)與技能 1.利用圓的內(nèi)接正多邊形的周長(zhǎng)逼近圓的周長(zhǎng)，學(xué)會(huì)用圓的相關(guān)知識(shí)和銳角三角函數(shù)等求出圓的內(nèi)接正多邊形的周長(zhǎng)、圓的內(nèi)接正多邊形的周長(zhǎng)與直徑的比值，從而得到了圓周率π的計(jì)算方法。 
2.閱讀和了解圓周率的發(fā)展簡(jiǎn)史，感受數(shù)學(xué)知識(shí)的探索過程。  過程與方法 
1.通過動(dòng)手操作探索圓的周長(zhǎng)和直徑的比值，并會(huì)用式子表示，理解圓周率的意義； 
2.通過幾何畫板軟件動(dòng)態(tài)演示“逼近”過程，同時(shí)表中的數(shù)據(jù)在變化及表格的行數(shù)在增加和伸長(zhǎng)，給學(xué)生直觀形象的感覺、增強(qiáng)學(xué)習(xí)興趣。 3.了解圓周率的歷史，體會(huì)它的文化價(jià)值。通過自主搜集圓周率的相關(guān)資料、交流體驗(yàn)，培養(yǎng)收集信息、整合信息，提高質(zhì)疑、理解的能力。在閱讀理解過程中，體驗(yàn)數(shù)學(xué)研究方法發(fā)展的過程、極限思想、圓周率精確位數(shù)的現(xiàn)代價(jià)值等，為今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)提供一定的參考價(jià)值。  
情感、態(tài)度、價(jià)值觀 
經(jīng)歷求圓周率π的過程，體會(huì)轉(zhuǎn)化、逼近、數(shù)學(xué)建模、方程、從特殊到一般、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用。通過閱讀“圓周率的歷史”，體驗(yàn)數(shù)學(xué)文化的魅力，激發(fā)研究數(shù)學(xué)的興趣，在閱讀劉徽、祖沖之的相關(guān)成就時(shí)激發(fā)民族自豪感。 
 
教學(xué)重 難點(diǎn) 
重點(diǎn) 
1.將圓的周長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為圓的內(nèi)接正多邊形的長(zhǎng)，計(jì)算圓的內(nèi)接正多邊形的周長(zhǎng)、圓的內(nèi)接正多邊形的周長(zhǎng)與直徑的比值，體會(huì)其中涉及到的數(shù)學(xué)思想。 
2.閱讀圓周率的發(fā)展簡(jiǎn)史，感受數(shù)學(xué)知識(shí)的探索過程。體驗(yàn)數(shù)學(xué)文化的魅力，激發(fā)研究數(shù)學(xué)的興趣；在閱讀劉徽、祖沖之的相關(guān)成就時(shí)激發(fā)民族自豪感。 
 
                    
             
                    
                            難點(diǎn) 
將圓的周長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為圓的內(nèi)接正多邊形的長(zhǎng)，計(jì)算圓的內(nèi)接正多邊形的周長(zhǎng)、圓的內(nèi)接正多邊形的周長(zhǎng)與直徑的比值。通過自主搜集圓周率的相關(guān)資料、交流體驗(yàn)，培養(yǎng)收集信息、整合信息，提高質(zhì)疑、理解的能力。 
教學(xué)資源利用和教學(xué)策略 利用白板播放視頻、相關(guān)的教學(xué)內(nèi)容，利用幾何畫板進(jìn)行動(dòng)畫演示圓的內(nèi)接正多邊形的變化及表格中的數(shù)據(jù)的相應(yīng)的變化，來啟發(fā)學(xué)生思考，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，在收集、分享、思考中體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)和歷史，感受數(shù)學(xué)文化的博大精深，及在探索過程中所隱含的數(shù)學(xué)方法。 
學(xué)生課前準(zhǔn)備 學(xué)生課前閱讀課本第109頁和110頁的內(nèi)容及搜集的各種信息、資料，課前閱讀之后的感受、想法。 
教具準(zhǔn)備 
白板、幾何畫板、圓規(guī)、三角板 
本節(jié)課的主要內(nèi)容的思維導(dǎo)圖： 
 
 
 
                    
             
