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視頻標簽：解三角形,應用舉例,距離問題
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：人教B版高中數學必修五第一章第1課時解三角形應用舉例—距離問題-貴州省 - 六盤水
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第1課時 解三角形應用舉例—距離問題
一、教材分析
本課是人教B版數學必修5第一章解三角形中1.2的應用舉例中測量距離(高度）問題。主要介紹正弦定理、余弦定理在實際測量（距離、高度）中的應用。因為在本節課前，同學們已經學習了正弦定理、余弦定理的公式及基本應用。本節課的設計，意在復習前面所學兩個定理的同時，加深對其的了解，以便能達到在實際問題中熟練應用的效果。對加深學生數學源于生活，用于生活的意識做貢獻。
二、學情分析
距離測量問題是基本的測量問題，在初中，學生已經學習了應用全等三角形、相似三角形和解直角三角形的知識進行距離測量。這里涉及的測量問題則是不可到達的測量問題，在教學中要讓學生認識問題的差異，進而尋求解決問題的方法。在某些問題中只要求得到能夠實施的測量方法。學生學習本課之前，已經有了一定的知識儲備和解題經驗，所以本節課只要帶領學生勤思考多練習，學生理解起來困難不大。
三、教學目標 （一）知識與技能
能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量（距離、高度）有關的實際問題。
（二）過程與方法
通過應用舉例的學習，經歷探究、解決問題的過程，讓學生學會用正、余弦定理靈活解題，從而獲得解三角形應用問題的一般思路。
（三）情感、態度與價值觀
1
提高數學學習興趣，感知數學源于生活，應用于生活。
四、教學重難點
重點：分析測量問題的實際情景，從而找到測量和計算的方法。 難點：測量方法的尋找與計算。 五、教學手段
計算機，PPT，黑板板書。
六、教學過程（設計）
教 學 環 節 教學內容
教師活動 學生活動 設計意 圖
（一） 課前回顧 （預計 時間2 分鐘）
同學們，我們首先來回顧一下本章所學的幾個重要知識點。
1）三角形常用公式：
π=++CBA
正弦定理：
RC
cBbAa2sinsinsin=== 2）正弦定理應用范圍：
1. 已知兩角和任意邊，求其他兩邊和一角。 2. 已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊
的對角。(注意解的情況)。 （3）余弦定理：Abccbacos2-222+=（其余兩個規律相同）
（4）余弦定理可以解決以下兩類有關三角形問題：
1.已知三邊求三個角；
2.已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩
個角。
教師 需要 用精煉的 語言 引導 同學回憶知識
學生主動回憶舊知 知識回顧，
為這節課的應用作
準備
2
（二）
新知儲備、設疑引知 （預計時5分鐘）
實際問題中的常用角
1.方位角：從指北方向順時針轉到目標方向的水平角．如圖(1)所示．
2．方向角：相對于某一正方向(東、西、南、北)的水平角．
①北偏東α°，即由指北方向順時針旋轉α°到達目標方向，如圖(2)．
②北偏西α°，即是由指北方向逆時針旋轉α°到達目標方向． 其它方向角類似．
情景展示，引入問題
情景一：比薩斜塔 （展示圖片）
師：比薩斜塔是意大利的著名建筑，它每年都會按照一定度數傾斜，但斜而不倒，同學們想一想，如果我們不能直接測量這個塔的高度，該怎么知道它的高度呢？ 情景二：河流、梵凈山（展示圖片）
師：如果我們不能直接測量，該怎么得出河流的寬度和梵凈山的高度呢？
引入課題：我們今天就是來思考怎么通過計算，得到無法測量的距離（高度）問題。
知識擴展：簡單介紹測量工具（展示圖片） 1 經緯儀:測量度數 2卷尺：測量距離
幫助 學生 了解本節課的新知 識。引導
學生思考如何解決距離問題。
積極 配
合， 快速記憶和掌握常用
角。
為下
面的應用問題打下
基礎。活躍課堂氣氛，提高學生學習興趣。
3
（三） 新課 講解 （計時為20分鐘） 新課 講解
本環節一共給學生講解三個例題，由此得到距離問題的兩個類型，讓學生在用解三角形計算距離與高度這一類問題上有所認識。 一、介紹解題思路
解三角形應用題的基本思路:
實際問題――→畫圖抽象數學問題―――→解三角形
數學問題的解――→檢驗實際問題的解． 二、測量距離問題的兩種類型
例1 (2010·陜西高考)在△ABC中，已知B＝45°，
D是BC邊上的一點，AD＝10，AC＝14，DC＝6，求AB的
長．
[分析]
由余弦定理得cos∠ADC＝AD2＋DC2－AC2
2AD·DC
＝100＋36－1962×10×6＝－12
，
∴∠ADC＝120°，∠ADB＝60°， 在△ABD中，由正弦定理得
ABsin∠ADB
＝
ADsinB
，
∴AB＝sin∠ADBsinB·AD＝10sin60°sin45°＝56.
