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視頻標簽：圓
所屬欄目：初中數學優質課視頻
視頻課題：初中數學人教版九年級上冊第二十四章圓數學活動-北京市第一O一中學
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初中數學人教版九年級上冊第二十四章圓數學活動-北京市第一O一中學
1.指導思想與理論依據
總體設計思路包括四個部分：①嘗試理解數學教育家波利亞的名言；②嘗試將折紙活動貫穿幾何教學；③從數學實驗角度設計本課；④從整體把握的角度設計本課： 一. 用波利亞的名言指導折紙教學
“拿一個有意義又不復雜的題目，去幫助學生發掘問題的各個方面，使得通過這道題就好像通過一道門戶，把學生引入一個完整的領域.”——波利亞
其中，有意義是指，數學教學應引導學生通過實踐、思考、探索、交流等，獲得數學的基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗，促使學生主動地、富有個性地學習,不斷提高發現問題和提出問題的能力、分析問題和解決問題的能力（摘自新課標）”
不復雜是指：敘述簡潔，容易理解和入手，方法較多，不同層次學生都有收獲；
發掘問題的各個方面以及引入完整的領域是指：首先折紙有公理保證——是比歐式幾何擴大化的公理體系；其次折紙可以解決三次方程問題，由于優于能解決二次方程問題的尺規作圖，因此能實現尺規作圖不可能問題.
二. 嘗試把折紙活動貫穿整個幾何教學
1. 教材上幾乎在幾何的每一章節都有折紙、剪紙活動：如比較兩條線段大小，折黃金
分割點等，折紙活動都是學生喜聞樂見、寓教于樂的活動形式； 2. 此外，我也開發了一些折紙活動案例：如用矩形紙片折等腰三角形、折平行四邊形、
折矩形一邊的多種分點、折正方形一邊的三等分點等，其中《折紙中的幾何學》被選為北京市第六屆數學論壇的公開課；
3. 落實折紙活動：因為課堂時間有限，動手活動又要發揮作用，因此可以將折紙活動
（如：折線段的中點；動手操作折紙7公理）留作作業，第二節課展示三分鐘.
三. 數學實驗
1. 歐拉曾說過：“數學這門科學，需要觀察，還需要實驗”.
2. 《教育規劃綱要》明確指出，提高人才培養質量要著力提高學生的學習能力、實踐
能力、創新能力”.
3. 通過參加教研員劉忠新老師主持的市級規劃課題《基于創新能力培養的數學實驗教
學研究》，我進一步了解到通過數學實驗教學的特點——可以使高度抽象的數學學習內容生動化、具體化、可視化，可以讓學生體驗前人研究數學時發現問題和積累經驗的過程.
總之，數學實驗是數學教育教學的重要組成部分，是教學質量與教學改革工程的重要建設內容.我們教師在教學中應該不遺余力的創造機會，讓學生進行數學實驗.
四. 整體把握
2016年3月，我有幸參加了北京市教育學院舉辦的“協同創新”學校項目，在聽講座、上公開課過程中，感受整體把握的樂趣，整體把握突破初中數學教學的局限性，而從更連貫的觀點看待學科數學和教育數學之間的關系.
在數學學科本質的理解上，有縱向發展+橫向聯系的能力，并貫穿于教師的日常教學中. 整體把握主要包括：數學課程目標，數學課程的內容，數學思想方法，學生的學習.
2.教學背景分析
我將從學科背景、教材背景、學生背景三方面敘述：
一. 學科特點：
折圓形紙片是幾何的內容，我覺得應該先理解幾何這門學科的本質、發展歷程，以及核心素養等內容——事實上，數學家已經給我們答案：
1. 阿蒂亞在《數學的統一性》中概括說：在數學中，幾何是“視覺思維”占主導地位，而
代數則是“有序思維”占主導地位，這種區分也許可以用另一對詞刻畫，即“洞察”對“嚴格”，兩者在真正的數學研究中起著本質的作用.我們的目標是培養學生發展這兩種思維模式，過分強調一種而損害另一種是錯誤的.幾何并不只是數學的一個分支，而且是一種思維方式，他滲入數學的所有分支.
