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視頻標(biāo)簽：整數(shù)指數(shù)冪
所屬欄目：初中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課視頻
視頻課題：人教版初中數(shù)學(xué)八年級上冊15.2.3《整數(shù)指數(shù)冪》云南省 - 昆明
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人教版初中數(shù)學(xué)八年級上冊15.2.3《整數(shù)指數(shù)冪》云南省 - 昆明
15．2．3整數(shù)指數(shù)冪教學(xué)設(shè)計(jì)
一、教材內(nèi)容和內(nèi)容解析
（－）教學(xué)內(nèi)容
本節(jié)課是義務(wù)教育教科書人教版八年級上冊15.2.3的內(nèi)容，《整數(shù)指數(shù)冪》 （二）教學(xué)內(nèi)容分析
本節(jié)課學(xué)生需要通過類比掌握負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的概念，從而感受指數(shù)域從正整數(shù)擴(kuò)充到全體整數(shù)這種數(shù)學(xué)的遷移美．并且通過自主探究，發(fā)現(xiàn)所有冪的運(yùn)算法則都可以推廣到全體整數(shù)指數(shù)域，并會用運(yùn)算法則進(jìn)行簡便運(yùn)算． 二、目標(biāo)及目標(biāo)解析 （一）教學(xué)目標(biāo)
1、理解負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義；熟練運(yùn)用整數(shù)指數(shù)冪運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算
2、通過觀察、推理、總結(jié)得出負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義；體驗(yàn)利用負(fù)整數(shù)指數(shù)冪進(jìn)行乘除法轉(zhuǎn)化 3、啟發(fā)學(xué)生通過獨(dú)立思考、同伴交流、自主發(fā)現(xiàn)問題解決問題，從而提高學(xué)生的自學(xué)能力和質(zhì)疑能力 （二）教學(xué)目標(biāo)解析
本節(jié)課以“翻轉(zhuǎn)課堂”“小組合作”形式進(jìn)行設(shè)計(jì)，要求學(xué)生交流合作完成預(yù)習(xí)案以及老師布置的問題從而理解負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義，并且能熟練運(yùn)用整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算，同時培學(xué)生的自學(xué)能力．在課堂上，以小組為單位，對預(yù)習(xí)案上錯誤較多，疑惑較多的問題進(jìn)行討論和講解，鼓勵學(xué)生上臺講解，老師輔助學(xué)習(xí)，從而使學(xué)生進(jìn)一步理解冪的運(yùn)算法則如何推廣到全體整數(shù)指數(shù)域，能熟練利用整數(shù)指數(shù)冪進(jìn)行乘除法的轉(zhuǎn)化，培養(yǎng)學(xué)生的質(zhì)疑能力和合作精神最終使學(xué)生能自主發(fā)現(xiàn)問題，自主合作解決問題 三、教學(xué)問題診斷分析
本節(jié)課可能出現(xiàn)的問題是大部分的學(xué)生不會自主學(xué)習(xí)，由于慣性，他們習(xí)慣等著老師來講，等著老師來引導(dǎo)，自己不會質(zhì)疑，這也是灌輸式教學(xué)模式的弊端．所以針對這個問題，我提前做了不少的鋪整，在前面比較簡單的教學(xué)內(nèi)容中也經(jīng)常采用這種“翻轉(zhuǎn)課堂”和“小組合作”的模式.
