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視頻標(biāo)簽：多邊形的外角和
所屬欄目：初中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課視頻
視頻課題：北師大版八年級(jí)下冊(cè)6.4多邊形的外角和_重慶市 - 南岸區(qū)
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北師大版八年級(jí)下冊(cè)6.4 多邊形的外角和_重慶市 - 南岸區(qū)
北師大2011課標(biāo)版 八年級(jí)下冊(cè) 第六章《平行四邊形》第4節(jié)
一、學(xué)情分析
1、學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)
在前一課時(shí)“多邊形的內(nèi)角和”的學(xué)習(xí)中，學(xué)生已經(jīng)掌握了多邊形的內(nèi)角和公式，且在探究內(nèi)角和公式的過程中進(jìn)一步體會(huì)到轉(zhuǎn)化、類比、從特殊到一般等數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用，所以具備了進(jìn)一步本節(jié)內(nèi)容的知識(shí)和方法基礎(chǔ).
2、活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ) 隨著幾何知識(shí)的深入學(xué)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)基本具備了幾何問題解決的合情推理及演繹推理能力.加上八年級(jí)的學(xué)生“善于傾聽、樂于分享、勇于挑戰(zhàn)、敢于質(zhì)疑”的性質(zhì)特征．因此對(duì)于學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容的技能條件已經(jīng)成熟，學(xué)生參加探索活動(dòng)的熱情已經(jīng)具備，所以嘗試在本課中融入“獨(dú)學(xué)、對(duì)學(xué)、群學(xué)”三大研學(xué)方式助力活動(dòng)探索.
二、教材分析
本節(jié)內(nèi)容是八年級(jí)上冊(cè)多邊形相關(guān)知識(shí)的延展和升華，并且在探索學(xué)習(xí)過程中又與多邊形內(nèi)角和、三角形外角定理等知識(shí)緊密聯(lián)系、一脈相承.同時(shí)，相較七年級(jí)的幾何問題探究初探，本章在問題的探究上更講究環(huán)環(huán)相扣，層層遞進(jìn)；滲透類比、化歸、從特殊到一般等重要的數(shù)學(xué)思想方法.在教材的編寫意圖上，強(qiáng)調(diào)“觀察--發(fā)現(xiàn)--猜想--證明”嚴(yán)謹(jǐn)?shù)恼撟C過程，回歸數(shù)（360°）與形（任意多邊形）的完美結(jié)合.
三、教學(xué)目標(biāo)（課標(biāo)要求）
1.經(jīng)歷對(duì)實(shí)際情境問題的抽象，建立模型思想，了解多邊形的外角、外角和概念. 2.經(jīng)歷探索多邊形外角和公式的過程（觀察--發(fā)現(xiàn)--猜想--證明），進(jìn)一步發(fā)展合情推理能力及演繹推理能力，體會(huì)從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法.
3.能運(yùn)用外角和公式解決一些實(shí)際問題，感受數(shù)學(xué)的價(jià)值與魅力.
4.鼓勵(lì)學(xué)生傾聽、分享、質(zhì)疑、挑戰(zhàn)，提升數(shù)學(xué)表達(dá)能力及與人合作交流能力. 核心素養(yǎng)：模型思想、幾何直觀、推理能力、應(yīng)用意識(shí)
四、目標(biāo)敘寫
1.通過探究1，經(jīng)歷對(duì)實(shí)際情境問題的抽象，建立模型思想，認(rèn)識(shí)多邊形的外角、外角和，體會(huì)學(xué)習(xí)多邊形的外角和的必要性；
2.通過探究2，經(jīng)歷觀察--發(fā)現(xiàn)--猜想--證明，獲得多邊形的外角和公式，體會(huì)類比、化歸、從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法； 3.通過環(huán)節(jié)3，“例題”的學(xué)習(xí)，能運(yùn)用外角和公式解決問題，并體會(huì)外角和與內(nèi)角和的內(nèi)在關(guān)聯(lián).
五、學(xué)習(xí)重難點(diǎn)
重點(diǎn)：多邊形外角和公式的探索及應(yīng)用. 難點(diǎn)：靈活應(yīng)用多邊形外角和解決問題.