2. 幾何學的發展歷程：經驗幾何、歐式幾何、解析幾何、變換幾何、近現代幾何學.其
中經驗幾何是人們通過動手操作等手段獲得對幾何實物的簡單描述，每個人的發展和學科的發展應該是自相似的，經驗幾何與經驗數學也是許多數學學習的開始，也就是說不能改丟掉對動手操作等環節，教師也應該有這個意識，盡可能地創造條件給學生動手活動.
3. 核心素養：這次課程改革中提出的六大核心素養（數學抽象、邏輯推理、數學建模、
數學運算、直觀想象、數據分析六大核心素養.）本節課主要體現為“數學抽象、邏輯推理、數學建模與直觀想象等”.
二. 教材背景
教材上沒有現成的課，需要老師去整合、去挖掘，提供學生一個門戶，即動手操作，又能聯系所有的圖形，在學生已知、未知、想知之間建立聯系，開啟智慧之門.
三. 學生背景
我將從學生的知識儲備和能力儲備兩方面分析，以及學生對兩者的已知、未知、想知，以及怎么知之間的內容和聯系： 1. 知識方面：
(1) 已知：初三學生已知三角形、四邊形、其他正多邊形、圓的性質、判定；中心對稱、軸
對稱等變換的定義、作圖方法、性質等；在代數章節中也學過了拋物線、雙曲線等曲線型，更在學習過程中感受到橢圓和圓可能有著千絲萬縷的模糊認識； (2) 未知： ① 圓是橢圓的特例； ② 橢圓、雙曲線、拋物線都是圓錐曲線，不知道三者是有密切聯系的； ③ 學過的眾多圖形該如何分類；
(3) 怎么知：把握基本原則：特殊到一般、從已知到未知、從易到難等
① 如何發現圓和橢圓的關系？折出圓，之后折橢圓，再觀察橢圓和得到的圓之間的關系； ② 如何由橢圓想到雙曲線？運用“分類討論”——將點從圓內移到圓外，便可得到雙曲線； ③ 如何想到折出拋物線？能否將背景圖形進行分類——圓形紙片大膽改為矩形紙片？ ④ 如何想到其他折法？ ⑤ 如何將圖形分類？
2. 從能力上看
(1) 學生的優勢：①對核心素養中的“邏輯推理、數學運算”等掌握較好，②對圖形的性質、判
定掌握較好；
(2) 不足：①學生接觸過數學實驗（如剪紙折紙，制作模型等），但動手機會不多，動手能力
不足，②對數學抽象、數學建模的掌握不是很靈活，③對數學思想方法（如分類思想等）的體會還不夠深刻；
3.教學目標(含重、難點)
這個三維目標，分別對應學會、會學、樂學三個方面.關注過程性、學科本質和學科思想 一. 知識能力
1. 學生折紙得到一些常見圖形，掌握三角形、四邊形、圓等性質和判定； 2. 理解圓的多種對稱性的應用和美感；
3. 培養學生動手能力，了解數學實驗和理論證明之間的關系； 4. 理解分類的方法、了解研究的主要原則等； 二. 過程方法
對此，我解讀為兩部分，過程強調的是親歷，方法強調的不僅是學生掌握具體的技能，而且也包括教師進行的學法指導.應該是知識的學習，技能的訓練，情感的體驗，審美的陶冶，它們之間如影隨形，相互交織，融為一體.
1. 讓學生在動手折紙活動中感受圓的對稱之美、各種圖形的判定方法； 2. 在自由發言、小組討論中，鍛煉表達與合作等能力；
3. 教師適當進行學法指導：不僅有圖形的分類方法，也有折出圖形就是應用判定這樣的點
撥，更有對正確的數學觀的指導等. 三. 情感態度價值觀——要體現人文性！
最重要的是教師用自己健康的情感、人生態度與價值選擇去影響學生，通過身體力行的示范活動來，并創造有利于學習主體嘗試選擇、參與和體驗的機會，讓他們在這種嘗試的實踐行動中形成個性化的情感、態度與價值認知，形成個人的情感、態度與價值觀.
1. 經歷動手折紙的活動，培養學生既敢于嘗試，又嚴謹認真的科學態度；折紙充滿了探索
與發現，也有很多困難和考驗.經過努力，會有新的發現，并由此產生強烈的成就感，從而增強學生學習數學的興趣和自信心.
2. 通過折紙的方式解決幾何數學，可以讓學生掌握各種幾何圖形的特性，領悟幾何圖形中
存在的數學美，從而潛移默化地受到美的教育，培養學生的審美能力.
