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視頻標簽：函數復習課,數學思想方法,數形結合
所屬欄目：初中數學優質課視頻
視頻課題：人教版初中數學九年級下冊第26章函數復習課-數學思想方法之數形結合-江西
教學設計、課堂實錄及教案：人教版初中數學九年級下冊第26章函數復習課-數學思想方法之數形結合- 江西省 - 南昌
函數復習課：
數學思想方法之數形結合
一、 教學設計意圖 《義務教育數學課程標準（2011版）》教學建議中說：數學教學應根據具體的教學內容，注意使學生在獲得間接經驗的同時也能夠有機會獲得直接經驗，即從學生實際出發，創設有助于學生自主學習的問題情境，引導學生通過實踐、思考、探索、交流等，獲得數學的基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗，促使學生主動地、富有個性地學習，不斷提高發現問題和提出問題的能力、分析問題的能力和解決問題的能力。所以在學習知識復習階段創設一節融數學知識、思想方法、提出問題、分析問題、解決問題于一體的課有其重要價值。而選擇良好的知識載體凸現數形結合的作用，又要具備一定思維價值，怎么選擇呢？回顧人教版的學生第一次接觸“數形結合”是在七年級下冊的《平面直角坐標系》，笛卡兒1坐標的引入讓代數和幾何連接起來，是代數和幾何相結合的理論基礎。之后隨之而學的函數則是這種數形結合的良好運用，所以選擇“函數”內容是最佳的選擇。
為了讓“數形結合”思想更融洽自然地體現，我們設置有效的問題串來形成學習過程。什么叫“有效”？激發學生思維、數形結合的意識自然滲透、自主選用。我們用遞進的問題串讓學生找到數形結合的抓手，即解決問題的落腳點。所以我們選擇了一條直線分別與直線、拋物線、雙曲線結合的圖形進行研究其中的形、數關系。
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坐標系的提出者是勒奈·笛卡爾, 他最主要的成果莫過于“幾何學”，準確的說是將代數和幾何連
接起來。當時，代數還比較新，在數學家的頭腦中，幾何學的思維仍占據一席之地。笛卡爾一直在思考，能不能把幾何學的問題用代數的形式表達出來，打破兩者之間的界限。
坐標系創立于1637年，笛卡爾當年創立坐標系還有一個故事。笛卡爾是在參軍時，剛剛到了一個陌生的地方，他輾轉反側，難以入睡，又開始思考幾何和代數的結合。然而，思緒一時半會理不清，笛卡爾無聊之際看到墻面上忙著爬行織網的蜘蛛，玩心大起，頓時有了興趣，仔細觀察了起來�？粗┲胗幸幝傻貦M豎交替地編織網格的時候，沉思中的笛卡爾靈機一動：蜘蛛運動的軌跡能不能這一條條的線來定位呢？蜘蛛所處的位置是不是也可以用線相交形成的點來確定呢？他仔細觀察兩面垂直的墻面以及天花板的交線，三平面是兩兩垂直的。他拿出筆來，仿照著畫出了三條相互垂直的直線，分別代表兩墻面的交線以及墻面和天花板的交線，在紙上描出一個點代表爬行于墻面的蜘蛛。蜘蛛這個點到三平面的距離自然是可以計算出來的，那么，這個點不就唯一確定了嗎？它的位置就能精確唯一地被表示出來了。笛卡爾欣喜若狂，他在日記里寫道：“第二天，我開始懂得這驚人發現的基本原理。”此時，他有了將代數和幾何相結合的理論基礎。隨后便一發不可收拾，根據這種數形結合思想，他創立了我們現在所謂的“解析幾何學”，在平面上，用一點到兩條固定直線的距離來描述點的位置；在空間中，就用一點到三個相互垂直平面的距離來精確定位點。此時，幾何問題不僅可以用代數形式表示，還可以用代數變換來實現其幾何性質。 解析幾何的出現，有著跨時代的意義。它改變了自從古希臘以來，幾何和代數分離的趨勢，將原本對立的兩個概念——數與形，完美地統一起來，讓幾何曲線和代數方程結合起來。這一天才的創新為微積分的創立奠定了基礎。笛卡爾的發明不僅為牛頓、萊布尼茲發現微積分開辟了道路，還開拓了變量數學的領域。為什么這么說呢？笛卡爾對點的定位從另一方面講是把曲線看成是點運動的軌跡，這一觀點建立了點和實數的對應，將形（點、線、面）和“數”統一起來，將變數引進到數學中，數學不再是由常量組成的，也囊括了時時改變的變量。恩格斯給出了高度評價：數學中的轉折點就是笛卡爾的變數，有了變數，運動才進入了數學，辯證法才進入了數學，微分和積分也就有了成立的基礎。
