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視頻標簽：勾股定理的應用,立體圖形中的,最短路程問題
所屬欄目：初中數學優質課視頻
視頻課題：人教版初中數學八年級下冊勾股定理的應用-立體圖形中的最短路程問題-黑龍江
教學設計、課堂實錄及教案：人教版初中數學八年級下冊勾股定理的應用-立體圖形中的最短路程問題-黑龍江 - 牡丹江
勾股定理的應用
----------立體圖形中的最短路程問題
一、內容和內容解析
1、 內容
利用勾股定理解決立體圖形中兩點的最短路程問題.
2、 內容解析
勾股定理的應用特別廣泛，而利用勾股定理來解決立體圖形中兩點的最短路程問題是本章中常常遇到的一種類型題.這類問題可以通過將立體圖形展開，轉化為平面圖形，進而利用“線段公理”和“勾股定理”來解決問題. 本節課的探究是從研究現實生活中人們常常喜歡走“捷徑”這樣一個平面問題展開的，進而引導學生探究兩點沿“曲面”和“折面”的最短路程的解法，探究的過程要體現從“特殊到一般”的研究方法，同時讓學生感受“轉化與化歸”的數學思想在解決實際問題中的重要作用. 基于以上分析，可以確定本節課的教學重點是：探究立體圖形展開為平面圖形的方法，并學會利用線段公理和勾股定理求出最短路程.
二、 目標和目標解析
1、 目標
（1）經歷立體圖形轉化為平面圖形的探究過程，理解立體圖形和平面圖形是可以相互轉化的, 感受從特殊到一般的研究方法，培養學生的動手能力和空間想象能力，使學生能夠實現從感性認識到理性認識的飛躍. (2)學會利用“線段公理”和“勾股定理”找到并求出立體圖形中兩點的最短路程，明確“轉化與化歸”的數學思想是我們解決此類問題的基本思想方法.
2、目標解析
目標（1）要求學生動手實踐，利用長方形紙片圍成圓柱的側面，探究兩點在“曲
面”上的最短路程的解法，進而總結出等距離繞圓柱n周的規律方法；對于兩點沿“折面”的最短路程，先從特殊的長方體-------正方體入手，研究它的各種展開情況，再順勢研究一般的長方體的展開情況，培養學生的空間想象能力,讓學生感受從特殊到一般的研究問題的方法，理解立體圖形和平面圖形是可以相互轉化的。
目標（2）要求學生在前面展開圖的基礎上找到兩點之間的最短路程，并能夠構造
直角三角形，利用勾股定理計算出最短路程，體會解決此類問題的方法.
三、教學問題診斷分析
在初一上學期學生已經學過線段公理，知道在平面內，可以利用“兩點之間，線段最短”來找到兩點之間的最短路程，進而求出這兩點的最短距離。但是如果兩個點沿著同一曲面或沿著不同折面的最短路程的求法，就涉及到在空間中立體圖形的一個平面展開問題.然而，由于初二學生只學習了簡單的平面圖形，對于立體圖形受知識結構和認知能力的限制，空間想象能力比較差，所以解決這一問題就有較大的難度。因此，教師在授課過程中要引導學生親自動手實踐，提升感性認識，理解立體圖形和平面圖形相互轉化的過程，進而解決兩點沿“曲面”和“折面”的最短路程問題。
基于以上分析，本節課的教學難點是：怎樣引導學生學會將立體圖形展開為平面圖形，
2
確定兩點沿“曲面”和“折面”的最短路程。
四、 教學支持條件分析
1、 師生利用自制教具----圓柱、正方體、長方體、圓錐等，親身感受立體圖形和平面
圖形相互轉化的過程，提升了空間想象能力，為學生從感性認識上升到理性認識奠定了基礎；
2、借助多媒體課件，動態演示圓柱體，正方體和長方體的平面展開過程，進一步驗證將立體圖形展開為平面圖形的方法，使學生實現了從感性認識到理性認識的飛躍.
五、教學過程設計
1、回顧舊知，引發思考
引言：前面我們學習了勾股定理的有關知識，今天我們就利用勾股定理解決一類實際問題-----立體圖形中的最短路程問題. 讓我們先來看一個簡單的問題.
有一個長方形花圃,有人避開拐角在花園內走出了一條小路.問: 這么走的理論依據
是什么?他們僅僅少走了多少步?(假設2步為1米)
師生活動：教師利用課件展示實際問題，并抽象出幾何模型，引導學生回答問題。學生通過分析回答問題，并說明其理論依據。
追問：在平面內，兩點之間的最短距離就是連接兩點的線段長度.若兩點在曲面或折面上，那么這兩點沿曲面和折面的最短路程又應該如何求呢？
設計意圖：借助多媒體課件展示生活中一個常見的走“捷徑”問題，使學生回憶起初一學習過的“線段公理”，并利用“勾股定理”計算出最短路程，為后面求立體圖形中兩點間的最短路程奠定基礎. 隨后的追問，目的是引導學生進一步深入思考，激發學生的求知欲和好奇心.
2、 層層遞進，探究新知
活動一:
如圖有一個圓柱,底面周長是18米,高為12米.在它的下底面A點有一只螞蟻，它想吃到上底面上與A點相對的B點處的食物，繞圓柱側面爬行的最短路程是多少？
師生活動：多媒體展示問題. 教師首先啟發學生動手利用長方形紙片圍成圓柱體，觀察圓柱的側面是曲面而不是平面，并強調點A和點B在圓柱側面的具體位置，提問若螞蟻從點A沿圓柱側面到點B所走的最短路程如何求？學生回答將圓柱側面展開成平面圖形，再利用“線段公理”和“勾股定理”解決問題. 教師讓學生畫出平面展開圖，計算最短路程并展示. 教師再利用多媒體展示圓柱的側面展開過程，驗證學生的方法的正確性.