3. 折紙是一項細致的工作，需要按順序地進行，折紙能培養學生按步驟有順序地認真做事
的良好習慣.還可以培養學生的觀察力、注意力、持之以恒、一絲不茍的性格.
4. 折紙能鍛煉人的綜合協調能力，包括手、眼和大腦；提高動手操作能力.比如學習折紙需
要用眼睛看折疊的過程，并在看的同時要思考，理解為什么要這樣折；在折的時候，你要親自動手，其間遇到問題，還要仔細去想剛才別人是怎么疊的.這樣就可以使你開動腦筋、活躍思維，從而達到手、眼、腦三位一體的綜合協調.
四. 重難點分析： 1. 教學重點：
(1) 折圓形紙片得到一些常見的圖形；
(2) 明確折紙得到圖形之前要聯想到圖形的判定方法； (3) 逆向思維、分類思想的應用； 2. 教學難點：
(1) 引導學生將問題數學化，即明確“折紙得到某圖形，就是利用圖形的判定”； (2) 讓學生逐步理解并應用分類討論的思想；
(3) 讓學生感受研究問題的完整序列：發現問題→提出問題→分析問題→解決問題；以及培
養學生的發現問題的能力、創新精神的培養；. 教法、學法、教學手段
教法是指授課者運用哪些教學手段，采用什么樣的教學方法來完成教學內容的.學法是指授課教師在教學過程中教給學生學習的方法和策略.它的意義可以用教育家葉圣陶先生說的話來概括“嘗謂教師教各種學科，其最終目的在達到不復需教，而學生能自為研索，自求解決.”
簡言之，教和學既要適應一節課的內容，也要和諧統一，更要達到“教，是為了不教”——授人以魚不如授人以漁的效果. (1) 教法
① 為了體現數學實驗的實踐性，教學中讓學生獨立思考、充分操作、自由表達等； ② 又為了體現“整體把握”，教師采用討論法、演示法、講授法等； (2) 學法
① 為了體現數學實驗的實踐性，學生采取探究學習法、合作學習法等；
② 當學生思維有障礙時，教師適時“啟發式”問題教學法，在學生發現問題之處，適當點撥； (3) 教學手段：PPT、幾何畫板、磁力黑板、板書、圓形紙片等穿插使用.
4.教學過程與教學資源設計（可附教學流程圖）
【環節一】 問題引入
大家都聽說過“數學實驗吧”，比如《幾何原本》就記載過的尺規作圖、傳統的折紙、教學模型，以及現代的幾何畫板等都是.它是以動手實踐為主的數學學習方式，但在數學中，實踐還需要理論證明！
如人們嘗試，發現無法用尺規作出正十七邊形，便默認不行，直到高斯從理論上給出了能用尺規作圖的正多邊形的條件，才解決了困擾人類兩年多年來的難題.
[設計意圖]：通過圖形和例子等介紹數學實驗，目的一方面是讓學生直觀的了解數學實驗，另一方面是也是通過例子感受在數學中僅有實驗是不夠的，還需要有理論證明；最后也是給學生傳達嚴謹堅韌的科學態度.
這節課，我們就通過一個數學實驗，來感受一下數學實驗的樂趣，以及與證明的關系，希望由此開啟你的智慧之門.
【環節1】 問題引入
【環節2】 現場操作
【環節3】 探究操作
【環節4】 課堂小結
1、 以問題引入介紹數學實驗和理論證明的關系； 2、 拋出本節課的數學實驗，并提出理論證明的要求； 1、 操作，并展示學生折疊的成果； 2、 歸納圓的對稱性；
1、 指導學生將得到的圖形歸類，預測還能得到的圖形； 2、 探究折出某些圖形的新方法、探究其他曲線型圖形； 1、 從知識技能、思想方法、學習形式、心靈感悟等方面總結； 2、 布置作業.
題目：用圓形紙片折紙，看你能折出哪些常見的圖形？
【環節二】 現場操作
給學生時間折紙，之后讓學生自由展示得到的成果，并說明得到圖形的理由：
大部分學生能得到正方形、正八邊形、正三角形、正六邊形、等腰三角形等常見圖形，教師對好的方法鼓勵，同時對一些方法予以點評.
