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視頻標簽：菱形的性質與判定
所屬欄目：初中數學優質課視頻
視頻課題：北師大版初中數學九年級上冊《菱形的性質與判定》重慶
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北師大版初中數學九年級上冊《菱形的性質與判定》重慶市珊瑚初級中學
§1.1 菱形的性質與判定的綜合應用
教材來源：初中九年級《數學》（上冊） 北師大2011課標版 內容來源：第一章 特殊的平行四邊形->1 菱形的性質與判定 主 題：菱形的性質與判定的綜合應用 課 時：第3課時（共3課時） 授課對象：九年級學生
設 計 者：閔沙，重慶市珊瑚初級中學校 目標確定的依據 1. 課程標準
探索并證明菱形的性質定理：菱形的四條邊相等，對角線垂直；以及它們的判定定理：四邊相等的四邊形是菱形，對角線互相垂直的平行四邊形是菱形. 2．教材分析
本課時是在學生理解菱形的概念、菱形與平行四邊形之間的關系，探索并證明了菱形的性質定理及判定定理的基礎上，運用菱形的性質定理和判定定理解決一些問題，一方面可以鞏固對菱形的性質定理與判定定理的理解，另一方面在解決問題的過程中使學生認識性質定理與判定定理的區別，正確應用有關定理. 3. 學情分析
學生的知識技能基礎：學生前兩課時經歷了對菱形的性質定理及判定定理的探究及驗證過程，理解了菱形的性質定理及判定定理；八年級下冊學習了平行四邊形的性質與判定，能根據實際問題運用性質定理和判定定理解決數學問題，這些都為本課時學習提供了知識技能基礎.
學生的活動經驗基礎：學生在探索圖形性質和判定時，經歷“觀察—操作—猜想—驗證”等數學活動，積累了數學的活動經驗；在活動過程中，學生能夠進行自主探究并與小組成員合作交流. 4. 學習目標
（1）經歷探索利用對角線長乘積求菱形面積的計算公式，提升探究幾何結論的能力.
（2）會運用菱形的性質定理，計算菱形中相關的線段長度和菱形面積，掌握運用菱形性質定理解決幾何問題的方法.
（3）通過拼擺紙條、折紙活動，經歷“探索—發現—猜想—證明”的過程，了解制作菱形的方法，感受數學與生活的聯系，進一步發展數學語言表達能力，合情推理能力與演繹推理能力.
2
教學重點： 靈活運用菱形的性質與判定定理進行計算或推理. 教學難點： 通過紙條的拼、折得到菱形，并推理驗證. 5. 學法分析 自主探究、合作學習 6. 教學資源準備：
課件、微課、Flash、四張條形紙條、多媒體平臺 7. 教學過程分析
【第一環節】 游戲引入 (播放Flash動畫) 1.如圖1，Rt△ABO的面積是 ；
2.如圖2，將Rt△ABO沿著AO翻折，得到△ABD，則△ABD的面積是 ；
3.如圖3，將△ABD沿著BD翻折，得到四邊形ABCD，則四邊形ABCD的面積是 ；
圖1 圖2 圖3
師：我想知道你是怎么得到四邊形的面積的？（四邊形ABCD面積可以看成4個全等的直角三角形的面積和，或看成上下（左右）兩個全等的三角形的面積和.）
師：剛才翻折的過程中，你發現了哪些相等的線段？（AO=OC,BO=OD，AB=BC=CD=AD），對角線AC，BD有什么位置關系？（AC⊥BD）
師：現在，你知道四邊形ABCD是什么圖形嗎？為什么？（菱形；對角線互相垂直平分的四邊形是菱形；四邊相等的四邊形是菱形.）
師：今天我們進一步學習菱形的性質與判定的綜合應用. 設計意圖：
1. 通過圖形游戲引入，Flash動畫直觀地將一個直角三角形經過兩次翻折得到菱形，體會利用三角形的面積計算菱形的面積，為推導出菱形的面積計算方法做鋪墊.
2. 通過圖形游戲引入，認識菱形的軸對稱性，鞏固菱形的兩個判定定理：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，四邊相等的四邊形是菱形.
12
5
BO
A
12
5
B
O
D
A
12
5
CB
O
D
A
3
【第二環節】 探索新知 1.推導菱形面積計算公式
師：已知：如圖，四邊形ABCD是菱形，對角線AC和BD相交于點O.
問題：你能用含AC,BD的式子表示菱形ABCD的面積嗎？
師：同學們先獨立思考，然后分享你的方法.
學生展示，老師引導，梳理方法，總結出菱形的面積計算方法：菱形的面積等于其對角線長的乘積的一半. 解法一：
菱形ABCD的面積 = △ABD的面積+△BCD的面積
= 2×△ABD的面積 122BDAO
解法二：
菱形ABCD的面積 = △ABC的面積+△ADC的面積
= 2×△ABC的面積
122ACBO
解法三：菱形ABCD的面積 = 4×Rt△ABO的面積 142OAOB
解法四：
菱形ABCD的面積 = △ABD的面積+△BCD的面積
11
22
BDAOBDOC
12BDAOOC
C
B
OD
A
C
B
O
D
A
12
BDAC122
ACBO1222
OAOB1
2BDAC
122BDAO1
2
ACBD
1
2ACBD
4
結論：
菱形的面積等于其對角線長的乘積的一半. 2. 知識延伸：
推導對角線互相垂直的四邊形的面積計算方法：對角線互相垂直的四邊形的面積等于其對角線長的乘積的一半.