二、 學情分析
數形結合思想是一種抽象思維和形象思維的結合，學生在《反比例函數》章節止，已經多次經歷數形結合的學習過程。但學生是否在過去的學習過程中真正感悟到數形結合思想，并主動用這種思想方法解決問題是這節課要落實和滲透的。
三、 教學目標、重難點 教學目標：通過函數知識的復習讓學生進一步意識到代數和幾何的聯系，會用數形結合思想解決相關函數問題
教學重點：函數問題的讀圖能力及用數表達圖形的能力
教學難點：激發學生主動地把數轉化為形，形表述為數的能力 四、 教學過程設計 1.思考引入，整合知識
引入：同學們好，今天我們學習一節《函數》復習課。我們剛剛學完了反比例函數，之前學習了一次函數、二次函數，我們知道各種函數的學習基本分為這幾塊內容：函數及其圖象；函數與方程、不等式的聯系；函數的應用。我們已經具備了函數的基礎知識、基本技能，而今天這節課我們要復習的是函數學習中反映出的某些基本思想、基本活動經驗。（書寫課題：數學思想之 ）
師：同學們認為函數中最常用的數學思想是什么？
師：大家還記得進入初中學習后第一次接觸“數形結合”是在什么章節內容嗎？
師：人教版教材七年級下冊學習的《平面直角坐標系》中，笛卡爾坐標系的引入就是將代數和幾何連接起來，比如，用一對有序數對表示一個平面上的點，而點的橫、縱坐標分別代表點到兩條線段的長度，此時，數和形有效結合，幾何學的問題用代數的形式表達出來，打破兩者之間的界限。
師：我們在如下的問題串中體會這種思想。
2.體會數形結合，形成一定感悟
問題1：如圖，直線)0(kbkxy過點A(-1,2)和B（-2，0），
則xbkx2的解集為
（估計學情：學生可能用待定系數法求解函數，再解不等式；也可能直接看圖根據函數值的大小求解。）
師：什么方法最好？你為什么想到這種方法？ 師：如果對上題，去掉一個條件但不影響解題，你認為去掉什么？為什么可以去掉這個條件？ （教學重點：以上提問中，教師更強調的是為什么：知其然，然后知其所以然） 變式：
如果把上面的問題改為求xbkx20，它的的解集為 師：你怎么看待這個變化，與及怎么理解它的解題思路變化？
設計意圖：從學生的兩種解法（數、形）入手，通過合理的問題串，讓學生理解數形的結合
問題2：
如圖，已經一次函數)0(kbkxy與反比例函數x
y4
的圖象交于A、B兩點，且點A的橫坐標為2，點B的縱坐標為-4，當x滿足什么條件時，一次函數的值比反比例函數的值大？
師：在這道題中，你有什么發現或歸納要交流嗎？
變式：若點A的橫坐標與點B的縱坐標均為1，當x滿足什么條件時，一次函數的值比反比例函數的值大？
（估計學情：學生習慣有圖的題所以缺少嘗試，不去動手，或不能動手，也有可能圖形或答案錯誤）
師：我們剛才發現問題2中，圖形對解題有很大的作用，從圖形中可以感知數的關系。那么，請你試著先畫出示意圖再去尋找答案
師：說說自己的錯誤原因吧 師：數形結合，可以來源于已知的圖形給以的聯想，也可以是自己實踐過程中的嘗試和發現。
3.應用數學思想，解決數學問題 問題3：
如圖，已知拋物線xxy421和直線xy22.我們約定：當x任取一個值時，x對應的函數值分別為1y和2y，若21yy時，取1y和2y中的較小值M；若21yy時，由記21yyM.