其中，重點分析正三角形、矩形、菱形的方法. 一. 【正三角形】
1 第一步，分析如何得到正三角形；
因為要用圓形紙片折紙，因此要回顧圓和正三角形之間的關系 ①問題一：三角形的內角是圓中的什么角？——圓周角；
②問題二：圓周角多少度？如何構造？——學生自然會想到120°，之后利用圓的軸對稱性，轉化為構造60°，再轉化為構造直角邊和斜邊的比為1:2的直角三角形，再轉化為構造半徑的一半；
2 第二步，給學生時間現場操作，并現場折紙得到正六邊形. 3 提問學生用到圓的什么性質：軸對稱性！
[設計意圖]：這個過程是先讓學生自由表達、展示得到的圖形，再帶領學生逆向分析，最后讓學生動手操作，目的是回應開篇提到的數學實驗和理論證明之間的關系，一定要思考，要有理論保證，并且給學生滲透逆向思維的用處.
二. 【矩形】對于矩形，可以分展示→分析→操作→總結四個步驟： 1. 展示：現場展示學生折紙的過程和結果；
方法一：如圖，學生利用圓的軸對稱性得到矩形，將A與O重合，得到折痕EF，同理得到折痕CD，順次連結E，C，D，F，便得到矩形.
教師及時贊揚學生的想法和操作能力，之后提問還有其他折法嗎？之后帶領學生分析矩形的定義和判定.
2. 分析：現場帶領學生分析折紙得到矩形的依據，引學生，他們將問題數學化：
定義和判定定理是我們構造圖形的依據！
矩形的定義：含有一個直角的平行四邊形是矩形； 矩形的判定定理：對角線相等的平行四邊形是矩形；
ML
A
OB
T
S
R
Q
M
L
AO
B
A
B
C
D
A
B
C
MLC
D
PA
OB
P
N
MLC
D
A
OB
矩形的判定定理：含有三個直角的四邊形是矩形；
[設計意圖]：學生的難點是不能利用圖形的判定方法得到圖形，或者無法建立之間的聯系——無論是折紙也好，還是尺規作圖也好，還是證明題目也好，得到一個圖形，都要利用定義和判定，讓學生再次明確數學實驗有時候還需要扎實的理論基礎作為保證；為接下來折紙得到菱形、梯形、圓等做好鋪墊. 3. 操作：
方法二：如圖，任意折出兩條直徑，順次連結直徑的端點，便可得到矩形. 4. 總結：
教師詢問學生，兩種方法分別利用了圓的什么性質？ 學生（預設）軸對稱性、中心對稱性；
三. 【菱形】類比矩形，研究菱形，可以按照分析→操作→總結三個步驟進行： 1. 分析：
(1) 先分析菱形的定義和判定，只是讓學生分析，在折紙當中，哪種方法最容易實現？
理由？——折紙活動容易得到直角，所以選擇“對角線互相垂直的平行四邊形是菱形”這個判定.
菱形的定義：鄰邊相等的平行四邊形是菱形；
菱形的判定1：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形； 菱形的判定2：四條邊相等的四邊形是菱形； (2) 分析能否在原有圖形基礎上得到菱形？ 2. 操作：兩次對折圓形紙片得到互相垂直的兩條直徑以及圓心O，再將圓形紙片折起使得A
與O重合，B與O重合，折痕與半徑OA，OB的交點分別為V，W，順次連接，則得到菱形.
3. 總結：①多種方法要優選！②在正方形基礎上得到菱形，用到什么數學思想？——轉化！
【環節三】 探究操作
按照歸類圖形→折某些直線型圖形→折曲線型圖形→某些圖形的其他方法四個步驟進行.