                    
                            教學(xué) 環(huán)節(jié) 
教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì) 師生活動(dòng) 設(shè)計(jì)意圖 創(chuàng)設(shè)問題情境 
活動(dòng)1:播放鋼琴曲《song form  π》：  
這首鋼琴曲是把無限不無限小數(shù)π=3.141596……變成音符寫成的曲子。竟然也如此美妙動(dòng)聽!圓周率π真是太神奇了。 
師生一起聆聽鋼琴曲。聽完之后教師提出一些問題，學(xué)生回答。  
用美妙動(dòng)聽的鋼琴曲，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，及對(duì)圓周率π的好奇，對(duì)探索圓周率π的奧秘的欲望。感受數(shù)學(xué)的美！ 探索新知 活動(dòng)2:圓周率π=3.14159……是怎么求出來的？ 分析：從圓的周長(zhǎng)公式C=2πR，可得到π=R
C2,
如果已經(jīng)求得了圓的周長(zhǎng)，那么將圓的周長(zhǎng)與直徑相比，就可以求出圓周率π了。因此，在某種意義上求圓周率π的問題就轉(zhuǎn)成求圓的周長(zhǎng)的問題。 
教師引導(dǎo)，
學(xué)生先思考
一下并回答。    引導(dǎo)學(xué)生回憶圓的周長(zhǎng)公式，并將公式變形，求圓周率π的問題轉(zhuǎn)化成求圓的周長(zhǎng)的問題。體會(huì)“轉(zhuǎn)化思想”。 探究與合作  
活動(dòng)3：如何求圓的周長(zhǎng)？ 分析：1.測(cè)量法：（1）用一根繩子繞圓的一周，然后再測(cè)量一下繩子的長(zhǎng)度。（2）把一個(gè)圓向右滾動(dòng)一周，再測(cè)量一下它的運(yùn)動(dòng)軌跡的長(zhǎng)。 2.可以用圓的內(nèi)接正多邊形近似替代圓的周長(zhǎng)。幾何畫板驗(yàn)證如下：  
n = 12.00B
A
 
歸納：當(dāng)圓的內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)越來越大，圓的內(nèi)接正多邊形越來越貼近圓了。所以可以用圓的內(nèi)接正多邊形的周長(zhǎng)來近似地替代圓的周長(zhǎng)。 學(xué)生先分組合作討論，然后小組代表發(fā)言。對(duì)學(xué)生的回答，教師點(diǎn)評(píng)并給予鼓
勵(lì)。 
  學(xué)生觀看幾
何畫板動(dòng)畫的演示，并總結(jié)當(dāng)圓的內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)越
來越大，圓的內(nèi)接正多邊形與圓的接近程度。 
用圓的內(nèi)接正多邊形的周長(zhǎng)來近似替代圓的周長(zhǎng)。體會(huì)“轉(zhuǎn)化思想”。        
體會(huì)“逼近思想” 探究與合作   
活動(dòng)4：已知圓的半徑，如何求圓的內(nèi)接正多邊形的周長(zhǎng)？不妨設(shè)圓的半徑R=1。 
分析：正多邊形的性質(zhì)：各條邊都相等、各角也相等，所以圓的內(nèi)接正n邊形的周長(zhǎng)就會(huì)等于它的邊長(zhǎng)的n倍。 
回顧一下圓的內(nèi)接正三角形、正方形、正五邊形的邊長(zhǎng)、周長(zhǎng)是如何求的？ （分組討論） 
 
 
分析： 
（1）如圖1，分別連接OB、OC,再過點(diǎn)O作ODBC于點(diǎn)D,易得∠BOC=120°， ∠BOD=
2
1
∠BOC=60°，在直角△BOD中，BD=OBsin∠BOD，又OB=1，所以  
BD=sin60°=
2
3
，BC=2BD=3， 所以圓的內(nèi)接正三角形的周長(zhǎng)P3=3BC=33. 如圖2，分別連接OB、OC,易得BC=2,圓的內(nèi)接正方形的周長(zhǎng)
P
4
=24 
 