類型1如右圖，你所在點A，不可到達點B，欲測得AB長度，可再取可到達點
C，構造△ABC，我們可測出∠BAC與∠BCA及AC.
于是，由正弦定理可求AB的長．
例2、如圖，要測底部不能到達的煙囪的高AB，從
通過例題由淺
入深地給 學生講述
利用正、余弦定理計算距離的問題，中間有些問題需要師生之間的互動。
認真思考求解的一
般步驟和方法，找出其中
的規
律。得到兩種類型。
交給學生解答一般解三角形實際問題中測量距離的求解方法。讓同學們了解到解三角形在實際中的應用是很廣泛的。
4
新課 講解
與煙囪底部在同一水平直線上的C、D兩處，測得煙囪的仰角分別是006045==βα和，CD間的距離是12m.已知測角儀器高1.5m,求煙囪的高。
[分析]
如圖，因為BAAAAB11，又
已知1AA=1.5m,所以只要求出BA1即可。
解:
4
.28≈361822
∴11+==BCBA
)(9.295.14.28≈∴11mAABAAB=++=
答：煙囪的高為 29.9m.
例3 隔河可以看見對岸兩目標A、B，但不能到達，在岸邊選擇相距3 km的C、D兩點，并測得∠DCB＝45°，∠BDC＝75°，∠ADC＝30°，∠ACD＝120°(A、B、C、D在同一平面內)，求兩目標A、B之間的距離．
[分析] 分別在△BCD和△ACD中利用正弦定理求出BD和AD，然后在△ADB中利用余弦定理求出AB.
考慮例三有沒有別的求解方法？
°
°
×=
==
°=°°=15sin120sin12sinsin∴sinsin:,154560∠,Δ11111
1
111111BDDCBCDBCBDCBDCDBC由正弦定理可得中在
5
在△BCD中，因為∠DCB＝45°，∠BDC＝75°，所以∠DBC＝60°，又CD＝3，由正弦定理得
BD＝
3sin45°
sin60°
＝2，在△ACD中同理可求得AD＝
3，在△ABD中，由余弦定理得，
AB＝(2)2＋32－2×3×2cos(75°－30°)＝
5(km)．
答：A、B兩點間的距離為5 km.
類型二： 如右圖欲測BC的長，選取你可到點A，由于AB、AC均不可直接測得，由(1)可知，只要再取點
D，即可獲得AB、AC的長，∠BAC可測，從而得到BC，
也可先求得BD、CD，再在△BCD中用余弦定理求得BC.
變式訓練
如下圖，為了測量河寬，在岸的一邊選定兩點A、
B，望對岸的標記物C，測得∠CAB＝45°，∠CBA＝75°，AB＝120米，則河寬為________米．
[分析] 在△ABC中，∵∠CAB＝45°，∠ABC＝75°，∴∠ACB＝60°，由正弦定理可得
AC＝
AB·sin∠ABCsin∠ACB＝120×sin75°
sin60°
＝20(32＋
6)，設C到AB的距離為CD，則CD＝AC·sin∠CAB＝20(32＋6)sin45°＝20(3＋3)，
∴河的寬度為20(3＋3)米．
6
（四） 知能達標訓練(記時10分鐘)
基礎落實 1.已知A、B兩地相距10 km，B、C兩地相距20 km，且∠ABC＝120°，則A、C兩地相距( )
A．10 km B．103 km C．105 km D．107 km
[解析] AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos120°＝700，∴AC＝107 km.[答案] D
2．如圖所示，在河岸AC測量河的寬度BC，測量下列四組數據中，較適宜的是( )
A．c與a B．c與b C．c與β D．b與α
[解析] 在a，b，c，α，β五個量中，a，c，β不易測量，故選D.