設計意圖：教師引導學生自制圓柱,并觀察圓柱的側面是曲面,目的是增強學生的感性認識，避免在空間直接連接點A和點B的這種“空中飛人”的情況出現.學生親身經歷動手畫圖計算并展示的過程，提高了學習的興趣.教師利用多媒體驗證學生的方法的正確性，進一步增強了學習的自信心. 變式一
如圖，若上述問題中點B在點A的正上方，螞蟻繞圓柱側面爬行的最短路程是多少？
師生活動：教師將上述問題變化，將點B改為在A點的正上方，求螞蟻依然繞圓柱側面爬行的最短路程.學生在解決上述問題的基礎上，畫出平面展開圖，計算出最短路程并展示.教師再利用多媒體驗證其正確性.
設計意圖：通過此問題，進一步加深學生對兩點沿“曲面”的最短路程的解決方法，依然需要將立體圖形展開為平面圖形再求解. 變式二
若B在點A的正上方，螞蟻繞圓柱側面等距爬行兩周，此時所走的最短路程是多少？等距爬行三周呢？n周呢？
師生活動：教師總結前面兩個問題:一個是螞蟻繞圓柱爬行半周，一個是螞蟻繞圓柱爬行一周，在此基礎上進一步引導學生，如何求螞蟻繞圓柱等距離爬行兩周或三周所走的最短路程?學生利用自制圓柱分組進行研究討論交流，畫出平面展開圖形，計算并展示.教師也利用自制教具和多媒體課件分別演示，驗證學生結果的正確性.
設計意圖：通過此問題，引導學生向縱深方向思考問題，學會質疑，并尋找解決問題的方法，提高學生自身分析解決問題的能力.
追問：若螞蟻繞圓柱等距離爬行n周，所走的最短路程又應該如何求？
師生活動：教師提出問題后，學生根據前面問題解決的方法，探究規律，回答出n周所走的最短路程.
設計意圖：拓展學生的思維，培養學生歸納總結的能力.
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練一練
如圖，有一個圓柱,底面周長是10厘米,高為14厘米.在距離下底面1厘米的A點有一只螞蟻，它想吃到距離上底面1厘米且與A點相對的B點處的食物，則沿圓柱側面爬行的最短路程是多少？
師生活動：教師利用多媒體課件展示問題，學生獨立思考，畫圖，計算并展示. 設計意圖：檢驗學生對前面所學知識的理解和掌握情況，學以致用.
3、發散思維，探究新知
活動二
如圖，已知正方體棱長為2厘米，有一只小蟲欲沿正方體表面從A點到其對面的Cˊ點覓食，所走的最短路程是多少？
師生活動：兩點沿“曲面”的最短路程可以通過展開成平面圖形去解決，那么兩點沿“折面”的最短路程又應該怎樣解決呢？教師利用多媒體展示正方體的幾何圖形，引導學生觀察點A和點C,
分別在正方體那些面上，然后師生利用自制教具探究從A點到C,
點沿正方體表面的不同展開方法.學生到黑板上畫出六種展開圖，并計算最短路程.教師引導學生觀察分析，得出結論.
設計意圖：通過探究特殊的長方體----正方體的平面展開方法，讓學生感受沿“折面”上的兩點最短路程的求法要先將“折面”展開成平面，才能計算出最短路程，提高學生的感性認識，明確解決這類問題的方法，為后面解決一般長方體表面兩點間的最短路程問題奠定基礎.
追問：若正方體的棱長為3cm時，點A到C，
的最短路程是多少？4cm時呢？acm時呢？ 設計意圖：通過層層質疑，引導學生發現規律，總結規律.
發現：若正方體的棱長為a，則沿正方體表面從點A到點Cˊ所走的最短路程是a5。
5
變式
如圖，有一個長方體，其長，寬，高分別為5厘米，4厘米和3厘米。若沿長方體表面從A到Cˊ,所走的最短路程是多少？
師生活動:在前面問題的基礎上，教師將正方體改為長方體，引導學生發現長方形的展開方法，鼓勵學生求出最短路程.學生獨立思考，分組討論交流，展示并講解.
設計意圖：通過對一般長方體的研究，進一步深入挖掘解決兩點沿“折面”的最短路程的方法，提升學生的理性認識，為后面發現總結規律奠定基礎.
追問:若長方體的棱長分別為1cm,2cm,3cm,此時點A到點C’
的最短路程是多少？棱長為6cm,7cm,12cm時呢？棱長為a,b,c（其中a>b>c）時呢？
設計意圖：通過幾組其他棱長的驗證，最終讓學生接受并總結出規律. 發現:
若長方體的長，寬，高分別為a厘米，b厘米和c厘米，且a>b>c,則沿長方體表面從點
A到點Cˊ所走的最短路程是2
2)(cba.
練一練
如圖，一個長方體盒子，其中AB=9，BC=6，BB′=5，在線段AB的三等分點（靠近A處）E處有一只螞蟻，在線段B＇C＇的中點F處有一粒米，則螞蟻沿長方體表面從點E爬行到米粒F處的最短距離是多少？
師生活動: 教師利用多媒體課件展示問題，學生獨立思考，畫圖，計算并展示不同方法. 設計意圖:檢驗學生對前面所學知識和規律的掌握情況.學生用多種方法解決問題，拓展學生的思維.
4、整理知識，優化結構
歸納總結
解決立體圖形中的最短路程問題的方法: (1)要將立體圖形轉化為平面圖形；
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