圖1              圖2 
 教師先引導(dǎo)學(xué)生回憶正多邊形的定義。    學(xué)生先獨(dú)立思考后分作合作討論交流。教師巡視。                   小組代表起來表達(dá)自己的解法，其他同學(xué)補(bǔ)充，老師點(diǎn)評(píng)和補(bǔ)充。       教師提示：已知圓的半徑，要求圓的內(nèi)接正n邊形的邊長(zhǎng)，要求這條邊所對(duì)的圓心角的度復(fù)習(xí)與回顧：圓的內(nèi)接正三角形、正方形、正五邊形的邊長(zhǎng)、周長(zhǎng)的求法。同時(shí)也為求圓的內(nèi)接正多邊形的周長(zhǎng)做鋪墊。體會(huì)從特殊到一般、轉(zhuǎn)化、方程等思想。          
  學(xué)生感受到“已知圓的半徑，如何求圓的內(nèi)接正多邊形的周長(zhǎng)”，因?yàn)閳A的內(nèi)接正n邊形的n條邊都相等，所以圓的內(nèi)接正n邊形的周長(zhǎng)=邊長(zhǎng)的n倍，即求正n邊形的周長(zhǎng)轉(zhuǎn)化成求邊長(zhǎng)的問題，體會(huì)轉(zhuǎn)化思想。      
 
                    
             
                    
                             
 
圖3                   圖4 (2) 如圖3，分別連接OB、OC，再過點(diǎn)O作OMBC于點(diǎn)M，
BM=OBsinBOM=1×sin36=sin36°,BC=2BM=2sin36°。圓的內(nèi)接正五邊形的周長(zhǎng)
P
5
=5BC=10sin36°。 
(3) 如圖4，圓的內(nèi)接正n邊形的邊長(zhǎng)BC=2BD=2OBsin∠BOD =2×1×sin
n

180 圓的內(nèi)接正n邊形的周長(zhǎng)（圓的半徑為1）
P
n
=n×2×1×sinn

180 追問：如果圓的半徑為R，那么圓的內(nèi)接正n邊形的周長(zhǎng)
Pn
= 
（用含R、n的式子表示） 
P
n
=n×2×R×sinn

180 數(shù)，這是隱含的條件，同學(xué)們要注意挖掘。           
個(gè)別同學(xué)單獨(dú)回答。    
引導(dǎo)學(xué)生用含n、R等參數(shù)來表示圓的內(nèi)接正多邊形的周長(zhǎng)，用函數(shù)的模型來刻畫圓的內(nèi)接正多邊形的周長(zhǎng)。  
             
已知圓的半徑R=1，圓的內(nèi)接正n邊形的周長(zhǎng)
P
n
=n×2×1
×sin
n

180，體會(huì)“函數(shù)建模思想”、“數(shù)學(xué)結(jié)合思想”。 再次感受從特殊到一般的思想、數(shù)建模思想”等。 
探究
與合作 
活動(dòng)5：計(jì)算圓的內(nèi)接正多邊形的周長(zhǎng)與直徑的比值。不妨設(shè)圓的半徑R=1。分組合作討論并把計(jì)算結(jié)果填到本小組的答題板中。從表格中，你有什么發(fā)現(xiàn)？ 
具體分工如下： 
第1、2小組：計(jì)算：當(dāng)n=3，4，5，6，7，8  時(shí)，圓的正n邊形的周長(zhǎng)與直徑的比值。 
第3、4小組：計(jì)算：當(dāng)n=9，10，11，12，13，14  時(shí)，圓的正n邊形的周長(zhǎng)與直徑的比值。 第5、6小組：計(jì)算：當(dāng)n=28，56，112，224，448，896 時(shí)，圓的正n邊形的周長(zhǎng)與直徑的比值。  
分析：（用幾何畫板演示）
學(xué)生分組合作討論，教師巡視，參與到各組的討論中。然后 
每個(gè)小組派代表把答題貼到黑板上。  
教師用幾何畫板展示動(dòng)畫（圓的內(nèi)
通過小組活
動(dòng)，每個(gè)學(xué)生都參與計(jì)算，并做組內(nèi)交流自己的看法和計(jì)算結(jié)果，也培養(yǎng)團(tuán)隊(duì)合作精神。       
 
                    
             
                    
                             