①x>2時，2yM；
②當x<0時，M隨x的增大而增大；
③使得M大于4的值不存在;
④若M=2，則x=1。其中正確的說法是 . 師：對數形結合，你有什么體會呢？
4.小結與反思
1. 這節課的收獲與體會（學生談） 2. 數學文化之數形結合
我們為什么要培養學生的數形結合意識，數學家阿蒂亞（1929－）在《數學的統一性》一書中給出了答案。他認為幾何是數學中這樣的一部分，其中視覺思維占主導地位，而代數則是數學中有序思維占主導地位的部分。這種區分也許用另一對詞刻畫更好，即“洞察”對“嚴格”，兩者在真正的數學研究中都起著本質的作用。它們在教育中的意義也是清楚的。教學的目標應是培養學生發展這兩種思維模式，過分強調一種而損害另一種是錯誤的。所以在數學學習中，我們愿意看到幾何和代數在解題思想中的融匯。
“數形結合”一詞正式出現在華羅庚先生于1964年1月撰寫的《談談與蜂房結構有關的數學問題》的科普小冊子中，書中有一首小詩：“數與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛。數無形時少直覺，形少數時難入微。數形結合百般好，隔離分家萬事非；切莫忘，幾何代數統一體，永遠聯系，切莫分離！”體會華先生的小詩，我們去理解幾何與代數――“洞察”與“嚴格”間的和諧相處。比如，在函數教學中，數表示的是一種精確化研究，形則反應出對函數的一種直觀認識和整體把握。研究函數的性質，有數無形難以直觀把握函數整體，有形無數不能精確運算。在具體的實踐操作時，對數形結合的解讀體現為葉老師教學時提出的“讀圖象中的關鍵東西，如交點”其實就是在形中找數，把研究精確化；強調“自變量的
取值范圍”則是帶著數從形的角度直觀尋找，整體把握函數性質。
3. 談談數學思想
什么叫數學思想，通俗地說，數學思想就是將具體的數學知識都忘掉后剩下的東西。當學生完成學業進入社會后，若干年后他會忘記數學知識，但數學思想中的獲益卻可以是終生的�！读x務教育數學課程標準（2011版）》中基本數學思想主要是指數學抽象的思想、數學推理的思想、數學建模的思想。而“數形結合思想”就是從“數學抽象思想”派生出來的。 那么通過怎樣的數學素材、怎樣來培養學生的“數形結合”思想？教學時，老師要區別數學思想和數學方法這兩個概念。“數學思想”是觀念的、全面的、普遍的、深刻的、一般的、內在的、概括的。而“數學方法”往往是操作的、局部的、特殊的、表象的、具體的、程序的、技巧的。
師：剛才的題中我們都看到了“如圖”，可不可以認為圖形給了我們從形到數，從數到形的啟示呢？如果去掉“如圖”兩字，我們還會有數形結合的啟發嗎？因為課明有限，現在布置一道家作，請同學們課后去思考完成。
5.布置作業，課后拓展
家作：已知一次函數)0(kbkxy與反比例函數交于點A(1,3)及點B，當△AOB的面積為4時，求k的值.
設計意圖：從有圖的“如圖”到無圖的題目，學生會有數形結合的意識嗎？數形結合會對解決這類問題起到幫助嗎？
視頻來源：優質課網 www.jjlqy.cn
