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視頻標簽：應用二元一次,方程組,里程碑上的數
所屬欄目：初中數學優質課視頻
視頻課題：初中數學北師大版八年級上冊應用二元一次方程組—里程碑上的數-九江
教學設計、課堂實錄及教案：初中數學北師大版八年級上冊應用二元一次方程組—里程碑上的數-九江外國語學校
第五章二元一次方程組
5. 應用二元一次方程組——里程碑上的數
【教學目標】
1.知識目標
1）用二元一次方程式組解決“里程碑上的數”這一有趣場景中的數字問題和行程問題。 2）歸納出用二元一次方程組解決實際問題的一般步驟。
2.能力目標
讓學生進一步經歷和體驗列方程組解決實際問題的過程，體會方程（組）是刻畫現實 世界的有效數學模型，讓學生學會列方程組解決實際問題的一般步驟。 3.情感目標
在本節課上讓學生體驗把復雜問題化為簡單問題的同時，培養學生克服困難的意志和 勇氣，鼓勵學生合作交流，培養學生的團隊精神。
【教學重點】用二元一次方程組刻畫學問題和行程問題，初步體會列方程組解決實際問題的步驟。 【教學難點】將實際問題轉化成二元一次方程組的數學模型。 【教學過程】 第一環節課前熱身
1.一個兩位數的十位數字是ｘ，個位數字是ｙ，則這個兩位數可表示為：10ｘ＋ｙ. 2.一個三位數，若百位數字為ａ，十位數字為ｂ，個位數字為ｃ，則這個三位數可表示為： 100ａ＋10ｂ＋ｃ.
3.一個兩位數，十位數字為ａ，個位數字為ｂ，若在這兩位數中間加一個０，得到一個三位數， 則這個三位數可表示為：100ａ＋ｂ.
4.已知ａ是一個兩位數，ｂ是一個三位數。若把ａ放在ｂ的左邊，得到一個五位數，則這個五 位數可表示為：1000ａ＋ｂ.
第二環節情境引入（學生表演，情景展示）
有一對父子，他們的年齡都是一個兩位數。下面是父子兩人對話： 爸爸說: “咱倆的年齡之和才68歲，爸爸還是很年輕的！”
兒子說:“若把你的年齡寫在我的年齡的左邊，得到一個四位數；若把你的年齡寫在我的年齡的 右邊，同樣得到一個四位數。”
爸爸說:“如果這樣的話，前一個四位數會比后一個四位數大2178，這樣看來爸爸已經很老了！” 聰明的同學們，聽完他們的對話，你認為爸爸是很年輕還是很老呢？你能求出這對父子的年齡 嗎？
【分析】
列方程（組）解應用題的關鍵是找等量關系。本題有兩個等量關系：
1.（父親年齡）+（兒子年齡）= 68
2.（前一個四位數）-（后一個四位數）= 2178
解：設爸爸年齡為x歲，兒子年齡為y歲，根據題意得： x＋y＝68
（100x+y）－（100y+x）＝ 2178
整理得： x＋y ＝68 解方程組得： x = 45 x-y ＝22 y=23
答：爸爸的年齡為45歲，兒子的年齡為23歲。
第三環節學以致用
一個兩位數，它的十位數字與個位數字的和為7.如果將這個兩位數的十位數字與個位數字對調，那么所得的兩位數比原兩位數小27，求原來的兩位數。
【分析】
此數字問題應考慮設間接未知數，即設數位上的數字。 解：設原來兩位數的十位數字為x，個位數字為y，根據題意，得：
x＋y ＝7 解得： x=5
10x+y-27＝ 10y+x y=2 答：原來的兩位數為52。
第四環節例題賞析
例1 甲、乙二人在一環形場地上從 A點同時同向勻速跑步，甲的速度是乙的2.5倍，4分鐘后兩人首次相遇此時乙還需要跑 300米才能跑完第一圈，求甲、乙二人的速度及環形場地的周長。
【分析】
1.行程問題的基本等量關系是：路程=速度×時間
2.環形問題中同向追及問題的等量關系是：快者路程-慢者路程=1圈 解：設乙的速度為x米/分，則甲的速度為2.5x米/分，環形場地的周長為y米。 根據題意，得: y=2.5x×4-4x 解得： x=150 y=4x+300 y=900
所以，2.5x=2.5*150=375
答：甲、乙二人的速度分別為375米/分，150米/分，環形場地的周長為900米。
例2 小明爸爸騎著摩托車帶著小明在公路上勻速行駛，下圖是小明每隔1小時看到的里程情況。你能確定小明在12:00時看到的里程碑上的數嗎？
12:00是一個兩位數，它的兩個數字之和為7； 13:00十位與個位數字與12:00所看到的正好顛倒了； 14:00比12:00時看到的兩位數中間多了個0． 【分析】
設小明在12:00看到的數十位數字是ｘ，個位數字是y，那么
時刻 百位數字
十位數字
個位數字
表達式 12:00 x y 10x+y 13:00 y x 10y+x 14:00
x
0
y
100x+y
相等關系：1. 12:00看到的數，兩個數字之和是7， 2. 每隔一小時的路程差相等。
解：設小明在12:00時看到的數的十位數字是x ，個位數字是y ,根據題意，得: x＋y＝7 ，
（10y＋x）－（10x＋y）＝（100x＋y）－（10y＋x） 解方程組：x＋y ＝7，
（10y＋x）－（10x＋y）＝（100x＋y）－（10y＋x）.