六、學(xué)習(xí)方法：自主、合作、探究（獨(dú)學(xué)、對(duì)學(xué)、群學(xué)）； 七、教學(xué)輔助：PPT、幾何畫板、思維導(dǎo)圖
北師大2011課標(biāo)版 八年級(jí)下冊(cè) 第六章《平行四邊形》第4節(jié)
北師大2011課標(biāo)版 八年級(jí)下冊(cè) 第六章《平行四邊形》第4節(jié)
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BC
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八、教學(xué)過程
環(huán)節(jié)一感受新知：問題元素-側(cè)重?cái)?shù)學(xué)思考
［問題情境］新聞鏈接：春光無限好，學(xué)子齊健身！
南山之上，涂山湖畔，眾多學(xué)子正跑步健身！其中，小明同學(xué) 選擇了沿一個(gè)五邊形廣場周圍的小路，按逆時(shí)針方向跑步，滿滿的 朝氣！引發(fā)數(shù)學(xué)愛好者提問：
（1）小明每跑完一圈，跑步方向改變的角是哪幾個(gè)？它們的和是多少？ （2）如果是六邊形、七邊形廣場呢？（問題引申） 設(shè)計(jì)意圖：
創(chuàng)設(shè)具體的問題情境，促使學(xué)生進(jìn)行學(xué)科思考（觀察、直觀猜想）并充分表達(dá).同時(shí)，讓生活與數(shù)學(xué)建立關(guān)聯(lián)，進(jìn)而體會(huì)學(xué)習(xí)本課課題的必要性所在.
本情境改編自教材的情境引入，但增加了新聞這一載體，一方面增加學(xué)生的主人翁意識(shí)，另一方面激發(fā)學(xué)生思考的興趣.同時(shí)，在“跑步健身”中學(xué)習(xí)，滲透德育，倡導(dǎo)正能量.
環(huán)節(jié)二探究新知：探究元素-側(cè)重方法結(jié)論
探究1：多邊形外角、外角和概念
活動(dòng)：（1）嘗試將上述情景抽象成數(shù)學(xué)模型；
（2）問題1：圖中的1叫什么，12345呢？
設(shè)計(jì)意圖：
①引導(dǎo)學(xué)生將實(shí)際問題情境抽象為數(shù)學(xué)模型，運(yùn)用模型思想分析并解決問題. ②學(xué)生可憑經(jīng)驗(yàn)識(shí)別出1為外角，再類比已經(jīng)習(xí)得的三角形的外角概念（《八年級(jí)上 數(shù)學(xué)第七章》）得到多邊形的外角概念，再回歸教材，驗(yàn)證自己的猜想.同時(shí)，借助“形”直觀認(rèn)知一個(gè)項(xiàng)點(diǎn)處有2個(gè)外角，互為對(duì)頂角且外角與內(nèi)角的互為鄰補(bǔ)角關(guān)系.
③多邊形外角和概念的學(xué)習(xí)，則是通過抓關(guān)鍵字“每個(gè)頂點(diǎn)處取一個(gè)外角”深化，并認(rèn)識(shí)到12345則為五邊形的外角和.進(jìn)而自然揭示本課最核心的問題則是探索多邊形的外角和.
探究2：多邊形的外角和公式
問題2：你將如何探究多邊形的外角和？
預(yù)設(shè)：生1：類比多邊形的內(nèi)角和探究（從特殊到一般）：
三角形四邊形五邊形n邊形
北師大2011課標(biāo)版 八年級(jí)下冊(cè) 第六章《平行四邊形》第4節(jié)
1
3
2B
C
A
生2：利用度量、拼角等實(shí)驗(yàn)探究法研究； 生3：通過特殊的正多邊形研究„„
問題3：你對(duì)多邊形的外角和有何猜想？為什么？ 預(yù)設(shè)：生1：外角和為某個(gè)具體的角度；
生2：外角和會(huì)隨著邊數(shù)的增加，而進(jìn)行一定的變化（類似于內(nèi)角和）.
