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視頻標簽：二次函數背景,圖形面積問題,小專題
所屬欄目：初中數學優質課視頻
視頻課題：人教版初中數學九年級上冊二次函數背景下的圖形面積問題小專題-湖北省 - 十堰
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人教版初中數學九年級上冊二次函數背景下的圖形面積問題小專題-湖北省 - 十堰
【二次函數背景下的圖形面積問題小專題】教學設計
一、教學目標：
1、 會從數形結合角度解決二次函數與面積的相關問題； 2、 能夠靈活應用幾何知識多角度多方法的解決面積問題;
3、 在探索中感受知識的相互聯系和應用，提升分析能力和解決問題的
綜合能力。
4、 經歷由特殊到一般這樣一種探索數學問題的過程，樹立主動參與積極
探索嘗試、猜想和發現的精神。
二、 教學重點：二次函數背景下圖形面積問題的解決方法
教學難點：對平移法解決三角形面積倍分和最值問題原理的理解 三、 教學方法:對比教學、啟發教學、展示教學
學習方法：自我監測、自主探究、合作學習 四、教學準備：多媒體、幾何畫板 五、教學內容分析：
本節課是一節中考前的復習課，因為這部分內容跨越時間較長，基本上從七年級到九年級一直在接觸。但是所解決的問題也基本上都是些最常規的問題，學生差不多都已掌握，但是近幾年出現了幾種新型的面積問題，即二次函數背景下的圖形面積倍分問題和最值問題，學生再用常規方法已很難解決，所以我設計了這樣一節專題課。在這節課里，我首先安排學生利用課余時間對之前解決過的面積問題進行了檢測（課前小訓練），課堂上在得到學生掌握情況后引導學生對解決這種面積問題的思路進行歸納，并且特意安排了一個不規則三角形的面積最值問題，跟今天的平移法進行對比。在引入平移法時逐步由特殊到一般，由簡單到復雜，由倍分到最值，層層引導學生領悟這種方法。教學中為了讓學生更直觀的感受這種方法的原理，特意采用了幾何畫板規范作圖或動畫演示讓學生感知平移法的數學原理。 六、教學過程：
（一）、課前準備：學生完成課前小訓練
1、如圖，拋物線y=ax2+bx+c經過點A（﹣3，0），B（1.0）， C（0，﹣3）．
（1）求拋物線的解析式； (2)求S△ABC
(3) 若點D為拋物線的頂點，求S△DBC (4)
若點D為拋物線的頂點，求S四邊形ABCD
(5)若點P為第三象限內拋物線上的一點，設△PAB的面
積為S，求S的最大值并求出此時點P的坐標；
(6) 若點P為第三象限內拋物線上的一點，設△PAC的面積為S，
求S的最大值并求出此時點P的坐標；
【設計意圖】因為這些面積的常規問題學生基本上從七年級到九年級一直在接觸，在這里只是起一個檢測復習、并且歸納提升的作用。所以我以課前小訓練的方式把這些基礎面積問題交給學生課前做，讓學生通過這幾個基礎訓練題，總結歸納解決這類問題的思路和方法，同時特意設計了第（6）題為今天這節課做好鋪墊，也與今天這節課做個對比。 （二）、課堂教學
1、課堂導入：①結合2017年十堰市中考第25題第（2）問面積問題的類型導入新課。②用“寧靜致遠”的意思激勵中考前的學子。 2、課堂活動
①、請各小組對答案； （展示課前小訓練答案）
②、各組組長組織組員討論做錯的題；
③、請第一組的組長簡單講一下第(2)題的解題思路； 請第三組的組長簡單講一下第(4)題的解題思路; 請第五組的組長簡單講一下第（5））題的解題思路。 ④、其他有需要做補充的請繼續補充。
【設計意圖】充分發揮學生的集體智慧和學習能動性，讓學生教學生，培養學生的聽、說、思、議等能力，同時也達到了讓學生自我檢測、自我解決問題的目的。
3、練后思考：請各組討論下面的思考題
①、比較課前訓練題中（2）、(3)、（4）求面積的方法，歸納在平面直角坐標系中求圖形面積的常用方法和思路；
②、比較題中（5）、(6)、求面積最大值的方法，歸納在平面直角坐標系中求圖形面積最大值的常用方法和思路；
【設計意圖】充分發揮學生的集體智慧和學習能動性，讓學生在討論中提升，培養學生練后思考并歸納思路方法的習慣； 4、思路整理：
在平面直角坐標系中解決面積問題有如下的思路： ①、圖形形狀和位置規則：
函數解析式 點的坐標 水平線段、豎直線段 面積
②、圖形形狀或位置不規則 分割、增補 形狀和位置規則的圖形
【設計意圖】引導學生歸納解題思路和方法
5、典例精析
例1、如圖，拋物線y=ax2+bx+c經過點 A（﹣3，0），B（1.0）， C（0，﹣3）．
（1）求拋物線的解析式；（ｙ＝ｘ２+2ｘ－3 ）
變式1、在x軸下方的拋物線上（除點C外）， 是否存在點N，使得 S△NAB = S△CAB，若存在，求出點N的坐標， 若不 存在，請說明理由。
【學生活動】學生思考并找點（可用多種方法求） 【教師活動】教師巡視觀察學生思維狀況和所用方法
【設計意圖】通過這個規則圖形面積等積問題，引出解這類問題的思路和方法。
