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視頻標簽：圓周角
視頻課題：人教版九年級上冊數(shù)學第24章《24.1.4 圓周角》寧夏
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人教版九年級上冊數(shù)學第24章《24.1.4 圓周角》寧 夏
《24.1.4 圓周角》教學設(shè)計
教學目標： 【知識與技能】
1.理解圓周角的概念.探索圓周角與同弧所對的圓心角之間的關(guān)系，并會用圓周角定理進行簡單的運用；
2.掌握圓周角定理的三個推論，并會熟練運用這些知識進行有關(guān)計算和證明。
【過程與方法】
經(jīng)歷探索圓周角定理的過程，培養(yǎng)學生觀察、分析、想象、歸納和邏輯推理的能力；同時初步體會分類討論的數(shù)學思想，滲透由“特殊到一般”，由“一般到特殊”的化歸思想。
【情感態(tài)度】
通過積極引導(dǎo)，幫助學生敢于面對數(shù)學活動中的困難，有意識地運用已有知識解決新問題，獲得成功的體驗。
【教學重點】
圓周角定理及其推論的探究與應(yīng)用。 【教學難點】
圓周角定理的證明中由一般到特殊的數(shù)學思想方法以及圓周角定理及推論的應(yīng)用。
教學過程： 一、創(chuàng)設(shè)情境：
情景:幾何畫板導(dǎo)入動畫效果，講故事引導(dǎo)學生回答下列問題： 問題1： 什么叫圓心角？指出圖中的圓心角？ 問題2： ∠BCA的頂點和邊有哪些特點? 問題3： ∠BCA與∠AOB有何異同？
問題4： 你能仿照圓心角的定義給∠ACB取一個名字并下定義嗎？ 由此導(dǎo)入課題.（板書課題）
二、探究新知
1.圓周角的定義
探究1 觀察下列各圖，圖（1）中∠APB的頂點P在圓心O的位置，此時∠APB叫做圓心角，這是我們上節(jié)所學的內(nèi)容.圖（2）中∠APB的頂點P在⊙O上，角的兩邊都與⊙O相交，這樣的角叫圓周角.請同學們分析（3）、（4）、（5）、（6）是圓心角還是圓周角.
【教學說明】設(shè)計這樣的一個判斷角的問題，是再次強調(diào)圓周角的定義，讓學生深刻體會定義中的兩個條件缺一不可.
【歸納結(jié)論】圓周角必須具備兩個條件：①頂點在圓上；②角的兩邊都與圓相交.二者缺一不可.
2.圓周角定理
探究2如圖，（1）指出⊙O中所有的圓心角與圓周角，并指出這些角所對的是哪一條弧？
（2）量一量∠C、∠AOB的度數(shù)，看看它們之間有什么樣的關(guān)系？ （3）改變動點C在圓周上的位置，看看圓周角的度數(shù)有沒有變化？你發(fā)現(xiàn)其中有規(guī)律嗎？若有規(guī)律，請用語言敘述.
解：（1）圓心角有：∠AOB； 圓周角有：∠C；它所對的是弧AB （2）∠C=1/2∠AOB
（3）改變動點C在圓周上的位置，這些圓周角的度數(shù)沒有變化，并且圓周角的度數(shù)恰好等于同弧所對圓心角度數(shù)的一半.
思考：若改變弧AB的大小，圓周角∠C與圓心角∠AOB是否還有這樣的關(guān)系？
O
A
B
C
【教學說明】教師利用幾何畫板測量角的大小，移動點C，讓學生觀察當C點位置發(fā)生改變過程中，圖中有哪些不變，從而交流總結(jié)，找出規(guī)律，同時引導(dǎo)學生觀察圓心與圓周角的位置關(guān)系，為定理分情況證明作鋪墊.
為了進一步研究上面發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，通過觀察動畫效果， 問題1：你發(fā)現(xiàn)圓心角與圓周角有幾種位置關(guān)系？分別是哪些？ （1）圓心O在∠BCA的一邊上（特殊情形） （2）圓心O在∠BCA的內(nèi)部 （3）圓心O在∠BCA的外部
問題2：如何證明一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半？ 已知：在⊙O中，弧AB所對的圓周角是∠ACB，圓心角是∠AOB， 求證：∠ACB=1/2∠AOB.
（提示分析：我們可按上面三種圖形、三種情況進行證明。）
如圖（1），圓心O在∠ACB的邊上，∵OB=OC， ∴∠B=∠C，而∠BOA=∠B+∠C，∴∠B=∠C=1/2∠AOB.