師：若對角線AC，BD仍然互相垂直，但不互相平分，此時，四邊形ABCD的面積=1
2
AC×BD？試一試. 推導過程： ∵AC⊥BD
∴四邊形ABCD的面積 = △ ABD的面積+△BCD的面積
= 112
2
BDAOBDCO
= 12
BDAOOC
12
BDAC
師：請同學們把結論整理在學案上 結論：
對角線互相垂直的四邊形的面積等于其對角線長的乘積的一半 .
師：顯然，通過剛才的推理，我們知道求四邊形的面積可以轉化為求三角形的面積,這正體現了數學中轉化的思想,將新知識轉化為舊知識，將未知轉化為已知.同時，在剛才的學習過程中，我們先探究了對角線垂直平分的特殊四邊形—菱形的面積計算方法，接著探究了對角線互相垂直的四邊形的面積計算方法，這正是數學中探究解決問題常用到的一種方法:從特殊到—般. 3.介紹菱形面積的另一種計算公式：菱形的面積=底×高. 師：菱形是特殊的平行四邊形，那么菱形的面積還可以怎么計算？ 設計意圖：
1.利用菱形的對角線互相垂直平分的性質將菱形轉化為三角形，推導出菱形的面積計算方法，即菱形的面積等于其對角線長的乘積的一半，體現了轉化和分割圖形求面積的方法.
2.通過知識延伸，了解“對角線互相垂直的四邊形的面積等于其對角線長的乘積的一半”的結論，掌握從特殊到一般的探究解決問題的方法.
3.通過菱形與平行四邊形的關系，掌握菱形的面積也可以用底乘高來計算.
OB
D
C
A
5
4.如果學生在推導菱形面積的公式過程中,用到了上面的解法四，直接利用幾何畫板改變圖形的形狀（保證對角線互相垂直）得到一般結論. 【第三環節】 新知應用
例 如圖，四邊形ABCD是邊長為13cm菱形，其中對角線BD長為10cm，則： （1） 對角線AC的長為 cm； （2） 菱形ABCD的面積為 cm2； （3） 菱形ABCD的高DH為 cm .
解：(1)AC=24(cm).（2）S菱形ABCD=120(cm 2
).（3）DH=120
13
(cm ).
設計意圖：
評價學生的新知掌握情況—菱形的面積計算方法及運用菱形的性質解決問題的情況. 【第四環節】 實踐操作
師：在前面的學習中，我們運用菱形的性質解決了一些問題.用兩張等寬的紙條,你能制作菱形嗎？ 請看視頻 (播放視頻) 活動一 (教材P8 做一做)
如圖，兩張等寬的紙條交叉重疊在一起，重疊的部分ABCD是菱形嗎？為什么？
師：動手操作，同時思考下面的問題：
(1)四邊形ABCD是平行四邊形嗎？為什么？ （兩張紙條的兩長邊分別平行） (2)題目中的“等寬”怎樣理解？（平行四邊形一組鄰邊上的高相等.） (3)要證明平行四邊形ABCD是菱形，還需要什么條件？（一組鄰邊相等.） 師：組內交流,互助釋疑.
要求：小組長組織交流，確定一個記錄人，一個中心發言人. 師：請小組發言人分享你們小組的成果,回答上面思考的問題.
學生展示，老師板書，畫出圖形，寫出“已知”，“求證”，板書其中一種證明過程，PPT給出另一種解題方法的參考答案.
H
BD
C
EA
6
已知：在四邊形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，AE⊥BC于點E，AF⊥CD于點F, AE=AF . 求證：四邊形ABCD是菱形.
(板書)方法1：證明：∵AB//CD,AD//BC,
∴四邊形ABCD是平行四邊形. ∵AE⊥BC，AF⊥CD， ∴ 平行四邊形=ABCDSBCAECDAF. ∵AE=AF,
∴ BC=CD. ∴平行四邊形ABCD是菱形.
（PPT展示）方法2： 證明：∵AB//CD,AD//BC，
∴四邊形ABCD是平行四邊形. ∴ ∠B= ∠D. ∵AE⊥BC，AF⊥CD ， ∴∠AEB= ∠AFD=90°. 在△ABE和△ADF中
∠B= ∠D
∠AEB= ∠AFD AE=AF
∴△ABE≌△ADF. ∴AB=AD. ∴平行四邊形ABCD是菱形.