由于本節(jié)課學(xué)習(xí)的內(nèi)容還是有一定的難度，對思維也有一定的要求，所以好多學(xué)生在完成預(yù)習(xí)案之后，可能無法感受設(shè)計(jì)這一環(huán)節(jié)的目的，學(xué)的比較死．所以在平時的教學(xué)中我也比較注重類比學(xué)習(xí)，時刻強(qiáng)調(diào)知識的遷移以及知識體系內(nèi)在的規(guī)律，希望能為學(xué)生的思維過程做好準(zhǔn)備． 【教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn)】
1．教學(xué)重點(diǎn)：理解負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義，掌握運(yùn)算性質(zhì) 2．教學(xué)難點(diǎn)：理解負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的產(chǎn)生過程和意義 四、教學(xué)支持條件分析 （一）知識儲備
本節(jié)課是在學(xué)習(xí)了第十四章《整式的乘法與因式分解》以及第十五章《分式》的基本內(nèi)容后進(jìn)行設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)的．學(xué)生對于所有的預(yù)備知識都己經(jīng)能夠熟練掌握，所以以“翻轉(zhuǎn)課堂+小組合作”的形式進(jìn)行設(shè)計(jì)，學(xué)生是可以完成的
（二）教法
本節(jié)課是在“翻轉(zhuǎn)課堂”“小組合作”理念的影響下進(jìn)行設(shè)計(jì)的，旨在培養(yǎng)學(xué)生的自學(xué)、質(zhì)疑能力和合作能力，需要學(xué)生認(rèn)真完成預(yù)習(xí)案，用已經(jīng)學(xué)過的舊知推出新知，然后發(fā)現(xiàn)自己還沒有弄懂的地方，在課堂上互相討論，尋求解決。 （三）學(xué)法
突出自主學(xué)習(xí)和小組合作學(xué)習(xí) （四）教學(xué)媒體
預(yù)習(xí)案、投影儀、課堂檢測案、統(tǒng)計(jì)表等 五、教學(xué)過程設(shè)計(jì)
教學(xué)過程
Ⅰ課前準(zhǔn)備：
在講授新課的前一天給學(xué)生布置了預(yù)習(xí)案（附錄1），讓學(xué)生通過自主預(yù)習(xí)完成三個目標(biāo)要求： 1、理解對于0指數(shù)冪和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪們課本規(guī)定的過程，理解對于同一個運(yùn)算用兩個思路進(jìn)行推導(dǎo)的思想，學(xué)會用舊知推出新知. 2、會根據(jù)老師給出的數(shù)據(jù)，自己選取其他數(shù)字驗(yàn)證正整數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)可以推廣到全體整數(shù).
3、會計(jì)算0指數(shù)冪和簡單的負(fù)整數(shù)指數(shù)冪；會將負(fù)整數(shù)指數(shù)冪寫成只含有正整數(shù)指數(shù)冪的形式；會運(yùn)用冪的性質(zhì)進(jìn)行簡單的運(yùn)算 Ⅱ授課過程：
（一）復(fù)習(xí)回顧、找出問題 【教學(xué)內(nèi)容與教師活動】
通過預(yù)習(xí)案上第一部分復(fù)習(xí)回顧的問題，讓學(xué)生對自己的預(yù)習(xí)案進(jìn)行修正，并對冪的運(yùn)算性質(zhì)中指數(shù)的規(guī)定進(jìn)一步理解。
1、對于正整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)： （1）m
nmna
aa( m、n是正整數(shù))
（2）()mn
mn
aa
（m、n是正整數(shù)）
（3）()n
nn
abab（n是正整數(shù)）
（4）mnmn
aaa（a≠0，mn為正整數(shù)日m＞n）
(5) ()n
nnaabb
（n是正整數(shù)）
2.我們規(guī)定了0指數(shù)冪，首先復(fù)習(xí)0指數(shù)冪的規(guī)定過程：
思路1：運(yùn)用同底數(shù)冪的除法:)
(
)
(
aa
aamm：
思路2：運(yùn)用分式的約分：
mm
aa
.
【學(xué)生活動】
學(xué)生口答，復(fù)習(xí)舊知 【設(shè)計(jì)意圖】
大部分學(xué)生會忘記附上對指數(shù)取值范圍的規(guī)定，說明學(xué)生對冪的指數(shù)的理解并不透徹，所以可以以此為契機(jī)，由此引發(fā)學(xué)生對冪的指數(shù)進(jìn)行思考
（二）合作探究、解決問題
【教學(xué)內(nèi)容與教師活動】與【學(xué)生活動】 探究一：冪的指數(shù)是否可為負(fù)數(shù) 【教學(xué)內(nèi)容與教師活動】與【學(xué)生活動】
問：復(fù)習(xí)可知冪的指數(shù)可以是正整數(shù)和0，那冪的指數(shù)可以是負(fù)整數(shù)嗎？
在對預(yù)習(xí)案的分析下，各小組分配到不同的探究任務(wù)，各小組得到各自的探究結(jié)果，再把各組的探究結(jié)果合并在一起，就可以得到負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的規(guī)定（即1