一. 指導學生將得到的圖形歸類，預測還能得到的圖形、以及其他方法；
第一步，帶領學生分析：已有→想有→如何有
(1) 已有：通過觀察黑板上的圖形發現已有：正方形、正八邊形、正三角形、正
六邊形、矩形、菱形、三角形等； (2) 想有：其他更為豐富的圖形；
(3) 如何有：教師點撥學法——雜亂無章，原因是之前沒有條理，因此我們可以將所得的圖形歸類，來推測還有哪些圖形沒有得到：
[設計意圖]①學法指導應該是教師占主導地位的，學生的思維有局限處，正是我們出手點撥之時！但是仍然是點到為止；②對于分類討論的思想的理解和應用，一直以來都是學生的難點，我們應該抓住任何一個教育的契機，讓學生體會，學習。
第二步，分類：
【問題1】教師提問學生，分類之后，你能發現什么問題？ 生（預設）：沒有折出來的圖形，直線型的有平行四邊形、梯形、正五邊形、正九邊形；曲線型圖形有圓、橢圓、拋物線、雙曲線；
【問題2】你們的感覺很敏銳，對于沒有折出來的圖形，你研究的順序是什么？ 生（預設）：先折平行四邊形、梯形；再嘗試折曲線型；
【教師總結】你們的感覺又是對的，這是按照由易到難的順序進行的；接下來，我們就來分析如何折紙得到平行四邊形，最后折紙得到；以上就是我們研究數學問題的完整序列：發現問題→提出問題→分析問題→解決問題：
[設計意圖]①傳達分類討論思想的應用和具體方法；②培養學生建立歸類、有序思維的習慣；③呈現給學生完整的研究問題的程序：發現問題→提出問題→分析問題→解決問題；其中，我們教師要做的不是完全放手，因為發現問題就是需要智慧，更需要方法，我們教師就要點撥方法，而且是點到為止，讓學生自己品嘗到發現問題的快樂，而且能掌握一些可行的方法，進而能在今后的數學學習過程中獨立的發現問題，培養創新能力.
二. 探究沒有折出來的直線型圖形
(1) 平行四邊形
類比菱形的折紙過程，可以按照分析→優選→操作→總結的順序進行： 第一步，分析——平行四邊形的判定：
第二步，優選——選出一個折紙最簡單的判定是什么？ 第三步，操作——獨立操作，之后展示交流；
第四步，總結——在矩形基礎上得到平行四邊形，用到什么思想方法？轉化. [設計意圖]
① 仍然是強調數學實驗和理論證明之間的關系——一定要有理論保證， ② 再次明確折紙得到圖形，就是利用圖形的判定，而且首先要明確判定， ③ 教師還要對學生進行學法的指導——即多種方法要優選，選出最簡單的折法
④ 其他的方法，待學生課下繼續探究，而不是都展示出來，仍然是希望通過這節課，
開啟學生的智慧之門。
⑤ 最后，再一次進行思想方法的滲透，教師補充提問：為了得到平行四邊形，我們借
助于矩形，利用矩形邊、角、對角線的性質，這其中用到了什么數學思想方法呢？——轉化！化難為易，化已知為未知. 對此，只給學生展示課程剛開始時候的尺規作圖作正五邊形的圖形，課堂上不講授，留作作業，鼓勵學生自己查資料，了解更多的折法，后動手折紙，目的是開啟學生的智慧之門.
三. 探究曲線型圖形
圓、橢圓、雙曲線、拋物線 (1) 折圓
首先，指導學生分析得到圓的方法——就是判定，根據圓的定義，到定點的距離等于定長的點的集合是圓，問題為定點在哪？定長又是多少？
[設計意圖]：再一次回到圖形的判定上，讓學生再次感受數學實驗和理論證明之間的關系，一定要有理論證明，而且兩者之間是相輔相成的；
經過分析圓的定義，定點容易找，但是定長如何找？發現圓的半徑是個定長，如何得到新的定長？由于折紙活動容易得到線段的中點、角的平分線；因此只要折出線段的中點就能找到定點，之后折出更多的折痕，即可.
之后引導學生說理：每一條折痕都是圓的弦，且弦心距是半徑的一半，即垂足到圓心的距離是定值，再畫與每一條折痕相切的曲線，本質上是畫出眾多的“垂足”，利用圓的定義“圓是到定點的距離等于定長的點的集合”，得到圓.
