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視頻標簽：用列舉法,求概率
所屬欄目：初中數學優質課視頻
視頻課題：人教版初中數學九年級上冊25.2 用列舉法求概率（第1課時）天津市優課
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人教版初中數學九年級上冊25.2 用列舉法求概率（第1課時）天津市級優課
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一、內容和內容解析 1. 內容
用列舉法（列表法）求簡單隨機事件的概率. 2. 內容解析
在一次試驗中，如果可能出現的結果只有有限個，并且各種結果出現的可能性相等，那么我們就可以通過列舉實驗結果的方法，利用概率的公式，求出隨機事件的概率.當每次試驗分兩步或涉及到兩個因素時，可以直接列舉，但為了更清晰、不重不漏的列舉出所有的試驗結果，教科書給出了以表格形式呈現的列舉法，即列表法.這種方法適合列舉兩步試驗或每次試驗涉及兩個要素，且每個要素的取值個數較多的情形.
相對于直接列舉，用表格列舉體現了分步分析對思考較復雜問題時所起到的作用.將試驗所涉及的一個因素所有可能的結果寫在表頭的橫行中，另一個因素所有可能的結果寫在表頭的豎行中，就形成了不重不漏地列舉出這兩個因素所有可能結果的表格.這種分步分析問題的方法，將在下節課樹狀圖法和高中分步乘法計數原理的學習中進一步運用.另外，通過求概率，學生將進一步體會概率的意義，逐步培養隨機觀念.
基于以上分析，確定本節課的教學重點是：用列表法求簡單隨機事件（兩步或兩個因素）的概率.
二、目標和目標解析 1. 目標
（1）用列舉法（列表法）求簡單隨機事件的概率，進一步培養隨機思想. （2）感受分步分析對思考較復雜問題時起到的作用. 2. 目標解析
目標（1）要求學生知道，對于結果有限且每個結果等可能的隨機事件，可以用列舉法求概率；當每次試驗涉及兩步或兩個因素時，學生可以選用列表格的方法將試驗所有結果不重不漏的列舉出來.學生能夠利用列表法正確計算簡單隨機事件的概率，介個具體問題進一步體會概率是如何定量地刻畫隨機事件發生可能性大小的.
目標（2）要求學生在探索、歸納列表法的過程中，學生在問題的引導下思考如何才能將涉及的兩個因素試驗的所有可能的結果不重不漏的列舉出來，體會“分步”策略對解決復雜問題所起到的重要作用.
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三、教學問題診斷分析
學生已經理解了列舉法求概率的含義，但對于涉及兩個因素的試驗，如何不重不漏地列舉出試驗的所有可能的結果，如何設計出一個辦法解決這個較復雜的問題，“分步”分析起到了重要的作用.
學生容易出現的問題是，沒有真正理解列表法的含義，雖然能夠通過模仿解決一些簡單問題，但是無法靈活地使用列表法解決問題.
綜上所述，本節課的難點是：如何使用列表法. 四、教學過程設計 1. 單元導入，明確目標
以知識樹的形式展示本章知識結構，突出體現本節課內容在本章中的地位，明確本節課的學習目標和學習重點.
師生活動：教師大屏幕展示本章的知識樹，說明本課的學習內容、學習目標和學習重點.學生通過觀看，了解本課要達成的目標和學習重點.
設計意圖：以知識樹的形式展示本章的知識點，幫學生了解所學內容在整章中的地位，逐步建構知識體系.展示學習目標和學習重點讓學生了解本節課要達到的目標及重點內容.
2. 復習提問，夯實基礎
（1）甲、乙、丙三人抽簽確定一人參加某項活動后，乙被抽中的概率是 . （2）一個布袋中有4個紅球和8個白球，除顏色外完全相同，那么從布袋中隨機摸1個球是紅球的概率是 .
（3）擲一個質地均勻的骰子，觀察向上的一面的點數，則點數小于7的概率是 . 教師追問：你是如何求出上述問題的概率的？
隨機事件 列表法
畫樹狀圖法
隨機事件與概率
用頻率估計概率
用列舉法求概率 確定性事件 概率定義
第
二十五章 概率初步
3
師生活動：學生搶答說出答案并闡明理由.教師關注學生回答的情況和存在的問題. 設計意圖：復習求簡單事件的概率，以及概率的古典定義P（A）＝
n
m. 3. 問題引領，探究新知
例1 同時向空中拋擲兩枚質地均勻的硬幣，求下列事件的概率： （1） 兩枚硬幣全部正面向上； （2） 兩枚硬幣全部反面向上；
（3） 一枚硬幣正面向上、一枚硬幣反面向上.
問題1 在這個試驗中，所有可能出現的結果有多少種？
師生活動：學生先獨立思考，再交流，最后請同學發表意見.有的學生認為所有可能的結果有3種，即“正正，反反，一正一反”，所以三個問題的概率都是3
1.而有的同學認為所有可
能的結果應為4種，“一正一反”應包括“正反”、“反正”兩種情況.老師在聽完學生的分析后加以補充并強調，要想準確的求出每個事件的概率，一定要不重不漏的列舉出試驗中所有可能出現的結果，并且確保每種結果出現的可能性大小相等，這種方法就是用列舉法求概率.