n
n
a
a
），從而解決了探究一的疑問 問：預(yù)習(xí)案上的探究一，幫助我們得到一個規(guī)定，是哪個規(guī)定呢？ 答：負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的規(guī)定。
問：很好，那大家對這個探究的過程還有什么疑問嗎？
如果有學(xué)生有疑問，可以先請其他同學(xué)幫忙解答，如果都答不出來，老師再來解答。等孩子們疑問都解答完了，老師繼續(xù)發(fā)問：既然大家沒有問題了，那接下來老師就要問大家了。 第1個問題：在這個規(guī)定的演算過程中，我們運(yùn)用了兩種思路，是哪兩種思路呢？ 答：一種思路是同底數(shù)冪的除法性質(zhì)：另一種思路是分式的約分。 思路1：a3÷a3＝a3-5＝a-2（a≠0）
思路2：33
5
321
(0)aaaabb
【設(shè)計(jì)意圖】這個問題，是讓學(xué)生進(jìn)一步理解，我們之所以可以作如上的規(guī)定，是因?yàn)檫@是同
一個運(yùn)算在兩種不同思路下得到的結(jié)果，而這兩種思路都是我們已經(jīng)學(xué)過的內(nèi)容，從而讓學(xué)生進(jìn)一步體會由舊知推出新知的過程
【教學(xué)內(nèi)容與教師活動】與【學(xué)生活動】
第2個問題：負(fù)整數(shù)指數(shù)幕要如何規(guī)定才合理呢？指數(shù)為負(fù)數(shù)是取相反數(shù)嗎？
22
1
(0)aaa
規(guī)定：
00aa
規(guī)定（）
答：按照探究2的過程，我們規(guī)定1
n
na
a
，即na（a≠0）表示na的倒數(shù)，指數(shù)為負(fù)數(shù)是取倒數(shù)。 第3個問題：在這個規(guī)定中，還有其他的限定條件嗎？為什么？ 答：限定a≠0，因?yàn)閍作為除數(shù)不能為0
這個問題的設(shè)置，是強(qiáng)調(diào)a≠0這個條件。
【設(shè)計(jì)意圖】這兩個問題是幫學(xué)生進(jìn)一步理解負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義，幫助學(xué)生突破本節(jié)課的第
一個重點(diǎn)：指數(shù)為負(fù)整數(shù)是取正整數(shù)指數(shù)冪的倒數(shù)，它仍然是一個冪的形式，a整體是它的底數(shù)，在計(jì)算時要避免犯錯
【教學(xué)內(nèi)容與教師活動】與【學(xué)生活動】
接下來對預(yù)習(xí)案中新知例1請學(xué)生講解，老師在黑板上板書. 例題講解1：
(1)-3-2 (2) 2
1()2
解：（1）2
2113
39
(2) 22
111
()4112
()24
然后給學(xué)生1分鐘的時間，自己改正預(yù)習(xí)案新知自測練習(xí)1、2題的錯誤，請一個同學(xué)上來講講昨天
犯錯的原因和改正方法。
歸納：負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的引入，將指數(shù)的取值范圍擴(kuò)大到了全體整數(shù)
0
1 (0,) 1mmmm
aaaamaa
取正整數(shù) 【設(shè)計(jì)意圖】這個環(huán)節(jié)一方面對學(xué)生預(yù)習(xí)案中的問題進(jìn)行講解，一方面對計(jì)算格式進(jìn)行規(guī)
范．同時也讓學(xué)生自行改正預(yù)習(xí)案中的錯誤，進(jìn)一步掌握負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的定義.
（三）合作再探、深入理解 【教學(xué)內(nèi)容與教師活動】
探究二：引入負(fù)整數(shù)指數(shù)冪后，正整數(shù)指數(shù)冪的5條運(yùn)算性質(zhì)能否推廣到全體整數(shù)指數(shù)的情形？ 問：引入負(fù)整數(shù)指數(shù)后，正整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)能否推廣到全體整數(shù)指數(shù)的情形？接下來請4人一
個小組，在預(yù)習(xí)案上驗(yàn)證，并討論你們驗(yàn)證是否正確，看看還有哪些疑問。
我們舉例驗(yàn)證一下： 你選取的指數(shù)進(jìn)行驗(yàn)證
（1）驗(yàn)證同底數(shù)冪的乘法
由33
5
3
23(5)
55211aaaaaaaaa
.
得到353(5)
aaa
；
歸納：mnmnaaa這條性質(zhì)，對于m、n是任意整數(shù)的情形任然適用
問：對于其它正整數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，對于m、n是任意整數(shù)的情形是否適用呢？請用類似的方法驗(yàn)證。
（2） 驗(yàn)證冪的乘方
由2)3(66232
31
)1(
)(aaa
aa 得到32(3)2()aa .
歸納：
mn
mnaa（）這條性質(zhì)，對于m、n是任意整數(shù)的情形任 （填“適用”或“不適用”）
（3）驗(yàn)證積的乘方
由3333
33
1
1)(1)
(
babaabab 得到
3
()ab33ab .
歸納：()nnnabab這條性質(zhì)，對于m、n是任意整數(shù)的情形任 （填“適用”或“不適用”）
（4）驗(yàn)證同底數(shù)冪的除法
由53
5
52(3)(5)
331aaaaaaaa
可得35(3)(5)
aaa .
