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視頻標簽：指數函數的概念
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：北師大版高一數學必修一第三章4.2.1《指數函數的概念》浙江省-杭州
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北師大版高一數學必修一第三章4.2.1《指數函數的概念》浙江省-杭州
指數函數的概念
一、內容和內容解析
內容的本質：指數函數刻畫了現實事物中增長率或衰減率為常數的變化規律，它的一般形式是xya，其中x是自變量，定義域為R.
思想和方法：抽象是概念形成的基本方法，通過運算發現代數規律，得到增長率或衰減率是常數，從而抽象出函數關系，歸納指數函數的概念.數形結合思想是函數研究的核心思想，借助冪函數的研究經驗，通過觀察指數函數的圖象，從特殊到一般、具體到抽象，歸納得到指數函數的性質.
知識上下位：函數的一般概念和性質，是指數函數研究的上位.指數冪及其運算，是指數函數研究的基礎.冪函數的研究方法，可類比遷移到指數函數的圖象與性質，為指數函數圖象性質的研究提供了活動經驗.
育人價值：通過運算發現變量之間的關系，抽象出函數模型，在層層遞進地精確化過程中，形成數學概念，發展學生數學抽象的素養.借助圖象和運算，研究指數函數，學會用數學的方式，研究一類變化規律，用數學的語言表達規律.在豐富的生活實例中，感受數學的文化價值、科學價值與應用價值.
教學重點：指數函數的概念、圖象與性質. 二、目標和目標解析 1.單元目標
（1）通過具體實例，了解指數函數的實際意義，理解指數函數的概念. （2）能用描點法或借助計算工具畫出具體指數函數的圖象，探索并理解指數函數的單調性與特殊點. 2.目標解析
達成上述目標的標志是：
函數
冪函數 指數函數 指數
2
（1）學生經歷對典型實例中蘊含的代數關系進行分析的過程，能通過運算，發現增長率或衰減率為常數這一特征，抽象出指數函數的概念，明確它的一般形式是xya，其中x是自變量，定義域為R，并能進行簡單的應用.
（2）學生能畫出典型函數的圖象，觀察指數函數的圖象特征，得到指數函數的單調性等性質，并能初步應用．
三、教學問題診斷分析
1.學生在初中一次函數的學習中，已經有用函數來刻畫事物變化規律的經驗，但學生對“具體情境——發現問題——數學問題——數學表征——數學概念”這樣的抽象過程仍然有困難，對“用運算來發現數學規律”的認識不足.學生不習慣從運算的角度去研究兩個變量之間的關系，對于層層遞進的代數化過程，有一定的困難.教學中應注重對利用運算來發現代數規律這一研究方法的引導.
2.學生在前一章已經經歷了冪函數的研究，了解了研究一類函數的過程和方法.在此基礎上，繼續研究指數函數的圖象和性質，只需要進行方法的類比遷移.有一些學生對于研究方法的認識不到位，在觀察指數函數的特征，歸納性質的過程中，對于底數a的分類，性質研究的一些角度（單調性，特殊點等），需要教師引導啟發，并且通過合作探究活動，讓學生自主.
教學難點：指數函數的抽象過程，指數函數性質的理解. 四、教學支持條件分析
1.本單元涉及的函數模型源于生活實際，數據較多，不易處理，借助圖形計算器來計算，需要學生能夠熟練地使用圖形計算器的運算功能.
2.從幾個特殊的指數函數圖象到一般的指數函數圖象，需要借助圖形計算器來畫圖，需要學生能夠熟練地使用圖形計算器的作圖功能.
3.本單元注重研究方法的形成過程，及時展示學生解決問題的切入點、思維過程、解答結果，暴露學生解題過程中的知識缺陷和思維漏洞，所以，需要借助黑板和多媒體投影及時有效地輔助教學.
五、課時教學設計
第一課時
（一）課時教學內容 指數函數的概念
3
（二）課時教學目標
1.通過游客和碳14兩個實例，利用運算來刻畫增長率和衰減率為常數這一變化規律，概括出指數函數的概念，從中體驗抽象一類函數概念的方法，提升數學抽象素養；
2．通過鞏固、應用，在問題解決的過程中，理解指數函數的概念，進一步深化對指數函數變化規律的認識.
（三）教學重點與難點
重點：指數函數概念的抽象過程，指數函數對應關系特征的理解．
難點：通過運算發現數的變化規律，利用增長率和衰減率抽象出指數函數的概念.
（四）教學過程設計
引言：前幾節課，我們已經將整數指數冪拓展到實數指數冪，經歷了冪函數的研究方法，認識了冪函數的概念、圖象與性質.今天，我們繼續研究一類與此相關的基本初等函數.