設(shè)計(jì)意圖：
問題2旨在引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建“問題探究”的框架思維，利用已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)為未知問題的探究鋪路，化陌生為熟悉.
問題3則是鼓勵(lì)學(xué)生對(duì)問題進(jìn)行猜想，以激發(fā)后續(xù)的探究，更有目的性和針對(duì)性！
探究2.1三角形的外角和
活動(dòng)1：學(xué)生借助任務(wù)單對(duì)三角形的外角和進(jìn)行探究 ①獨(dú)立思考：形成結(jié)論；
②組內(nèi)交流：探討證明方法的多樣性和科學(xué)性； ③展示質(zhì)疑：全班分享、互動(dòng)交流. 證明方法預(yù)設(shè)： （1）合情推理：度量、拼角等實(shí)驗(yàn)探究法；
（2）演繹推理：利用多邊形內(nèi)角和公式計(jì)算；利用三角形的外角定理；利用過一點(diǎn)作平行線轉(zhuǎn)移 角（構(gòu)造周角）
活動(dòng)2：老師利用幾何畫板動(dòng)態(tài)展示、直觀呈現(xiàn)三角形的外角和為360°.
探究2.2 四邊形的外角和
活動(dòng)3：①學(xué)生運(yùn)用上述方法逐一探究四邊形的外角和；
②學(xué)生問答：經(jīng)歷獨(dú)立探究后，先由學(xué)生表達(dá)對(duì)某種證明方法
的困惑.如四邊形能否利用外角定理進(jìn)行證明，如何利用作平 行線進(jìn)行證明？再由會(huì)的學(xué)生展示證明思路.
探究2.3 五邊形的外角和
活動(dòng)4：學(xué)生用最喜歡的方式探究
探究2.4 n邊形的外角和
學(xué)生主動(dòng)生成結(jié)論： n邊形的外角和為360°.
設(shè)計(jì)意圖：
多邊形外角和公式的探究是本課的核心之所在. 此環(huán)節(jié)的探究分縱向和橫向兩條線走；縱向上，從三角形到n邊形，遵循了從特殊到一般的探究原則，在研究主體變化過程中，學(xué)生體會(huì)到方法的遷移及外角和恒定的數(shù)字規(guī)律.橫向上，對(duì)于每一個(gè)圖形外角和的研究，都不拘泥于單一的方法，而是在簡單圖形中追求方法的全面（代數(shù)方法和幾何方法，即數(shù)形結(jié)合），在復(fù)雜圖形中追求方法的科學(xué)（代數(shù)法）.隨著多邊形邊數(shù)的增加，面臨著形的復(fù)雜化，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生由形象思維過渡到邏輯思維，運(yùn)用算理解決問題.
環(huán)節(jié)三應(yīng)用新知：應(yīng)用元素-側(cè)重如何思考
例1：（1）一個(gè)多邊形的內(nèi)角和等于它的外角和的4倍，它是幾邊形？ （2）一個(gè)正多邊形的一個(gè)內(nèi)角為144°，則這個(gè)正多邊形的內(nèi)角和為.
北師大2011課標(biāo)版 八年級(jí)下冊(cè) 第六章《平行四邊形》第4節(jié)
例2：如圖，小明從點(diǎn)O出發(fā)，前進(jìn)m5后向右轉(zhuǎn)24°，再前進(jìn)m5后又向右轉(zhuǎn)24°，這樣一直走下去，直到他第一次回到出發(fā)點(diǎn)O為止，他所走的路徑構(gòu)成了一個(gè)多邊形.
（1）小明一共走了米；
（2）這個(gè)多邊形的內(nèi)角和是度.
設(shè)計(jì)意圖：
例1（1）乃教材156頁的例題，旨在利用多邊形內(nèi)角和與外角和的數(shù)量關(guān)系建立方程解決問題； 例1（2）是“老題新做”.在學(xué)習(xí)完前一課時(shí)多邊形的內(nèi)角和后就遇到過此類問題，但學(xué)完外角和后，此題既可從內(nèi)角和出發(fā)，又可從外角和出發(fā)，且后者更為簡單.通過此題，學(xué)生可以提煉出表示正多邊形的每個(gè)內(nèi)角的方法：①
nn180)2(；②n
360180
例2則是一個(gè)利用外角和解決的實(shí)際問題，讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)來源于生活，更服務(wù)于生活的理念；
同時(shí)亦能洞悉復(fù)雜生活中不變的數(shù)學(xué)原理.