設計意圖：明確用列舉法求概率的方法和條件，即“試驗的結果只有有限種，且各種結果出現的可能性大小相等”，強調做題時，一定要列舉出所有可能出現的結果.
問題2 怎樣才能不重不漏的列舉出試驗所有可能出現的結果，并保證各種結果出現的可能性相同？
師生活動：學生獨立思考，發表意見.教師引導學生設計多種方法列舉出所有可能出現的結果.教師使用電子白板演示，引導學生把兩個硬幣看成兩個要素（可分別記做甲、乙），每一枚硬幣都有兩種情況，即正、反，于是可以直接列舉得到“（甲正，乙正）、（甲正，乙反）、（甲反，乙正）、（甲反，乙反）”四種等可能的結果，從而求得概率.
設計意圖：鼓勵學生思考、討論、分析，從兩個元素的角度考慮，列舉出同時投擲兩枚硬幣所產生的所有結果. 電子白板的使用，可以讓學生直觀的把所有結果都列舉出來，便于師生交互.
教師追問1：“同時拋擲兩枚質地均勻的硬幣”與“先后兩次拋擲一枚質地均勻的硬幣”這兩種試驗的所有可能結果一樣嗎？
師生活動：學生討論，派代表回答，教師適當引導并小結，當試驗涉及兩個因素時，可以“分步”對問題進行分析.
設計意圖：鞏固“分步”分析問題的意識.
教師追問2：能否設計出一種方式，將“分步”分析的所有結果更清晰地列舉出來？ 師生活動：師生交流，可以設計出如下的表格，將“分步”思考的結果表示出來，從而列舉出所有等可能的結果.
第2枚 第1枚
正 反 正 正正 反正 反
正反
反反
教師追問3：設計表格時，表頭的橫行、豎列分別表示什么？每個格表示什么？ 師生活動：由學生討論、回答，并請代表到大屏幕前，利用電子白板的拖動功能，將相應的內容拖動到表格內，教師根據情況補充.教師指出這種用表格列舉的方法叫列表法.
設計意圖：利用這道簡單的例題，通過設計問題啟發思考，讓學生感受“分步”分析對思考復雜問題時起到的作用，學生探索、討論，教師引導，共同歸納出列表法，感受到用表格更有利于不重不漏、清晰地列舉出所有可能的結果，更有說服力.
例2 同時擲兩枚質地均勻的骰子，計算下列事件的概率： （1） 兩枚骰子的點數相同； （2） 兩枚骰子的點數和是9； （3） 至少有一枚骰子的點數為2.
問題3 在這個試驗中，共涉及幾個因素？所有可能出現的結果有多少種？能否直接列舉出試驗所有可能的結果.
師生活動：由學生討論、回答問題.學生可以分析出本試驗包括兩個因素，即骰子1和骰子2.但是每一枚骰子的點數都有6種可能的情況，因此試驗的結果數要有很多，直接列舉比較麻煩，教師適時引導學生利用剛才的列表法.
設計意圖：讓學生體會列表法在列舉包含兩個因素的試驗時的優勢. 教師追問1：該如何列表，表頭的橫行和豎行各表示什么？
師生活動：學生討論、回答，教師引導學生列出表格，并派代表到大屏幕前把表格填寫完整.教師提醒學生注意，每一枚骰子作為橫行或者豎列都可以.
5
第1枚 第2枚
1 2 3 4 5 6 1 （1，1） （2，1） （3，1） （4，1） （5，1） （6，1） 2 （1，2） （2，2） （3，2） （4，2） （5，2） （6，2） 3 （1，3） （2，3） （3，3） （4，3） （5，3） （6，3） 4 （1，4） （2，4） （3，4） （4，4） （5，4） （6，4） 5 （1，5） （2，5） （3，5） （4，5） （5，5） （6，5） 6
（1，6）
（2，6）
（3，6）
（4，6）
（5，6）
（6，6）
這個表格可以清楚的并且不重不漏的列舉出所有可能出現的36種結果，這些結果發生的可能性相同.
教師追問2：如何計算上述三個事件的概率？
師生活動：學生從表格中尋找出每個事件所包含的結果，利用概率的公式P（A）＝n
m
，計算出每個事件發生的概率，教師強調解題的格式.
設計意圖：明確用列表法求概率的方法和步驟，強調解題格式.
教師追問3：如果把例題2中的“同時擲兩枚質地均勻的骰子”改為“把一枚質地均勻的骰子擲兩次”得到的結果有變化嗎？
師生活動：學生們分析討論得到，“分步”操作和兩個因素的試驗所有可能的結果是相同的，因此這樣的改動對結果沒有影響.教師小結，當試驗涉及兩個因素時，可以“分步”對問題進行分析.