歸納：mnmnaaa這條性質(zhì)，對于m、n是任意整數(shù)的情形任 （填“適用”或“不適用”）
（5）驗(yàn)證分式的乘方
由222222222211)()(bababaababba 可得22
2)(baba
.
歸納：()n
nnaabb
這條性質(zhì)，對于m、n是任意整數(shù)的情形任 （填“適用”或“不適用”）
【學(xué)生活動】
每個小組的同學(xué)自己討論完成這個環(huán)節(jié)，小組同學(xué)在交流的過程中，可以看到其他同學(xué)選取的是什么
數(shù)進(jìn)行的驗(yàn)證，進(jìn)一步體會驗(yàn)證法從特殊到一般的過程，還能發(fā)現(xiàn)自己在驗(yàn)證的過程中存在的問題
【設(shè)計(jì)意圖】
在這個探究過程中，學(xué)生可能存在三個問題，老師需要引導(dǎo)解決：
1、有些學(xué)生可能會選取2個正整數(shù)來進(jìn)行驗(yàn)證，需要引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識到，當(dāng)數(shù)域進(jìn)行推廣之后，只要驗(yàn)證新推廣的數(shù)對于性質(zhì)是成立的就可以了。
2、在驗(yàn)證冪的乘方這條性質(zhì)時，學(xué)生可能會列舉出（a-2）3和（a2）-3這兩種形式，要幫助學(xué)生理解符號和指數(shù)在這里的含義。
3、在驗(yàn)證分式的乘方這條性質(zhì)時，要用到1
nn
aa
這個公式，需要給學(xué)生進(jìn)行講解。
【教學(xué)內(nèi)容與教師活動】與【學(xué)生活動】
由特殊到一般，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的一致性，于是通過驗(yàn)證我們得到結(jié)論，正整數(shù)指數(shù)冪的所有性質(zhì)都可以擴(kuò)充到整個整數(shù)指數(shù)冪的情形。那么接下來的運(yùn)算，學(xué)生可以選擇運(yùn)用定義把負(fù)整數(shù)指數(shù)冪化成正整數(shù)指數(shù)冪的倒數(shù)，再用分式約分，也可以直接運(yùn)用性質(zhì)來計(jì)算，我們更推薦用性質(zhì)來算，因?yàn)楦雍啽恪?nbsp;
接下來讓學(xué)生對預(yù)習(xí)案中的新知自測3進(jìn)行改錯，請同學(xué)上來講解，老師板書。 例題講解2： （1）3
2m
m (2) 32(
)xy （3）13(3)ab （4）2313()xyxy 解：（1）3232
551mmm
mm
(2) 36336
263()xxyxyyyx
(3) 3
13
3
33
33
327(3)(3)27aabababb
(4) 2313233310
1()xyxyxyxyxyx
【設(shè)計(jì)意圖】
通過例題的講解，讓學(xué)生進(jìn)一步體會運(yùn)算性質(zhì)帶來的好處和便利，并對昨天沒有解決的問題進(jìn)行理解和改錯，加深對整數(shù)指數(shù)冪性質(zhì)意義的理解
（四）當(dāng)堂檢測、鞏固提高
【教學(xué)內(nèi)容與教師活動】與【學(xué)生活動】 1、填空
(1) 0
(2)= ， (-3)-3= .