(2) 橢圓：
按照：分析→操作→聯系的順序進行： 第一、分析：
【問題1】你感覺橢圓和那個圖形關系比較密切？ 學生（預設）：圓；
【教師鼓勵】感覺完全正確，尤其幾何這門學科非常需要明銳的感覺——數學家阿蒂亞在《數學的統一性》中指出，幾何這門學科是視覺占主導地位的。
【問題2】你知道怎么分析得到橢圓了嗎？ 學生（預設）：先回顧得到新圓的過程，再發散思維吧； 【問題3】得到新圓的操作關鍵步驟是什么？
學生（預設）第一步、選了一個點——這個點是圓心，第二步、去折紙；
RS
DA
O
B
C
PFGED
C
B
M
A
O
O
O
【問題4】你覺得這兩個步驟哪個更能發散思維？怎么發散思維？ 學生（預設）第一個！嘗試取圓內不同于圓心的任意一個點； 【教師鼓勵】有時候，找到關鍵，才能水到渠成！ 第二、操作
在圓內找到不同于圓心的任意一點，仍然去折紙，使得圓周經過這個點，得到很多折痕，再畫一條光滑的曲線，與這些折痕都相切，便得到橢圓。
第三、聯系
【問題5】動手折紙得到了橢圓，你能說說它和圓的聯系嗎？ 學生（預設）：圓是特殊的橢圓。 [設計意圖]：
(1) 培養學生發散思維能力，只有從已知向未知探索，才有思維的提升，能力的進步，更能
落實核心素養中的直觀想象等等；
(2) 將學生未知、隱隱約約知道的橢圓和圓的聯系，通過這個折紙活動充分感受并表達出來； (3) 為進一步讓學生感受分類思想的應用，為接下來進一步將點的位置分類，而產生雙曲線
做好鋪墊；
(3) 折雙曲線
按照：分析→操作→聯系的順序進行：
【問題1】回顧得到橢圓的過程，你還想進行哪些操作？ 學生（預設）這個點選在圓外！
【教師鼓勵】大家利用了分類的思想，進而提升了思維能力和洞察能力； 【教師引導】時間關系，我們通過幾何畫板演示一下； 【問題2】請你猜測這條曲線是雙曲線還是拋物線？
無論學生回答什么，教師都讓學生課下查閱資料，了解橢圓和雙曲線還是拋物線關系密切？密切的關系是什么？
(4) 拋物線：對于初中階段常見的拋物線，則可以利用矩形紙片折紙，近似得到，
仍然利用軸對稱和高中拋物線的定義.
四. 探究折出某些圖形的新方法
【問題】教師提問學生：請大家思考，對于有些已經達到的圖形是否還有其他方法？
(1) 正六邊形
我們按照尺規作圖的步驟可以得到正五邊形，這給我們一個很好的思路；
【問題】參考尺規作圖的方法可以得到正多邊形，你能得到常見的正多邊形嗎？ 學生（預設）：會想到正六邊形的尺規作圖方法，如圖，以B為圓心以OB為半徑作圓與圓O相交于C，D，同理得到E，F，順次連接可證明得到正六邊形.
N
M
O
F
P
N
M
O
F
P
NM
F
P
NM
F
P
【問題】正六邊形的尺規作圖方法中“相等的半徑”能給你一些啟示么？ 學生（預設）：利用兩個等圓的紙片得到正六邊形，如圖.
(2) 圓
【問題】對于圓，我們利用圓的定義——到定點的距離等于定長的點組成的圖形叫做圓，還有其他方法類似得到圓嗎？
學生預設：絕大部分人會默不作聲；
【問題】請大家回憶一下折矩形、菱形、平行四邊形的過程是什么？ 學生（預設）：先分析定義和判定定理，之后選擇最容易操作的，之后折圖形； 教師贊揚同學們有良好的學習品質；
【問題】那我們回憶學過的圓有哪些判定？
學生預設：絕大多數人默不作聲，少數人會發現圓沒有別的判定； 教師引導：那么，我們先來梳理一下與圓有關的內容：
圓的定義圓的概念圓的弧、弦(直徑)、有關的角、弓形等圓的軸對稱性：垂徑定理及推論圓的性質圓的旋轉對稱性：圓心角定理圓周角定理及推論圓點與圓
直線與圓圓與其他圖形圓與圓正多邊形與圓橢圓與圓與圓有關的計算 【問題】通過上述梳理，你能發現什么問題？ 學生（預設）：圓沒有其他判定；
【問題】若想得到圓就需要利用圓與其他圖形的關系，并且只能近似得到，用哪個呢？ 學生（預設）：正多邊形與圓；
【問題】在上幾節課中，我們了解到當正多邊形的邊越來越多時，正多邊形就越來越接近圓——這正是劉徽割圓術的思想；因此為了得到圓，我們可以在圓中折出一個什么？
學生（預設）：正多邊形；
提問有思路的學生來回答：不斷的將圓對折，對折，再對折，得到扇形，再將從扇形中折出一個等腰三角形，打開，得到一個正多邊形，對折4次，得到正十六邊形，如圖；如果你用更薄的紙，也最多能折12次（這是吉尼斯世界紀錄，因為指數的增長是非常可怕的，對折12次之后總共的厚度為原來的2的12次方=4096，一張普通紙厚度0.065mm，12次之后得到266mm），實踐得不到圓，只能依靠我們的思維來證明！
【問題】想象一下，你的圓形紙片是平面的一部分，沒有厚度，因此你便能折無限多次，此時，你的正多邊形和圓有什么關系？
學生（預設）：無限接近于圓； 【問題】你用到了什么思想？ 學生（預設）：極限思想.