設計意圖：體會“分步”分析問題的方法，培養“分步”意識. 4. 應用新知，解決問題
練習 一個不透明的口袋中有四個完全相同的小球，把他們分別標號為1，2，3，4.隨機摸取一個小球然后放回，再隨機摸出一個小球，求下列事件的概率；
（1） 兩次取出的小球的標號相同； （2） 兩次取出的小球標號的和等于4.
師生活動：學生獨立完成，小組內互評，如有問題教師個別指導.
變式1一個不透明的口袋中有四個完全相同的小球，把他們分別標號為1，2，3，4.隨機摸取一個小球不放回，再隨機摸出一個小球，求下列事件的概率；
6
（1） 兩次取出的小球標號的和等于4.
師生活動：教師引導學生注意“不放回”這一條件，學生分析這種情況下所有可能的結果.教師提問，如何使用列表法列舉所有可能的結果？教師使用電子白板進行演示.
設計意圖：通過練習鞏固用列表法求概率.變式訓練讓學生體會用列表法解決“分步”試驗（不放回）的問題，提高解題能力.
5.歸納小結，反思提升
（1）用列舉法求概率應該注意哪些問題？
（2）列表法適用于解決哪類概率求解問題？使用列表法有哪些注意事項？ （3）你還獲得了哪些解題經驗？
師生活動：教師和學生一起回顧本節課的主要內容、主要思想方法以及通過本課學習所得到的解題經驗.先由學生梳理，教師再適當補充.
設計意圖：通過小結，梳理本節課所學內容，總結方法，體會思想，鞏固知識. 6.布置作業，分層落實
必作：書P138 練習1、2，P140 3、4 選作：監測P111 B組 4，P113 B組 9、10
思考：如果同時投擲3枚質地均勻的硬幣，那么全部正面向上的概率是多少？ 請將本節課的收獲，體會或者疑問發到老師的QQ空間或班群，及時與老師、同學們交流互動. 五、目標檢測設計
1.同時投擲兩枚質地均勻的硬幣，則兩枚硬幣全部正面朝上的概率為 . 設計意圖：考查學生對投擲兩枚硬幣模型的理解.
2.同時投擲兩枚質地均勻的骰子，點數積為偶數的概率為 . 設計意圖：考查學生對投擲兩枚骰子模型的理解.
3.在一個不透明的盒子中，共有1個紅球，2個黃球，他們除了顏色之外沒有其他區別. （1）隨機從盒子中摸出一個小球，求摸出的紅球的概率；
（2）隨機地從盒子中摸出一個球，放回搖勻，再摸出一球，求摸出的兩個球恰好一紅一黃的概率.
設計意圖：考查學生對用列表法求概率的理解.
4.有3張看上去無差別的卡片，上面分別寫著1，2，3，隨機抽取1張后，不放回，再隨機抽取一張，求下列事件的概率.
（1）兩次抽取的數字和為5；
設計意圖：考查學生利用列表法解決“分步”試驗（不放回）的問題. 六、板書設計
設計意圖：板書隨著教學的進行逐步完善.呈現概率的定義為后面的計算做鋪墊.例1、例2為解題板書，該板書重點呈現本節課的核心內容，給學生示范解題格式.該板書設計突出本節課的核心內容，起到了很好的輔助教學、提高課堂效益的作用.
七、教學設計說明
1.本課為統計與概率領域的新授課，共包括“單元導入，明確目標”、“復習提問，夯實基礎”、“問題引領，探究新知”、“應用新知，解決問題”、“歸納小結，反思提升”、“布置作業，分層落實”六個教學環節，充分體現了我校“問題引領，合作探究”的教學模式.學習本課前，學生們已經了解了隨機事件的概念及概率的古典定義，掌握了求簡單隨機事件（一個元素）的方法.本課通過3道求簡單隨機事件的概率復習概率的古典定義，通過例題1讓學生探究如何求解包含兩個元素的試驗的概率，探究列表格的列舉方法，體會用列舉法求概率的
25.2 用列舉法求概率（第1課時）
1.概率的古典定義 P（A）＝n
m
例1
例2
8
條件和方法.例題2涉及兩枚骰子，每一枚骰子可能出現的情況比較多，為了更清晰并且不重不漏的列舉出所有可能的結果，引導學生使用列表法完成.通過這道題，讓學生進一步體會列表法的優勢，并規范列表和解題的格式，落實本節課的重點.練習題的目的是鞏固所學內容，而變式訓練讓學生進一步理解列表法，體會其在解決“分步”試驗（不放回）的作用.
2.本節課，充分的發揮了學生的主體地位，給學生充分展示自我的機會.教師根據學生的探究情況適當補充，得出結論.借助小組合作的形式，可以充分調動孩子們學習的積極性、主動性，讓學生在自主探究中獲得新知，應用新知，激發學習的興趣.
3.教學中，將交互性白板融入課堂教學，運用“普米”軟件設計課件，恰當運用動畫展示投擲硬幣、骰子的過程，激發學生探究興趣.利用白板和實物投影直觀的展現列表的過程，解題的過程，讓學生體會列表的方法，有助于突破本課的難點.
視頻來源：優質課網 www.jjlqy.cn