圖（2）（3）的證明方法與圖（1）不同，但可以轉(zhuǎn)化成（1）的基本圖形進行證明，引導(dǎo)提示學生輔助線的添加技巧，證明過程請學生們小組討論完成，并派代表講解小組結(jié)論。
得出圓周角定理：
在同圓或等圓中，一條弧所對的圓周角等于這條弧所對圓心角的一半. 【教學說明】在定理的證明過程中，要使學生明確，要不要分情況來證明.若要分情況證明，必須要明白按什么標準來分情況，然后針對各種不同的情況逐個進行證明.在證明過程中，第（1）種情況是特殊情況，是比較容易證明的，經(jīng)過添加直徑這條輔助線將（2）、（3）種情況轉(zhuǎn)化為第（1）種情況，體現(xiàn)由一般到特殊的思想方法。對于后面要學生注意的兩個問題，是為了加強學生對圓周角定理的理解，使學生能準確的掌握好圓周角定理。
3.圓周角定理的推論
推論1：同弧所對的圓周角相等。
題短情長
1.如圖，點A、B、C、D在☉O上，點A與點D在點B、C所在直線的同側(cè)，∠BAC=35º.
(1)∠BOC= º，理由是 ； (2)∠BDC= º，理由是 。
2.如圖，點A、B、C、D在同一個圓上， AC、BD為四邊形ABCD的對角線. (1)完成下列填空：
∠1= . ∠2= .∠3= .∠5= . （2）若弧AB=弧AD，則∠1與∠2是否相等，為什么？ 推論2：等弧所對的圓周角相等
注意：定理應(yīng)用的條件是“同圓或等圓中”，而且必須是“同弧或等弧”。
（3）若弧AC（弦AC）是半圓（直徑）， 則∠ADC= ，∠ABC= 。
推論3：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，
反之，90°的圓周角所對的弦是直徑.
【教學說明】這個推論是圓中很重要的性質(zhì)，為在圓中確定直角，構(gòu)成垂直關(guān)系創(chuàng)造了條件.同時這一結(jié)論為在圓中證明直徑提供了重要依據(jù).
三、典例精析，獲取新知
例1如圖，⊙O的直徑AB為10cm，弦AC為6cm，∠ACB的平分線交⊙O于D。求BC、AD、BD的長。
分析：由直徑AB可知△ACB和△ADB為直角三角形，進而可用勾股定理求BC，又由CD平分∠ACB可知∠1=∠2，從而得到AD、BD.再次用勾股定理求出AD、BD的長。
A1 A
2
A
3
解：∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB=∠ADB=90°， ∴△ACB和△ADB為直角三角形. 在Rt△ABC中，BC=
=8（cm）.
∵CD平分∠ACB，∴∠1=∠2，∴ 弧AD=弧BD， ∴AD=BD .又在Rt△ABD中，AD=BD=2/2 AB=52（cm）
【教學說明】利用圓周角定理及其推論，將求線段長的問題轉(zhuǎn)化到解直角三角形的問題上來。
四、課堂檢測
1.如圖,BD是⊙O的直徑,∠CBD=30°,則∠A的度數(shù)為 。
2.如圖，AB是⊙O的直徑, C 、D是圓上的兩點，∠CAB=40°,則∠ADC= . 3.如圖，在⊙O中，點A，B，C在圓上，若OA＝AB，則∠ACB=（ ）
A、15° B、30° C、45 °D、60°
4.已知△ABC的三個頂點在⊙O上,∠BAC=50°,∠ABC=60°,則∠AOB= ．
【教學說明】讓學生通過習題鞏固本節(jié)知識點，同時體會這節(jié)常見題型及常見輔助線的作法.在解題過程中，教師要對沒有找到方法的學生進行點撥.
五、課堂小結(jié)
師生共同回顧本節(jié)所學的知識點有哪些？常見的輔助線有哪些？ 微視頻展示本節(jié)課的主要內(nèi)容。
【教學說明】學生自主交流小結(jié)，教師用微視頻加以補充和點評，營造輕松愉悅的氛圍.
六、布置作業(yè)：1.課本88頁 第3題.
2.完成練習冊中本課時學習之友.
七、板書設(shè)計
第1題
第2題
第
八、教學反思
本節(jié)課首先設(shè)計了一個問題情境，展示了圓心角與圓周角的位置關(guān)系，引出圓周角的概念.然后通過測量、猜想，得出同弧所對的圓周角等于圓心角的一半的結(jié)論.接著通過讓學生折紙，觀察與思考，利用分類討論的思想方法，分三種情況給出系統(tǒng)的證明及思維過程.至此我們利用遷移、轉(zhuǎn)化的思想方法化未知為已知，將圓周角的問題轉(zhuǎn)化為圓心角來求解.其后為進一步探索圓周角的其他性質(zhì)，我們又以設(shè)置的問題為導(dǎo)線，將學生帶入到教學活動中，同時再次通過交流、討論、合作、歸納出圓周角定理的三個推論，并運用它們進行解題，實現(xiàn)從認識到應(yīng)用的轉(zhuǎn)化.
視頻來源：優(yōu)質(zhì)課網(wǎng) www.jjlqy.cn
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