證明方法：
方法1：先證四邊形ABCD是平行四邊形，利用菱形面積公式，再得到BC=CD（一組鄰邊相等）； 方法2：先證四邊形ABCD是平行四邊形，再利用AAS證△ABE≌△ADF，得到AB=AD（一組鄰邊相等）； 方法3：如圖，先證四邊形ABCD是平行四邊形，連接AC，利用角平分線的判定定理得到∠1=∠2.又因為AD//BC，得∠DAC=∠1，從而得到∠DAC=∠2，再利用“等角對等邊.”證出AD=DC（一組鄰邊相等）.
F
E
A
D
C
B2
1
F
EA
D
CB
7
活動二 變式演練
師：如果只有一張這樣的紙條，你能用折紙的辦法得到一個菱形嗎？
活動二：如圖，是一張只有一組對邊平行的紙條，你能用折紙的辦法得到一個菱形嗎？(要求：用筆描出折痕和折紙得到的四邊形.)
學生先動手操作，再合作交流.
要求：小組長組織交流，確定一個記錄人，一個中心發言人.
師：請小組代表展示折紙的過程，并說明理由. （請同學演示講解，其他同學跟著操作.）
方法1：① 如圖1，任意折出一條折痕AC，②如圖2，再次折疊，使折痕兩端點A,C重合，得到△ABO,并折出折痕AB. ③打開紙條，得到四邊形ABCD就是菱形. 理由：對角線互相垂直平分的四邊形是菱形.
圖1 圖2 圖3
方法2：①如圖，任意折出一條折痕AC. ②折出折痕AB，CD. 打開紙條，得到四邊形ABCD就是菱形. 理由：四邊相等的四邊形是菱形.
師：若是任意一張不規則的紙片，你能用折紙的辦法得到一個菱形嗎？如圖，若是一張銳角三角形紙片ABC, 你能折出一個菱形，使∠A為菱形的一個內角嗎？（教材P10 問題解決）作為家庭作業，同學們課后繼續探究.
A
C
O
B
A(C)
O
DBACA
B
C
B(D)A
C
8
設計意圖：
1. 設計三個活動，從教材的“做一做”，到變式演練，再回到教材P10的“問題解決”，利用教材提供的
素材，層層遞進，運用菱形的判定定理解決實際問題.
2. 讓學生經歷“探索—發現—猜想—證明”的過程，感受數學與生活的聯系，豐富學生的數學活動經驗，
提高自主探究解決問題的能力.
3. 通過活動一，鼓勵學生一題多證，引導學生在與他人交流中比較證明方法的異同，提高演繹推理的能
力.
【第五環節】 梳理總結 1. 我學會了….. 2. 我體會到….. 3. 我還有哪些疑問…… 設計意圖：
對本節課所學新知識和涉及的數學思想方法進行梳理和整理.
【第六環節】課后練習
必做：課本P9 習題1.3 1,3,4
做一做：任意一張不規則的紙片,你能用折紙的辦法得到一個菱形嗎？
P10 問題解決
選作：在四邊形ABCD中，AD∥BC，E為BC的中點，BC＝2AD，EA＝ED＝2，AC與ED相交于點F．當AB與AC具有什么位置關系時，四邊形AECD是菱形？請說明理由，并求出此時菱形AECD的面積．
設計意圖：
滿足不同的學生在數學上的不同發展的需要，提供學生探索、交流的資源．
【第七環節】 課堂結語
“用數學的眼光觀察現實世界，用數學的思維思考現實世界，用數學的語言表達現實世界”，努力學好數學！
F
D
A
E
C
B
9
【第八環節】 板書設計
8. 教后反思
（1）本節課首先用Flash動畫展示一個直角三角形經過兩次翻折得到菱形的過程，成功吸引了學生的
“眼球”.同時，學生在觀察得到“暗示”：菱形與直角三角形“相關”，為后續引導學生順利推導出菱形的面積計算公式鋪路.
（2）其次，根據推導菱形面積的計算公式時課堂生成的問題，引導學生觀察，觸動學生思考，利用幾何畫板改變圖形的形狀（保證對角線互相垂直）得到一般結論：對角線互相垂直的四邊形的面積等于其對角線長的乘積的一半.從探究的過程中，掌握從特殊到一般的探究解決問題的方法.鞏固對菱形性質定理的理解.提高靈活運用菱形性質定理解決問題的能力.
（3）最后，設計了三個學生操作活動，利用預先準備的“紙條”等學具，引導學生經歷從教材的“做一做”→變式演練→到教材P10的“問題解決”的過程，層層遞進，成功運用菱形的判定定理解決了實際問題.學生在經歷“探索—發現—猜想—證明”的過程中，感受了數學與生活的聯系，豐富了學生的數學活動經驗，提高了自主探究解決問題的能力.
總之，Flash和幾何畫板動態展示，設計學生活動、生成問題、解決問題.學生在主動探尋、交流中提高了演繹推理的能力，并獲得比較深刻的數學感悟.本節課側重于動手操作，啟發思維，對幾何證明的規范書寫訓練略顯不足，需在課后作業中彌補.
視頻來源：優質課網 www.jjlqy.cn