3．海上有A、B兩個小島相距10 n mile，從A島望C島與B島成60°的視角，從B島望C島和A島成75°的視角，那么B島與C島之間的距離為________n mile.
[解析] 畫出示意圖，易得C＝45°，由正弦定理10sin45°＝BCsin60°
，∴BC＝56.
能力提升
一、選擇題
1．如圖，為了測量某障礙物兩側A、B間的距離，給定下列四組數據，測量時應當用數據( )
A．α、a、b B．α、β、a
啟發學生獨立思考的能力。
結合所學最好能獨立解答。
集體回答和個人回答相結合。
夯實
基礎，提升能力。
7
C．a、b、γ D．α、β、b
[解析] 要測AB.由余弦定理可知，需測出b、a、γ.
2．某觀察站C與兩燈塔A、B的距離分別為300米和500米，測得燈塔A在觀察站C北偏東30°，燈塔B在觀察站C正西方向，則兩燈塔A、B間的距離為( )
A．500米 B．600米 C．700米 D．800米
[解析] 如圖，由題意知，∠ACB＝120°，∴AB2＝3002＋5002＋2×300×500×1
2
＝490000，
∴AB＝700米． 二、填空題
3．某人從A處出發，沿北偏東60°行走33公里到B處，再沿正東方向行走2公里到C處，則AC兩地距離為________公里．
[解析] 由題意可知，
AB＝33，BC＝2，∠ABC＝150°. 由余弦定理得 AC2＝27＋4－2×33×2·cos150°＝49，AC＝7. 則A、C兩地距離為7公里．
4.甲、乙兩樓相距20 m，從乙樓底仰望甲樓頂的仰角為60°，從甲樓頂望乙樓頂的俯角為30°，則甲、乙兩樓的高分別是________．
[解析] h
甲
＝20·tan60°＝203(m)，h
乙
＝
20·tan60°－20·tan30°＝
403
3
(m)．
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（四）
小結 （計時2分鐘）
小結：
1.解三角形應用題的基本思路:
實際問題――→畫圖抽象
數學問題―――→解三角形數學問題的解――→檢驗
實際問題的解．
2.測量距離問題的兩種類型
關鍵：多觀察及正弦定理、余弦定理的靈活運用 3.拿到一個題目，我們要三步走：
第一步要認真讀題，找出題目中的已知條件和所求問題。
第二步，把所求的邊放到一個三角形中，并觀察該三角形的已知條件能否求解。
第三步，如果條件不足，把所需條件再放到一個已知條件多的三角形中求解。最終得到所求邊長。 希望同學們學習了今天的內容，能夠靈活掌握正弦定理、余弦定理解題的基本分析方法和步驟。并且在遇到現實中一些問題時，能的用我們學到的數學知識加以求解，達到學以致用的效果。
帶領學生一起總結或引導學生自行總結。 時間充裕的話，由學生自行總結。 幫助學生
梳理
知識，
到達系統理解知識
的目的。
（五） 課后作業
同學們課后自己完成12頁課后題1和2. 強調規范答題 要求學生獨立完成 鞏固新知，達到
熟練
運用的目的。
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七、板書設計
八、教學反思
1.本教案為解三角形應用舉例，是對解三角形的較高的應用，難度相應的也有提高；例題選擇典型，涵蓋了解三角形的常考題型，突出了重點方法，并且通過同類型的練習進行鞏固；課后通過基本題、模擬題和高考題對學生的知識掌握進行考查，使本節內容充分落實． 教師要積極引導學生對這些應用問題進行探索，鼓勵學生進行獨立思考，并在此基礎上大膽提出新問題．
2.對于學生不知道如何處理的應用問題，教師通過轉化，使學生能夠理解，需要在練習中加強．
視頻來源：優質課網 www.jjlqy.cn