[設計意圖]
① 通常利用定義、判定來作為依據得到圖形是這節課學生經歷的、并且能夠理解的部分，再一次重復這個過程，有利于學生真正理解和形成方法；
② 讓學生再次經歷一個完整的研究問題的過程：即經過梳理圓的內容，發現圓只有定義，而沒有其他的判定，怎么辦呢？—這就需要找到與圓非常接近的圖形——正多邊形，再一次帶領學生發現問題→提出問題→分析問題→解決問題；教師指明方向，學生一步步推理，正是“享受思維活動帶來的快樂”的具體體現，也應是我們教師在數學教學中從始至終、不遺余力進行的.
③ 此外，在折紙課程中，教師也應該介紹折紙的一些基本事實、基本原理，不僅開闊學生眼界，而且明確基本規則.
【環節四】 課堂小結
如何總結一節課的收獲呢？通常從以下幾方面歸納： 1. 知識技能：
① 從整體上看，圓有哪些性質：軸對稱性、旋轉對稱性、中心對稱性； ② 具體體現：垂徑定理、圓心角定理、圓周角定理 ③ 圓和其他圖形的關系
U
O
M
NO
MNO
M
NO
MNO
M
NO
M
NO
M
點和圓：研究位置關系與數量關系的等價關系 直線和圓 圓和圓
正多邊形和圓 橢圓和圓
④ 特殊三角形、四邊形的定義、性質、判定是我們得到具體圖形的依據. 2. 思想方法：是數學的靈魂與精髓；
在得到一些圖形之后，我們自然想到將圖形歸類，用到什么思想？——分類討論 借助矩形得到平四，借助正方形得到菱形，這是什么思想——轉化. 在圓中折紙得到圓用到了什么思想——極限思想. 3. 學習形式
大家感覺很有趣很過癮吧，因為是進行了折紙這種數學實驗，那么你能敘述數學實驗的特點？
直觀，操作性強，有趣，
和理論證明的關系呢？相輔相成，但需要理論證明. 4. 心靈感受
先讓學生說，之后教師再表達自己的感受：
事實上，數學并不高冷，它很溫情；一方面前人智慧的光芒在照耀我們學習之路，另一方面我們也該有一些自然情懷、人文思考.比如折圓形紙片過程中能出現直線型也能出現曲線型，曲與直相互伴隨，我們借助圓定義多邊形的諸多概念，相反又用多邊形研究圓周率，這說明兩者是相互轉化；
另外圓是流動的，多邊形是穩固的，又讓我想到中國古人“天圓地方”的說法，它不僅僅指圖形（如天壇圖），而是說為人處世的態度，外在要靈活而寬廣，要內心穩定而強大，某飲料的包裝上 “心靜如水，志剛如磐”（如圖）也揭示同樣的道理.