環(huán)節(jié)四梳理總結(jié)：整理元素-側(cè)重目標(biāo)錯(cuò)點(diǎn)
由學(xué)生從知識(shí)、方法、解題策略等角度自主梳理本課的收獲，談困惑； 教師利用思維導(dǎo)圖展示本課的核心知識(shí)和方法.
設(shè)計(jì)意圖：
梳理是對(duì)一堂課的回顧和反思，借助這一環(huán)節(jié)，能引導(dǎo)學(xué)生完善知識(shí)體系，對(duì)探究問題的思想方法有更深刻的認(rèn)同.而思維導(dǎo)圖的展示更能看到本課的框架之所在.
文化鏈接：內(nèi)角和&外角和，誰更強(qiáng)大？！
欣賞來自張景中院士《數(shù)學(xué)家的眼光》的第一篇章“三角形內(nèi)角和”. 在本文中，數(shù)學(xué)家陳省身否定了“三角形內(nèi)角和為180°”這一看問題的 方法，而是倡導(dǎo)應(yīng)把眼光放在外角和為360°。因?yàn)楹笳哂靡粋�(gè)與n無關(guān) 的常數(shù)代替了與n有關(guān)的公式，找到了更一般的規(guī)律！而通過螞蟻繞圈的 方法，直觀解釋了“多邊形的外角和為360°”這一普遍規(guī)律，隨即發(fā)現(xiàn) 360這一數(shù)據(jù)同樣適用于凸的閉曲線及凹多邊形中！
同時(shí)向?qū)W生推薦課本157頁習(xí)題數(shù)學(xué)理解第4題，在圖形的放縮變化 中感知360°的呈現(xiàn).
北師大2011課標(biāo)版 八年級(jí)下冊(cè) 第六章《平行四邊形》第4節(jié)
321F
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設(shè)計(jì)意圖：
借數(shù)學(xué)家陳省身的眼光肯定了“多邊形的外角和”學(xué)習(xí)的深層次意義，也深刻揭示了“數(shù)學(xué)至簡，大道至簡”的文化內(nèi)涵.同時(shí)鼓勵(lì)學(xué)生致力于事物本質(zhì)規(guī)律的探究，方能洞悉“萬變不離其宗”的真諦.
環(huán)節(jié)五達(dá)標(biāo)檢測：評(píng)價(jià)元素-側(cè)重達(dá)標(biāo)人數(shù)
1.若一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是它的外角和的3倍，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)是.
2.若一個(gè)正多邊形的一個(gè)內(nèi)角等于150°，則這個(gè)正多邊形的內(nèi)角和為.
3.如圖，在五邊形ABCDE中， 321，，為其中的三個(gè)外角，且 215321；BA、DE的延長線交于F點(diǎn)，則F的度數(shù) 為.
設(shè)計(jì)意圖： 鞏固在例題中所收獲的知識(shí)及方法：1、2題和例1兩個(gè)小題恰好一一對(duì)應(yīng)，可借此評(píng)價(jià)學(xué)生一節(jié)課的聽課效果和過手情況；3題重點(diǎn)考察學(xué)生在形上對(duì)外角及外角和的直觀識(shí)別及應(yīng)用.