（2）2(4)= ，2
4= ，
(3) 11()2= ，2
3()4
= ，
2、計(jì)算
(1) 7
2
aa (2) 22
1()xy
(3) 123()ab (4) 22223()abab
當(dāng)堂檢測卷在課上就發(fā)給學(xué)生，讓學(xué)生現(xiàn)場完成，先做完的同學(xué)老師當(dāng)場批改，之后投影一個學(xué)生的答案邊講解邊批改，最后統(tǒng)計(jì)完成情況，記錄在統(tǒng)計(jì)表中，以作對比。 【設(shè)計(jì)意圖】
該環(huán)節(jié)主要是檢測學(xué)生在完成預(yù)習(xí)案又經(jīng)過課堂的講解后解題的情況，通過數(shù)據(jù)對比來對課堂內(nèi)容進(jìn)行調(diào)整和完善
（五）運(yùn)用新知、整合舊知
思考：下列等式是否正確？為什么？
(1) m
n
m
n
mnmnmnmnmnmnaaaaaaaaaa
aaaa (2) ()(), ()nnn
nnnnn
nnnmna
abb
aaaabbbbaabb
同底數(shù)冪的除法轉(zhuǎn)化為乘法 分式的乘方轉(zhuǎn)化為積的乘方
由此我們可以將整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)一步簡化為3條： （1）aman＝am+n（m、n是整數(shù)） （2）（am）n＝amn（m、n是整數(shù)） （3）（ab）n＝anbn（n是整數(shù)） 【設(shè)計(jì)意圖】
該環(huán)節(jié)是讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)知識的統(tǒng)一性以及數(shù)學(xué)的簡潔美
（六）導(dǎo)圖小結(jié)、質(zhì)疑提新 【教學(xué)內(nèi)容與教師活動】
1、設(shè)計(jì)基礎(chǔ)
本節(jié)課是受到“翻轉(zhuǎn)課堂”和“小組合作”理念的影響，再結(jié)合初中教學(xué)的特點(diǎn)以及學(xué)生的實(shí)際情況進(jìn)行設(shè)計(jì)的。“翻轉(zhuǎn)課堂”要求將課堂前置，學(xué)生通過老師給的小視頻自主學(xué)習(xí)，課堂上的時間用來答疑解惑。這樣的模式既能有效的提高課堂效率，又能提高學(xué)生的自學(xué)能力，是對學(xué)生能力培養(yǎng)所必須的。由于設(shè)備和初中學(xué)生認(rèn)知水平的限制，本節(jié)課選擇了預(yù)習(xí)案的方式，來完成課堂前置，將老師上課的所有過程呈現(xiàn)在預(yù)習(xí)案上，讓學(xué)生在閱讀課本的基礎(chǔ)上認(rèn)真完成。
由于本節(jié)課的兩個重點(diǎn)一一負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的規(guī)定以及冪的運(yùn)算性質(zhì)的推廣，都是在學(xué)生已經(jīng)學(xué)過的知識上推導(dǎo)而得，所以使本節(jié)課的自主學(xué)習(xí)模式有了實(shí)現(xiàn)的可能。而預(yù)習(xí)案的設(shè)置，則能更好的幫助學(xué)生理解課本的內(nèi)容，老師在上課之前對預(yù)習(xí)案進(jìn)行批閱分析，則能比較好的掌握學(xué)生仍然存在的問題，在課堂上進(jìn)行解決，使整節(jié)課的目標(biāo)得以實(shí)現(xiàn)。
2、設(shè)計(jì)目的
我們的初中學(xué)生現(xiàn)在習(xí)慣的學(xué)習(xí)模式是灌輸式教學(xué)模式，就是老師教什么，就學(xué)什么老師間什么，就答什么，沒有自主學(xué)習(xí)的意識，也沒有質(zhì)疑的能力。所以本節(jié)課就是針對目前初中生學(xué)習(xí)上的這兩個缺漏而設(shè)計(jì)的。完成預(yù)習(xí)案的過程就是一次自主學(xué)習(xí)的過程，不僅要求學(xué)生認(rèn)真閱讀課本，還要理解預(yù)習(xí)案上每一個探究的過程，結(jié)合舊知，推出新知。而本節(jié)課的課堂，主要用來讓學(xué)生質(zhì)疑，解決頭天預(yù)習(xí)案中自己不能完成的問題，然后同學(xué)之間互相幫助，共同探索，大家都不能解決的問題，再由老師解答，整個過程，學(xué)生的質(zhì)疑能力起到關(guān)鍵的作用。所以本節(jié)課的設(shè)計(jì)，力求讓學(xué)生的自學(xué)能力和質(zhì)疑能力得到提高。
3、設(shè)計(jì)價值
很多老師認(rèn)為這種課型的課并不適合初中學(xué)生，所以價值不大。但是筆者認(rèn)為，正是因?yàn)閷W(xué)生在自學(xué)和質(zhì)疑的能力上有所欠缺，才更應(yīng)該引起我們一線老師的反思，我們平時是不是也習(xí)慣了灌輸式的教學(xué)呢？由于進(jìn)度，考試的壓力，一節(jié)課要完成的內(nèi)容很多，所以我們往往疏于給學(xué)生足夠的時間來想，來練，就算是所謂的引導(dǎo)、探究，也沒有都落在實(shí)處，我們更關(guān)注的是學(xué)生會不會解題。這就導(dǎo)致了學(xué)生養(yǎng)成依賴?yán)蠋煹牧?xí)慣，不會思考，不想思考。所以在學(xué)生知識水平能夠達(dá)到的基礎(chǔ)上，適當(dāng)?shù)脑黾舆@樣的課型，讓學(xué)生自己去探究，自己去質(zhì)疑是十分必要的，對學(xué)生長久的學(xué)習(xí)能力和思維的培養(yǎng)也將起到關(guān)鍵的作用。
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