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5. 迷惑、探究、查閱之處：
6. 布置作業：
(1) 將平面圖形分類，用多種方法折圓形紙片得到常見的封閉圖形；
(2) 寫一寫你這節課的感受、迷惑、繼續探究的成果、查閱到的資料內容等；
[設計意圖]
① 帶領學生梳理一節課的收獲，也是一種具體而有效的學法指導，而不能籠統的問學生“你學到了什么？”，因為學生對收獲認識是不系統的，甚至是模糊的，所以教師應該時刻有意識給學生滲透分類討論的意識，點撥學生分類的方法，總結時尤為重要； ② 為什么要讓學生總結“心靈感受”呢？第一，最為重要的是讓學生從人文思考的角度、表達感受到的數學美感（動靜之美，方圓對比之美等）、數學神奇（之曲相伴，互化；圖形之間的蘊含、轉化等）；第二，教師傳達正確的數學觀的機會、跟學生親密交流的機會，排除對數學恐懼心理的機會；第三，讓學生自我表達和展示的機會；
③ 為什么要聯系劉徽、高斯？也就是為什么要滲透數學史？以及以什么樣的姿態滲透數學史——第一，用大師們的故事激勵學生們前行，第二，更重要的是，讓學生感受到真實的歷史中，人類遇到過什么問題，如何解決的，付出了哪些努力……并思考哪些內容和方法是有價值的，了解了這些，相信學生會慢慢感受到數學波瀾壯闊的宏大與美！更能感受到穿越時空的那種與大師們的對話，懷著這樣一種崇拜、親切的情感再回頭學習中學數學，可能會有一種別樣的結果.
④ 課后的探索、查閱環節會將本節課的內容向更廣闊的空間延續：一方面，學生可依照一定的體系，甚至僅憑自己的興趣獲取不同層面的感受——可能是結論在發現的興奮，可能是問題再解決的愉悅，還可能是新思想的萌動和心悸等等；另一方面，也期望像數學教育家波利亞所說的那樣“一個不難但有趣的問題會開啟學習之門.”
5.學習效果評價設計
一、 課堂上后半段學生的學習情況
1. 由于學生存在的難點（學生背景分析），因此課堂前半段學生還沒有很好的融入課堂，或者說反映不是很熱烈，甚至還處于一種發蒙的狀態——①不知道折紙得到圖形就是利用圖形的判定，②不知道如何分類，③不知道如何預測新的圖形，④不知道如何發現問題„„ 2. 但是經過課中兩個做法①分析圖形的判定，優選方法，之后再折矩形、菱形，②“梳理封閉圖形”的環節之后，更多的同學開始有思路，有方法，有創新了，如：①平行四邊形、圓的折法比較順暢，②較為順利的進行圓這一章內容的梳理，③從圓到橢圓，在稍微提示下，有同學就能想到，④對點的位置的分類也比較明確； 二、 課后作業的檢查
由于學生認知水平、理解力、學習力等能力的不同，學習效果也是千差萬別的，我不奢望學生在課堂上都能聽懂，那也是癡心妄想。但通過課后的思考、沉淀，相信更多的同學能力理解本節課的特色與要求；
6.教學設計特色說明與教學反思
一、 教學設計特色說明
1. 數學實驗——思行結合：①整體介紹數學實驗的特色、形式，②讓學生幾乎一節課都在
手、腦、眼三者統一運作；
2. 整體把握——橫向聯系，縱向發展：①橫向方面，通過圓形紙片折紙，串起了平面內常
見的直線型、曲線型圖形；②縱向方面，聯系了小學折紙活動，以及滲透了高中圓錐曲線的內容，其中圓、橢圓、雙曲線的在折紙中的關聯還是比較巧妙和具有數學奇異美的；
3. 數學課堂上培養學生整體研究問題的能力：不止一次讓學生經歷發現問題→提出問題→分析問題→解決問題的過程，實實在在培養學生的創新能力，提高學生的思維水平； 4. 針對學生的薄弱之處，不斷強化，又給出具體的方法指導：比如對于分類思想的滲透，
多次指導分類的方法：第一次分類出現在梳理封閉圖形，第二次出現在圓的內容的梳理上，第三次出現在點的分類，圓內和圓外；第四次出現在最后的課堂小結上„„
5. 滲透數學史、人文思考、數學美學教育：教師將自己的所學、所感，以較為自然的方式
呈現給學生，同時也接收到了學生的感受，看到了學生的進步——可以說是一次受教育者和教育者共同提高的過程。 二、 教學反思
“我聽見了就忘記了，我看見了就記住了，我做過了就理解了.”——華盛頓兒童博物館 （一）. 受到鼓勵，繼續保持
1. 將要繼續踐行數學實驗在初中教學中的應用；
2. 繼續理解和學習整體把握中學數學課程的理念和做法； 3. 繼續整合教材，開發這類課程； （二）. 不足
1. 對學生的了解還應該更深入細致； 2. 有口頭語、應該再精煉語言；
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