【設計意圖】回顧舊知，建立新舊知識的聯系. （一）創設情境，探究模型 問題1游客人數增長模型
隨著中國經濟高速增長，人民生活水平不斷提高，旅游成了越來越多家庭的重要生活方式.由于旅游人數不斷增加，A，B兩地景區自2001年起采取了不同的應對措施，A地提高了景區門票價格，而B地則取消了景區門票.表格中給出了A，B兩地景區2001年至2015年的游客人次.
探究1：比較兩地景區游客人次的變化情況，你發現怎樣的變化規律？ 【學生回答】 隨著年份的變化，游客人數隨之增長，且B地人次比A地增長快. 【教師追問1】這是數據給我們的宏觀印象，你能用什么數學方法來描述這種變
1 •創設情境，探究模型 2 •抽象特征，形成概念 3 •概念應用，加深理解 4
•課堂總結，提煉升華 5
•目標檢測，練習鞏固
4
化？
【學生回答】畫出散點圖.
【學生活動】學生機器作圖，分別畫出A，B兩地景區采取不同措施后的15年游客人次的圖像，投影展示圖象.
【教師追問2】為了便于觀察，可以先根據表格中的數據描點，然后用光滑的曲線將離散的點連起來.觀察圖象，你發現了怎樣的變化規律？
【學生回答】A地景區的游客人次近似于直線上升（線性增長），B地景區的游客人次則是非線性增長.
【教師追問3】你能解釋什么是線性增長嗎？ 【學生回答】圖象近似于一條直線.
【教師追問4】以一次函數y=kx+b的形式增長，刻畫均勻增長，也就是說在相同的時間間隔，增加的量相同.那我們再回到數據去，請同學們算一算兩地人次的逐年增加量.
【教師追問5】你從增加量上發現規律了嗎？
【學生回答】后一年與前一年人次作差.A地年增加量大致相等（約為10萬次） 【教師追問6】A地景區年增長穩定在10萬次左右，這個10是個常量，那么，我們可以通過后一年與前一年人次的差，用逐年增加量10來刻畫他的增長規律. 你能寫出這個一次函數嗎？
【學生回答】設自變量為年份，游客人次為因變量，600102001yx 【教師追問7】在這里，我們更關注的是年份的增量，我們可以怎么表示？ 【學生回答】不妨設經過的年數為x，可得60010yx.
【教師追問8】我們可以通過作差運算，用逐年增加量來刻畫A地的增長規律.但是，我們也發現B地年增加量越來越大.這依然是一種定性的刻畫，能不能像A地一樣，從定量的角度來表達它的變化規律？ 【學生回答】能不能試試其他運算.
【設計意圖】首先，學生直觀感知表格中數據的變化規律，建立初步認識.教師在學生回答的基礎上追問，引導學生觀察圖象，從形到數，回歸數與數之間的運算.類比年增加量，遷移運算思路，從對給出的數據的認識，抽象到對數學運算的認識.
探究2：我們知道，年增加量是對相鄰兩年的游客人次做減法得到的，能否通過對B地景區每年的游客人次做其他運算發現游客人次的變化規律呢？請你試一試.
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【學生活動】學生機器運算，并展示運算結果.允許學生嘗試各種不同的運算，進行比較分析.
從2002年起，將B地景區每年的游客人次除以上一年的游客人次.結果表明是一個常數，我們可以將1.11-1=0.11稱之為年增長率.提出增長率的概念. 像這樣，增長率為常數的變化方式，我們成為指數增長（指數部分的變化）. 因此，B地景區的游客人次近似于指數增長.
探究3：寫出B地景區人數變化規律的函數解析式.
【學生活動】引導學生用增長率來描述每年的游客人次，得到游客人次的增長倍數與年數之間的關系.
顯然，從2001年開始，B地景區游客人次的變化規律可以近似描述為： 1年后，游客人次是2001年的11.11倍； 2年后，游客人次是2001年的21.11倍； 3年后，游客人次是2001年的31.11倍 ……
x年后，游客人次是2001年的1.11x倍
如果設經過x年后的游客人次為2001年的y倍，那么1.110,xyx，這是一個函數，其中指數x是自變量.
【設計意圖】通過問題串，啟發學生思維.引導學生經歷從表格到圖象，再到解析式的研究過程，分析游客人次的增長倍數與年份之間的關系，體驗數學函數模型的抽象過程，體會函數模型的發生發展過程，體會學會研究問題的一類方法. 問題2碳14衰減模型
1936年，良渚遺址第一次被發現.2007年，考古專家根據古城墻邊的碎陶片，作出判斷：良渚古城的年代下限是公元前2300年.2011年，浙江省考古研究所與北京大學碳14實驗室合作，對從良渚古城發掘出的一系列樣本進行碳14測年.十幾組數據顯示，良渚古城城墻的年代大致在距今4300年至4500年之間. 思考1：當生物死亡后，它機體內原有的碳14含量會按確定的比率衰減（稱為衰減率），若年衰減率為p，你能刻畫死亡生物體內碳14含量與死亡年數之間
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的關系嗎？
【學生活動】自主嘗試建立模型.
