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視頻標簽：平面向量基本定理
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：北師大必修四第二章第三節3.2《平面向量基本定理》陜西省 - 咸陽
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北師大必修四第二章第三節3.2《平面向量基本定理》陜西省 - 咸陽
《平面向量基本定理》教學設計
一、教材分析
1．地位和作用
本節課是位于北師大版高中數學必修四第二章第三節第2課時的內容—平面向量基本定理.此前的教學內容主要研究了向量的的概念和線性運算，集中反映了向量的幾何特征，本節要講的 “平面向量基本定理”是研究向量的正交分解和向量坐標運算的基礎，向量的坐標運算正是向量的代數形態.通過平面向量基本定理，平面中的向量與它的坐標建立起了一一對應的關系，即“數”的運算處理“形”的問題的完美結合，在整個向量知識體系中處于承上啟下的核心地位. 2.教學目標
1）了解平面向量基本定理及其意義，會選擇基底來表示平面中的任一向量. 2）通過平面向量基本定理的探究，讓學生體驗數學定理的產生、形成過程，培養學生觀察發現問題、由特殊到一般的歸納總結問題能力. 3）用現實的實例，激發學生的學習興趣，培養學生不斷發現、探索新知的精神，發展學生的數學應用意識. 3.教學重難點
重點：平面向量基本定理的探究生成過程
難點：利用定理將平面向量分解及對這種分解唯一性的理解 二．教法與學法
為了達到本節課的教學目標，突出重點，突破難點，我設計了一系列的“問題串，在問題驅動下，采用教師啟發引導學生自主探究的模式完成了教學任務，并借助多媒體和幾何畫板等工具輔助教學. 三．課堂結構設計
我把教學結構設計為七個階段：
例題練習、鞏固新知
歸納小結、深化認知
思考交流、構建概念
定理點撥、加深理解
復習回顧、創設新境 問題驅動、探究新知
四、教學過程設計 1．復習回顧 創設新境 （1）復習舊知
○
1向量加法的平行四邊形法則 ○
2數乘向量的概念 ○
3向量共線定理的內容 （2）實例分析
實例1：平拋運動中，每一時刻的速度的分解 實例2：在斜面上靜止的物體所受重力的分解
【設計意圖】：從矢量分解滲透分解的平行四邊形法則（即分解的本質是以被分解的對象為對角線做平行四邊形） 2.問題驅動、探究新知
問題1：給定平面內不共線兩個向量 ,如何求作向量 和 ？ 【設計意圖】：利用向量的加減法和數乘向量，利用平行四邊形法則可以表示某個向量，為向量的線性表示打下基礎． 問題2:是否平面內每一個向量ar都可以分解成兩個不共線向量？分解唯一嗎？ 【設計意圖】：通過做平行四邊形的多種表示方法說明同一個向量表示的不唯一性。
問題3：給定平面內兩不共線向量 ，ar
是平面內的任一向量，它能否沿 所在直線分解？唯一嗎？（同起點、做直線、做平行線，找交點）
【設計意圖】：在 確定的情況下，平行四邊形可做說明可分解，由向量共線定理說明表示的唯一性，即平行四邊形的確定性.
問題4：1212,,,,,OAeOBeOCaOMONeeuur
uruur
uruuur
r
uuuruuur
urur
在上圖中，設則向量分別與的關系如何？
12,aeerurur
從而向量與的關系如何？
問題5：121212,,,,eeaeeururrurur
若上述向量都為定向量且不共線，則實數，是否存在？
是否唯一？
【設計意圖】：根據分析嘗試初步形成定理.
教師幾何畫板演示任一平面向量在一組不共線向量下的唯一分解。
問題6：根據上述分析,平面內任一向量ar
都可以由這個平面內兩個不共線的向
量 表示出來，從而可形成一個定理.你能完整地描述這個定理的內容嗎？
12,eeurur1223eeurur12+2eeurur
12,eeurur12,eeurur12,eeurur
12,eeurur布置作業、鞏固提高 課后反思
3. 思考交流、構建概念
平面向量基本定理：
如果21,ee是同一平面內的兩個不共線的向量，那么對于這一平面內的任一向量a，存在唯一一對實數21, ，使2211eea。 把不共線的向量21,ee叫向量a的一組基底.
4.定理點撥、加深理解
問題7：在定理中，為什么要求向量21,ee不共線？0r
可以作為基底嗎？
問題8：若向量a與1eur或2eur共線，a還能用1122eeurur
表示嗎？
問題9：若定理中的=0arr
,能用基底21,ee表示嗎?
【設計意圖】：通過問題7，8,9，教師點撥，引導學生深入理解定理. 請同學們勾畫出概念中的關鍵詞，并對定理加以說明．
① 21,ee作為基底不共線，不唯一.
② 12,,eeaururr
都為定向量，則實數21,唯一確定.
③ 11120aeaeerurrururP
21200aeaeerurrururP 12000aaeerrrururP 5.例題練習、鞏固新知 練習1．判斷正誤．
(1)一個平面內只有一對不共線的向量可作為表示該平面內所有向量的基底．( )
(2)若21,ee是同一平面內兩個不共線向量，則1122eeurur
(12，為實數)可以表示該平面內所有向量．( )
(3)若1212(,,,),,.aebecedeabcdRacbdurururur
則 ( )
()()abxyxyaxybab2342363rrrrrr
練習．已知向量與是一組基底，實數，滿足－＋－＝＋， ________xy則－＝．
[設計意圖]:加深學生對平面向量基本定理的理解。 6．歸納小結、深化認知
本節課的學習，你學到了什么？體驗到了什么？掌握了什么？
(1)通過定理，學習平面內任一向量a都可以表示為兩個不共線向量的線性組合,體現了由特殊到一般的歸納概括能力的要求。
(2)通過定理掌握了基底一定，向量表示唯一的辯證統一思想，有序實數對),(21與向量a 一一對應思想體現數學的簡潔美，為后繼課程學習打下了基礎。
7、布置作業、鞏固提高
作業：課本87頁第1、2、5、6題。 8、課后反思
本節課通過實例分析，通過“問題串”形式的一系列設問，能較好的分散教學難
點。突出教學重點。但在定理說明的第3點中，針對12000aaeerrrurur
P沒有及
時舉例說明，在練習1判斷正誤題中，對第（3）小題的處理欠妥，沒有很好的抓住舉例機
會，也說明對12000eerurur
的理解還不到位，下次教學中需改進。
視頻來源：優質課網 www.jjlqy.cn