整理得： x＋y＝7，解得：x = 1 y＝6x. y = 6 因此，小明在12:00時看到的里程碑上的數是16．
提示：要學會在圖表中用含未知數的代數式表示出要分析的量；然后根據等量關系列方程。 【小結】
對較復雜的實際問題可以通過列表格的方法幫助理清題中的未知量，已知量之間的數，以便根據等量關系列方程（組）。
第五環節鞏固提高
甲、乙兩人分別從相距 30千米的 A，B兩地同時相向而行,經過3小時后相距3千米，再經過2小時，甲到 B地所剩的路程是乙到A地所剩路程的2倍，你能求出甲、乙兩人的速度嗎？
解：設甲的速度為為x千米/時，乙的速度為y千米/時。 （1）當兩人相遇之前相距3千米時，根據題意，得: 3x＋3y＝30-3 解得： x=4 30-5x＝2(30-5y) y=5
(2）當兩人相遇之后相距3千米時，根據題意，得: 3x＋3y＝30+3 解得： x=3
15
30-5x＝2(30-5y) y=3
25
綜上，甲的速度為 4千米/時，乙的速度為 5千米/時；或甲的速度為31
5千米/時，乙的速度為
3
2
5
千米/時。
【小結】
解有關行程問題的應用題時，要注意分類討論的數學思想。
第六環節能力升華
你愿意當一次編題小老師嗎？
請以小組為單位開展討論，根據實際背景編一道應用題，使得其中的未知數滿足方程組：
x+y=3600
8060yx
=50 試試看，比比誰做得更好！
第七環節課堂小結
通過本節課的學習你有什么收獲？
1.關于數字問題的應用題，一般情況下要設間接未知數（設各個數位上的數字），用這些未知數表示相關數量，再根據等量關系列方程(組)。
2.對較復雜的實際問題可以通過列表格的方法理清題中的未知量，已知量之間的數，以便根據等量關系列方程（組）。
3.解有關行程問題的應用題時，要注意分類討論的數學思想。 4.用二元一次方程組解決實際問題的一般步驟：
①審清題意；②找出等量關系；③設未知數x,y；④列出二元一次方程組； ⑤解方程組；⑥檢驗；⑦作答。
第八環節課后作業
A組：
1）小亮和小明做加法游戲，小明在第一個加數的后面多寫一個0，所得和是242；小亮在另 一個加數的后面多寫一個0，所得和是341，求原來的兩個加數分別是多少?
2）甲、乙兩人相距42km，如果兩人從兩地相向而行，2小時后相遇，如果二人同時從兩地出發， 同向而行，14小時后乙追上甲，求二人的速度。
3）汽車在上坡時速度為28km/h，下坡時速度42km/h，從甲地到乙地用了4小時30分，返回時用了4小時40分，從甲地到乙地上、下坡路各是多少千米？
B組：
1）一個兩位數，減去它的各位數字之和的3倍，結果是23；這個兩位數除以它的各位數字之和，商是5，余數是1.這個兩位數是多少？
2）A、B兩地相距36千米，甲從A地步行到B地，乙從B地步行到A地，兩人同時相向出發，4小時后兩人相遇，6小時后，甲剩余的路程是乙剩余路程的2倍，求二人的速度？
3）兒子問父親今年多大，父親笑著對兒子說：“我像你這么大時，你才1歲；當你像我這么大時，我已經 67歲了！”你知道父子倆今年各多少歲嗎？你有幾種解決問題的方法？
視頻來源：優質課網 www.jjlqy.cn