環(huán)節(jié)六 拓展應(yīng)用
新聞鏈接：跑步跑出“360”，點(diǎn)點(diǎn)滴滴皆學(xué)問！
據(jù)悉，學(xué)子們以“小明的五邊形跑步”為載體，經(jīng)歷觀察--發(fā)現(xiàn)--猜想--驗(yàn)證，進(jìn)而得到多邊形外角和恒為360°的事實(shí)。大家對(duì)此紛紛點(diǎn)贊！ 不過，數(shù)學(xué)愛好者又提問啦！
小明跑步，先沿直線前進(jìn)10米，然后左轉(zhuǎn) )1800(被稱為一次轉(zhuǎn)身.若五次轉(zhuǎn)身后，小明恰好回到出發(fā)點(diǎn)，則角為多少度？
設(shè)計(jì)意圖：
以“跑步情境”貫穿首尾，前后呼應(yīng)！讓學(xué)生充分感受到數(shù)學(xué)源于生活，歸于生活的價(jià)值所在.而最后的思考題既是對(duì)外角和的應(yīng)用，更是對(duì)360°的深刻解讀.只有具備了數(shù)學(xué)家式的眼光，方能洞悉其中的分類討論思想！
課后作業(yè)布置：評(píng)價(jià)元素-側(cè)重鞏固提高 必做題：教材157頁習(xí)題6.8：1-4題 選做題：習(xí)題6.8：第5題
北師大2011課標(biāo)版 八年級(jí)下冊(cè) 第六章《平行四邊形》第4節(jié)
九、評(píng)價(jià)與反思
從開始構(gòu)思到細(xì)細(xì)思量完成教學(xué)設(shè)計(jì)，再到應(yīng)用于教學(xué)實(shí)踐，是一個(gè)完整而深刻的學(xué)習(xí)過程。三點(diǎn)感悟，如下：
1.授生以“魚”，不如授生以“漁” 在一次和科代表的對(duì)話中，我問到，“你知道多邊形的外角和是多少嗎？”他很驕傲地回答：“當(dāng)然知道了，360°！”“那你知道怎么來的嗎？”我追問道。他卻垂下了頭，眼睛里也失去了開始的光彩。這就是我們的教育現(xiàn)狀，學(xué)生關(guān)注的僅僅是結(jié)果性的知識(shí)，而對(duì)過程性的知識(shí)不予理睬。長此以往，這必將使得我們喪失探究問題的習(xí)慣與能力。所以，在本課中，我想要堅(jiān)持引領(lǐng)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)、去猜想、去碰撞，直至找尋到多邊形的外角和，而事實(shí)證明我們成功了。當(dāng)然也有遺憾的地方：為了構(gòu)建清晰的框架，問題的設(shè)置貫穿整堂課，而一堂課教學(xué)時(shí)間有限，所以在給學(xué)生留答的時(shí)間上稍顯欠缺。
2.既入寶山，豈愿空手還
以前總覺得外角和恒為360°就是一個(gè)簡單的事實(shí)。但經(jīng)歷了思考后，便會(huì)發(fā)現(xiàn)每一處的探究都可以有廣度上的發(fā)散。如越是在簡單的圖形中，越能發(fā)現(xiàn)：作平行線、利用外角定理亦能得到360°，這恰恰就是論證問題的起步：發(fā)現(xiàn)！而尋著這條線走下去，會(huì)真正領(lǐng)略到360°這一恒定不變的數(shù)字規(guī)律后蘊(yùn)藏著數(shù)與形的完美融合。數(shù)來自于嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪\(yùn)算，而形來自于幾何直觀上的認(rèn)知，兩者結(jié)合方能識(shí)之深刻。
3.德育、文化雙線領(lǐng)航，望能走向遠(yuǎn)方
為師者總愛說數(shù)學(xué)有趣又有用，而學(xué)生看到更多接觸最多的卻是題。所以本課中設(shè)計(jì)了“小明跑步”這一問題情境并貫穿始終，讓學(xué)生在跑步中找尋到“多邊形外角和為360°”這一數(shù)學(xué)知識(shí)，同時(shí)又應(yīng)用之解決跑步中的系列問題，展示了數(shù)學(xué)源于生活用于生活的價(jià)值與魅力。其次借“名人眼中的外角和”這一文化讓學(xué)生看到更深刻的內(nèi)涵，彰顯數(shù)學(xué)的真理性及普遍性，從而有了思考上的啟迪。
視頻來源：優(yōu)質(zhì)課網(wǎng) www.jjlqy.cn
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