解后思考：作直線CN,并判斷直線CN與直線AB有怎樣的位置關系？
【設計意圖】做題后引導學生歸納結論：若兩個三角形同底且
面積相等， 則第三個頂點所在的直線與底平行；從而達到提升的目的。
變式2、在拋物線上（除點B外） 是否存在點M，使得 S
△MAC = S△ABC， 若存在，求出點M的坐標， 若不 存在，
請說明理由。 【學生活動】試著找點并想方法
【教師活動】教師巡視觀察學生所用方法，并適當進行點撥，引導學生分析并展示解題思路
【設計意圖】利用變式1所得結論解決這個位置不規則圖形的面積等積問題，培養學生學以致用、舉一反三的能力；
變式3、設點Q是拋物線（在第一象限內）上的一個動點，是否
存在一點Q，使S△QAC=
S△BAC，若存在，求出Q點的坐標；若不
存在，請說明理由．
【學生活動】試著找點并想方法，思考之后進行小組討論。 【教師活動】教師巡視觀察學生所用方法，并適當進行點撥，通過幾何畫板引導學生分析并展示解題思路
【設計意圖】在變式1、2的基礎上增加難度把學生引導到等分高的思路上，從而為后面解決位置不規則圖形的面積倍分問題做好思路鋪墊，培養學生學以致用、舉一反三的能力；
變式4、設點Q是拋物線（在第一象限內）上的一個動點，是否存在一點Q，使S△QBC= S△ABC，若存在，求出Q點的坐標；若
不存在，請說明理由
【學生活動】試著找點并想方法，思考之后進行小組討論。 【教師活動】教師巡視觀察學生所用方法，并適當進行點撥，通過幾何畫板引導學生分析并展示解題思路
【設計意圖】在變式3的基礎上增加難度把學生引導到倍分高的思路上，從而達到解決位置不規則圖形的面積倍分問題的目的，通過特殊到一般的設計思路，培養學生觸類旁通的能力，并且思考解決這類問題的通法。
變式5、 若點P為第三象限內拋物線上的一點，設△PAC的面積為S，求S的最大值并求出此時點P的坐標；
【學生活動】試著找點并想方法
【教師活動】教師巡視觀察學生所用方法，并適當進行點撥，通過幾何畫板動畫演示引導學生分析并展示解題思路，解后引導學生與課前小訓練的第（6）題進行對比。
【設計意圖】在前面四個變式的基礎上增加難度，引導學生把問題引導到不規則三角形的最值問題上，再進一步引導到
兩條平行線間的距離最大上，通過幾何畫板的動畫演示讓學生充分感受到：當直線與拋物線有且只有一個交點時高最大。從而達到解決位置不規則圖形的面積最值問題的目的，培養學生觸類旁通的能力；通過解后與課前小訓練的第（6）題進行對比，讓學生更加領會平移法的優勢。
變式6、若點P為第三象限內拋物線上的一點，設四邊形ABCP的面積為S，求S的最大值并求出此時點P的坐標；
【學生活動】試著找點并想方法，部分學生進行展示自己的思路。
【教師活動】教師巡視觀察學生所用方法，并適當進行點撥，引導學生分析求四邊形面積的方法，然后試圖與今天所學方法進行聯系，從而展開解題思路；
【設計意圖】在變式5的基礎上增加難度，拓展到四邊形的面積最值問題。引導學生把不規則四邊形的面積最值問題轉化成三角形的面積最值問題上，這樣就把變式6的問題轉化成變式5，達到解決不規則四邊形面積最值問題的目的，從多層面培養了學生的能力。
6、學后提升
1、通過本節課的學習你學到了解決哪些面積問題的方法？ 用平移法解決平面直角坐標系中的面積倍分問題和面積最值問題
【學生活動】學生反思并總結以達到提升的目的
【教師活動】教師傾聽并適時進行引導補充，展示問題類型和思路導向圖
【設計意圖】引導學生反思并總結問題類型以及解決問題的思路，以達到提升的目的，從而能夠完全解決這類問題，明白平移法的精髓所在。 7、課后作業
如圖，拋物線頂點坐標為點C（1，4），交x軸于點A（3，0），交y軸于點B．
（1）求拋物線和直線AB的解析式； （2） 求△CAB的鉛垂高CD及
CABS△；；
（3）設點P是拋物線（在第一象限內）上的一個動點，是否存在一點
P，使S△PAB=S△CAB，若存在，求出P點的坐標；若不存在，請說明理由 （4）設點P是拋物線上的一個動點，是否存在一點P，使S△PAB=12，若存在，求出P點的坐標；若不存在，請說明理由
（5） 設點Q是拋物線（在第一象限內）上的一個動點，是否存在一點Q，使S△QAB= 8
9S△CAB，若存在求出Q點的坐標；若不存在，請說明理由．
（6）設M（a，b）（其中0<a<3）是拋物線上的一個動點，試求四邊形OBMA面積的最大值， 及此時點M的坐標。
【設計意圖】通過本節課的學習進一步進行鞏固所學方法。 （三）、板書設計 黑板一： 中考總復習小專題
二次函數背景下 ——圖形的面積問題
課前小訓練簡易答案 4、思路整理：
在平面直角坐標系中解決面積問題有如下的思 ①、圖形形狀和位置規則：
函數解析式 點的坐標 水平線段、豎直線段 面積
②、圖形形狀或位置不規則 分割、增補 形狀和位置規則的圖形
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