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視頻標簽：式子的因式分解
所屬欄目：初中數學優質課視頻
視頻課題：初中數學人教版八年級上冊第十四章x2+(p+q)x+pq型式子的因式分解-天津
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初中數學人教版八年級上冊第十四章x2+(p+q)x+pq型式子的因式分解-天津市武清區楊村第九中學
x2+(p+q)x+pq型式子的因式分解
一、內容和內容解析 1、內容
x2+(p+q)x+pq型式子的因式分解 2、內容解析
因式分解是對整式的一種變形，它與整式乘法是互逆變形的關系。是學生后續學習分式、一元二次方程、二次函數等知識的基礎，如后面學生對于分式基本性質的學習、分式加減法中的通分與分式乘除法中的約分等都要用到因式分解。因式分解是解決整式恒等變形和簡便問題的重要工具。
前幾節課中我們學習了提公因式法和公式法分解因式。但是面對一個在學生已有認知中沒有
“規律”的x2
+bx+c的二次三項式，該如何去理解并完成因式分解呢？本節課介紹十字相乘法對這一類多項式進行分解因式，實質上是逆用(x＋p)(x＋q)乘法法則．它的一般規律是：對于二次項系數為1的二次三項式x2+bx+c，如果能把常數項c分解成兩個因數p，q的積，并且p＋q為一次項系數b，那么它就可以運用公式 x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)分解因式．這種方法的關鍵是“拆常數項，湊一次項”．基于以上分析，確定本節課的教學重點：能較熟練地用十字相乘法把形如 x2+(p+q)x+pq的二次三項式分解因式。 二、目標目標解析 目標
經歷探究x2+(p+q)x+pq型因式分解的過程，理解十字相乘法的根據 會用十字相乘法分解形如： x2+(p+q)x+pq的多項式 目標解析
達成目標（1）的標志是：學生能夠從特殊的乘法公式的逆向思維轉換到更加具有一般性的一次二項式乘一次二項式一般法則的逆運用上來。知道x2+bx+c應滿足什么條件時可以因式分解，得出因式分解x2+bx+c的一般規律。
達成目標（2）的標志是：學生對于二次三項式x2+bx+c分解因式時，知道如何確定p、q的值，使它們的乘積等于常數項c，它們的和等于一次項系數b，知道公式中的x可以表示單項式，也可以表示多項式，當常數項為正數時，把它分解為兩個同號因數的積，因式的符號與一次項系數的符號相同；當常數項為負數時，把它分解為兩個異號因數的積，其中絕對值較大的因數的符號與一次項系數的符號相同.并能按照此方法對多項式進行因式分解。 三、教學問題診斷分析
學生通過對前面知識的學習已經對因式分解有了較充分的認識。但是前面所進行的因式分解都是圍繞著可以直接提取公因式的二次三項式或可以利用平方差公式和完全平方公式因式分解來展開的。學生在此基礎上直接去面對一個既無法提取公因式，又不能運用平方差公式和完全平方公式進行因式分解的二次三項式x2+bx+c，學生會覺得手足無措，因此為了幫助學生理解并能夠主動去探究x2+bx+c的因式分解規律，我們從一次二項式乘一次二項式的特殊公式法轉換到一般法則，給予學生一個一般的解決問題的思路。這樣能夠幫助學生更好的理解十字相乘法的出處。學生在用十字相乘法分解因式過程中經常遇到的困難是不知道如何分解常數項，使它同時滿足pq=c,p+q=b,解決此問題的關鍵是根據常數項和一次項系數的符號特點列出常數項分解成兩個因數的積的各種可能情況；然后嘗試其中的哪兩個因數的和恰好等于一次項系數。
本節課的教學難點：把x2+bx+c分解因式時，準確地找出p、q，使p.q=c,p+q=b。 四、教學過程設計 1、復習導入：
問題1 前幾節課我們學習了因式分解，首先請同學們先回憶一下什么叫做因式分解？ 因式分解：把一個多項式化成幾個整式的積的形式，這樣的變形叫做這個多項式的因式分解，也叫做把這個多項式分解因式。
因式分解實質是和差化積與整式乘法是“積化和差”的過程正好（相反） 追問：之前我們都學習了哪些分解因式的方法？ 提取公因式法，公式法，
練習：請同學們觀察下列多項式，判斷它們哪些能用已學的方法進行因式分解？ （1）x2-9 (2)x2-5x (3)x2+8x+16 (4)x2+5x+6 (5)x2-3x+2
師生活動：教師提出問題，學生獨立思考并回答問題。教師指出對于（4）（5）目前我們還無法對它進行因式分解，但并不能代表它們無法進行因式分解。這節課我們就來研究一下如何對這一類多項式因式分解。
設計意圖：幫助學生回顧提取公因式法、平方差公式法、完全平方差公式法因式分解，同時也為本節課的教學做準備。 2、探索新知:
問題2：我們通過逆運用平方差公式和完全平方公式，得到了公式法因式分解。那么老師給你幾個一般的整式乘法的式子，你得到的結果是什么樣的呢？ （1）(x+3)(x+2) （2）(x-2) (x-1) （3）（x+4）(x-2) （4）（x-4）(x+1) 提升到字母表示：
pqxqpxqxpx)())((2
這個過程進行的是整式乘法運算，反過來可得 ))(x()(2
qxppqxqpx 這個過
程將和差的形式轉化成積的形式,進行的是因式分解. 思考1：你能根據以下圖形的面積說明這個公式嗎？
追問：觀察上面式子的特點，我們可不可以將和等式左邊具有相同特點的多項式進行因式分解呢？方法是什么呢？
師生活動：教師提出問題，學生先獨立思考，再互動交流，最后學生發現：等式左邊的多項式具有如下特點(1)二次項系數是1(2)常數項是兩個數之積(3)一次項系數是常數項兩個因數之和就可以因式分解了。
設計意圖：幫助學生從特殊的乘法公式的逆向思維轉換到更加具有一般性的一次二項式乘一
次二項式一般法則的逆運用上來。
3、初步應用十字相乘法
我們可以看到對形如：x2
+(p+q)x+pq的多項式進行因式分解時,主要是通過討論多項式各個項的系數來分解的,因此我們可以用一個簡便的方法來分解這一類因式,即十字相乘法. 定義：利用十字交叉線來分解系數,把二次三項式分解因式的方法叫做十字相乘法。
步驟
總結步驟：①豎分二次項與常數項
②交叉相乘，再相加
③檢驗確定，橫寫因式
順口溜：豎分常數交叉驗，橫寫因式不能亂。
師生活動：教師板書講解師生共同交流。
設計意圖：通過例題，讓學生感知十字相乘法及其怎樣進行“兩拆一揍”，并規范學生解題格式。
4、鞏固應用十字相乘法分解因式 (1) x2
+ 3x + 2 (2) x2 - 7x + 6 (3) x2 + x - 2 (4) x2 - 2x - 15 歸納填空:
(1)常數項是正數時,它分解成兩個_______號因數,它們和 一次項系數符號_____. (2)常數項是負數時,它分解成兩個_______號因數,其中絕對值較______的因數和一次項系數符號相同.
師生活動：4名學生板書，然后學生互動交流歸納出常數項分解時符號特點。。 設計意圖：通過練習使學生熟練掌握用十字相乘法分解因式。 5、拓展提高
（1）-x2
-6x+16 (2) x2
-5xy+4y2
(3) x4
-5x2
+4 (4) (2x+y)2
-5(2x+y)+4 師生活動：學生獨立思考，師生互動交流。
設計意圖：通過此練習，提高學生對 x2+(p+q)x+pq型多項式因式分解的認識，讓學生體會數學中的整體思想。
思考2：我們現在所研究的都是二次項系數是1的二次三項式用十字相乘法進行因式分解，那么當二次項的系數不是1，而是其他數字時呢？
例如：3x2
-2x-1
6、歸納小結
這節課主要學了什么？你有什么收獲？
設計意圖：幫助學生進一步鞏固所學知識，并培養學生總結歸納能力。 7、布置作業
1、分解因式：
(1) x2
+ 9x + 8 (2) x2
- 10 + 24 (3) x2
- 9x - 10 (4) x2
- 3x - 28
2、(1)若多項式學x2
-8x+m可分解為(x-2)(x-6）則m的值為 . (2)若多項式x2
-kx-12可分解為(x-2)(x+6）則k的值為 . (3)若多項式x2-2x+m可分解為(x+3)(x-n) 求m、n的值.
3．先閱讀學習，再求解問題：
材料：解方程：01032
xx
解：原方程可化為 （x+5）（x-2）=0 ∴x+5=0或 x-2=0 由x+5=0得x=-5 由x-2=0得x=2
∴x=-5或 x=2為原方程的解。 問題：解方程：x2
-2x=3。
設計意圖：考查學生十字相乘法因式分解的掌握情況。 8、板書設計
9、課后反思
因式分解與整式的乘法實際上是互逆的兩個運算過程。本節課通過類比探究公式法因式分解的由來，從一般的整式乘法算式入手，對公式(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq進行觀察研究，發現反過來就是x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)，學生思考后發現，對于二次三項式x2+bx+c的因式分解，關鍵就是找兩個數p、q使：p+q=b，pq=c，，因此，就可以借助十字相乘法將這類因式進行分解。本節課強調了學生的自主探究和分組合作相結合。還給了學生足夠的空間，展現了學生的思維過程。不足之處：大部分同學都能積極主動參與，但是少數學生，參與意識不強，在以后教學中本人將努力改進。
視頻來源：優質課網 www.jjlqy.cn