歸納：當(dāng)圓的內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)越來越大時(shí)，它的周長(zhǎng)
P
n
越來越接近圓的周長(zhǎng)C，
R
P
n
2也越來
越接近圓的周長(zhǎng)與直徑的比值
R
C
2,這個(gè)數(shù)就是圓周率π，π是一個(gè)無理數(shù)=3.141592653793…… 
接正多邊形的邊數(shù)的變化，它的形狀的變化，及表格中的數(shù)據(jù)和相應(yīng)的行數(shù)也跟著變化）。    
教師操作幾何畫板，并且與學(xué)生一起比對(duì)每個(gè)小組的計(jì)算結(jié)果，并做出點(diǎn)評(píng)。   
學(xué)生觀察幾何畫板動(dòng)態(tài)的演示和表格中的數(shù)據(jù)的變化，試著歸納：當(dāng)圓的內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)越來越大時(shí)，它的周長(zhǎng)與直徑的比值的變化趨勢(shì)。教師及時(shí)點(diǎn)評(píng)。  
通過幾何畫板的演示，學(xué)生可以直觀正n邊形的形狀的動(dòng)態(tài)變化過程，同時(shí)表格也會(huì)跟著動(dòng)、拉伸且表中的數(shù)據(jù)也跟著變。這樣學(xué)生能夠清楚地比對(duì)他們的計(jì)算結(jié)果的是否正確，也能更直觀對(duì)比數(shù)據(jù)和更進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)變化的規(guī)律，同時(shí)學(xué)生對(duì)圓周率π的興趣也提高很多了。用幾何畫板進(jìn)行動(dòng)畫演示，課堂氣氛更加活躍了。 
探究與合作 
活動(dòng)6：圓周率π的由來 
圓周率π的探索歷程大致可以分為以下五個(gè)階段： 
（1）最早的圓周率:在我國(guó)東漢初年的《周髀算經(jīng)》（如圖1）里就有記載“徑一而周三”的古率，即圓周率π≈3. 
教師先把圓周率的探索歷程大致分成五個(gè)階段。接下來，學(xué)生分組合作討論。 
  
學(xué)生通過對(duì)圓周率的歷史閱讀、收集、分享，培養(yǎng)收集2）阿基米德與圓周率：公元前3世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德（如圖2），用圓的內(nèi)接正多邊形和圓的外切正多邊形，從內(nèi)外兩個(gè)方向逼近圓，得到圓周率的值介于
71223和7
22
之間。阿基米德是當(dāng)時(shí)世界上第一個(gè)用科學(xué)的方法尋求圓周率的
人。 
（3）劉徽的割圓術(shù)：魏晉時(shí)期的數(shù)學(xué)家劉徽（如圖3）首創(chuàng)“割圓術(shù)”求圓周率的方法，在數(shù)學(xué)史占有有重要的地位。下面我們就一起來看看劉徽是怎么割圓的？劉徽的方法是用圓的內(nèi)接正多邊形從一個(gè)方向逐步地逼近。首先是用正六邊形來逼近圓，進(jìn)而再對(duì)圓十二等分，用一個(gè)正十二邊形來逼近……，這個(gè)時(shí)候他發(fā)現(xiàn)“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”。也就是，當(dāng)我分割的越細(xì)，這個(gè)時(shí)候正多邊形，則與圓越接近，劉徽用這種方法不斷地“割圓”，一直到圓內(nèi)接正192邊形，得到圓周率的近似值是3.14.劉徽把圓周率精確到了小數(shù)點(diǎn)后的2位。劉徽的割圓術(shù)與阿基米德的方法類似，都是用正多邊形逼近圓，而不同的是阿基米德是從兩個(gè)方向同時(shí)逼近圓，而劉徽是從一個(gè)方向來逼近圓。  
     
圖3                   圖4 
(4)祖沖之計(jì)算圓周率：在我國(guó)南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)家祖沖之（如圖4）在公元5世紀(jì)又進(jìn)一步求得圓周率的值介在3.1415926和3.1415927之間，還得到兩個(gè)分?jǐn)?shù)形式的近似值：密率為113
335
，約率為
7
22
，用分?jǐn)?shù)來代替π，極大地簡(jiǎn)化了計(jì)算，這種思想比西方也早一千多年。他是第一個(gè)將圓周
 