如果把剛死亡的生物體內碳14含量看成1個單位，設生物死亡年數為x，生物體內碳14含量為y，
死亡1年后，生物體內碳14含量為1
1p； 死亡2年后，生物體內碳14含量為21p； 死亡3年后，生物體內碳14含量為31p； ……
死亡x年后，生物體內碳14含量為1xp.
1x
yp
思考2：科學家發現，大約每經過5730年衰減為原來的一半，這是時間稱為“半衰期”.你能求出p嗎？
5730
112p
，從而1
5730
112p
，所以15730
112p
，
可得1
573010,2x
yx
.
這也是一個函數，指數x是自變量.死亡生物體內碳14含量每年都以
15730
112
的衰減率衰減.像這樣，衰減率為常數的變化方式，我們稱為指數衰減.
因此，死亡生物體內碳14含量呈指數衰減.
【設計意圖】從已有的科學結果出發，引導學生進行數學表達，在數學化的過程中，歸納推理出指數函數模型.兩個實例側重點不同，實例1重在體驗函數模型的形成發生過程，實例2重在數學化過程，所以教師在處理方法上也應有所區別，體現層次性.
（二）抽象特征，形成概念
思考1：你還能舉出其他類似的函數模型嗎？
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思考2：這些函數有什么共同特征？
思考3：推廣到一般,xyaxR，，底數a有什么要求？
【設計意圖】通過幾個不同的函數模型，抽象出指數函數的概念，經歷從特殊到一般，具體到抽象的過程，從中體驗抽象一類函數概念的方法，提升數學抽象素養.教師引導分析結構特征，理解概念，并通過追問，引發學生思考，完善底數的取值范圍.抓住自變量在指數位置這一基本特征，理解底數取值的合理性． （三）概念應用，加深理解
例1 已知指數函數0,1xfxaaa且，且3fe，求0,1,3fff的值.
【設計意圖】對函數概念的理解和應用
例2 （1）在問題1中，如果平均每位游客出游一次可給當地帶來1000元門票之外的收入，A地景區的門票價格為150元，比較這15年間A，B兩地旅游收入變化情況.
【學生活動】同桌合作完成，借助機器計算作圖，分享交流.
（2）在問題2中，某生物死亡10000年后，它體內碳14的含量衰減為原來的百分之幾？
思考：連續兩個半衰期是否就是一個“全衰期”？（閱讀材料）
從特殊到一般，得到一般地指數增長模型：設原有量為N，每次的增長率為
p，經過x次增長，該量增長到y，則
1x
yNpxN.
形如,00,1xykakRkaa且；且的函數是刻畫指數增長或指數衰減變化規律的非常有用的函數模型.
【設計意圖】進一步加深理解，例1是數學內部的指數函數概念應用，例2是實例中的指數函數概念應用，解答中要使用大量的符號語言，文字語言，引導學生恰當得描述結果.（1）中引導學生體會增長模型的增長速度.（2）中引導學生體會衰減模型的衰減速度，從而對指數函數的圖象形成初步的認識，為下一課作鋪墊.
（四）課堂總結，提煉升華
從實際問題到數學問題，經歷數學抽象的過程，認識、表達、理解指數函數
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的概念，體會通過運算來發現不變關系，用函數來刻畫規律的基本方法. 【設計意圖】總結提煉，內化概念，明晰研究方法. （五）目標檢測，練習鞏固
1.下列圖象中，有可能表示指數函數的是（ ）
A. B. C. D.
2.已知函數,yfxxR，且
0.510.503,
2,2,,
2,*00.50.51fffnfnNfffn，求函數
yfx
的一個解析式
. 3.在某個時期，某湖泊中的藍藻每天以6.25%的增長率呈指數增長，那么經
過30天，該湖泊的藍藻會變為原來的多少倍？
【設計意圖】3個目標檢測練習，鞏固提升，3個問題的檢測目標不同，第1題，在于對指數函數圖象的認識.第2題，是對指數函數概念的理解.第3題，指數函數概念在簡單情境中的運用，是聯系實際的應用. 研究性問題：
類比研究冪函數性質的過程和方法，進一步研究指數函數的圖像和性質. 【設計意圖】承上啟下，為下一課作鋪墊.
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