接下來，小組代表發(fā)言。教師點(diǎn)評(píng)與補(bǔ)充。   
學(xué)生體會(huì)到阿基米德用圓的內(nèi)接正多邊形和圓的外接正多邊形，從內(nèi)外兩個(gè)方向逼近圓，從求得圓周率π。   
而劉徽的割圓術(shù)也是利用用內(nèi)接正多邊形，從一個(gè)方向上逼近圓。 師：科學(xué)家們追求真實(shí)令人佩服啊！圓周率是圓的周長(zhǎng)與直徑的比值，是一個(gè)固定值，且是一個(gè)五限不循環(huán)小數(shù)，3.14是它的近似值。   
教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)阿基米德求圓周率的方法與劉
信息、整合信息，提高質(zhì)疑、理解的能力。會(huì)進(jìn)一步感受科學(xué)家們追求真理的堅(jiān)強(qiáng)的精神與品質(zhì)。 在閱讀理解過程中，體驗(yàn)數(shù)學(xué)研究方法發(fā)展的過程、極限思想、圓周率精確位數(shù)的現(xiàn)代價(jià)值等，為今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)提供一定的參考價(jià)值；      
體驗(yàn)數(shù)學(xué)文化的魅力，激發(fā)研究數(shù)學(xué)的興趣，在閱讀劉徽、祖沖之的相關(guān)成就時(shí)，激發(fā)學(xué)生的民族自豪感。    
這個(gè)數(shù)學(xué)閱讀
 
                    
             
                    
                            率的計(jì)算精確到小數(shù)點(diǎn)后7位的人。這是中國(guó)人的驕傲。 
師：隨著時(shí)代的發(fā)展，人們利用高等數(shù)學(xué)的知識(shí)來計(jì)算π的值，先后得出了許多π的計(jì)算公式，π的近似值的位數(shù)也迅速增長(zhǎng)。 
（4）計(jì)算機(jī)出現(xiàn)以后：電子計(jì)算機(jī)問世以后，圓周率的計(jì)算突飛猛進(jìn)，π的小數(shù)點(diǎn)后的位數(shù)不斷地增長(zhǎng)。20世紀(jì)50年代，π的近似值得到千位以上，60年年代則達(dá)到50萬位，80年代得到10億位，到21世紀(jì)初，科學(xué)家已計(jì)算出π的小數(shù)點(diǎn)后超過萬億的位數(shù)。  
        圖5 
徽的求圓周率的方法進(jìn)行對(duì)比，找出相同與不同的地方。   
學(xué)生舉手回答，各抒己見。教師點(diǎn)評(píng)與總結(jié)。 
內(nèi)容，為學(xué)生展示了圓周率的研究簡(jiǎn)史，介紹了相關(guān)的圓周率的研究歷史和方法，為學(xué)生打開了一扇窺視數(shù)學(xué)文化發(fā)展史的窗戶，為進(jìn)一步理解圓周率的意義，及為今后中學(xué)的相關(guān)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，留下一片想象的空間。。  
探究與合作 
活動(dòng)7：圓周率π的作用與生活. 
1. 在數(shù)學(xué)、物理學(xué)、航天、統(tǒng)計(jì)學(xué)等領(lǐng)域有重要的作用。 
2. 當(dāng)今時(shí)代，π的計(jì)算成為測(cè)試超級(jí)計(jì)算機(jī)的各項(xiàng)性能的方法之一。運(yùn)算速度與計(jì)算機(jī)的穩(wěn)定性對(duì)計(jì)算機(jī)至關(guān)重要。這正是超高精度的π的計(jì)算直到今天仍然有重要意義的原因之一。 
3. 人們對(duì)π的研究從未停止過。為了紀(jì)念圓周率π，還把每年的3月14日，規(guī)定為圓周率日。你看還有π的愛好者制作一個(gè)π形單車、π形地標(biāo)等。有關(guān)于π的作用與生活還有很多，可以說生活中處處有π。留著你們課后去發(fā)現(xiàn)與研究。 
 
教師講述，學(xué)生認(rèn)真傾聽。學(xué)生感受的圓周率π在生活的應(yīng)用很廣。 
學(xué)生感受圓周率π的重要作用及意義。體會(huì)圓周率π與我們的生活息息相關(guān)。激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。 
小結(jié)  
活動(dòng)8： 
1.本節(jié)課，你有什么收獲？ 2.本節(jié)課的數(shù)學(xué)思想有哪些？ 教書聆聽學(xué)生的回答。并做點(diǎn)評(píng)與小結(jié)。 
再次回顧本節(jié)所學(xué)的內(nèi)容與數(shù)學(xué)思想。 作業(yè) 活動(dòng)9：閱讀與收集有關(guān)于π的資料。 
進(jìn)一步了解圓周率π的知識(shí)。

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