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視頻標簽：空間向量,坐標運算
所屬欄目：高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課視頻
視頻課題：人教B版高中數(shù)學(xué)選修2-1第三章3.1.4《空間向量的坐標運算》首都師范大學(xué)附中
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課題 3.1.4 空間向量的直角坐標運算
教學(xué)目標
1、在平面到空間向量運算坐標化的擴展活動中，掌握空間向量的坐標運算，實現(xiàn)向量運算體系的再認識；
2、通過向量的坐標運算獲得空間向量平行和垂直條件的過程中，體會類比、數(shù)形結(jié)合和特殊到一般的思維方法；
3、在探究向量由平面到空間的推廣的小組合作學(xué)習(xí)中，體會向量的科學(xué)和應(yīng)用價值，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運算、直觀想象的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).
教學(xué)重點 空間向量的坐標運算、平行和垂直條件知識的形成. 教學(xué)難點 空間向量的坐標的確定和公式的作用. 教學(xué)方法 啟發(fā)探究式 教學(xué)過程 一、 知識回顧
在平面直角坐標系xOy中，觀察給定的向量OA，起點O(0,0)，終點A（3,2）, 分別取與x軸、y軸同方向的單位向量 ji,構(gòu)成該平面的一組單位正交基底{ji,} ，你能否將OA在向量ji,方向上分解，寫出線性表達式
OA = ，
按照向量的坐標定義得到向量OA的坐標：OA =
師生活動
教師從回顧必修4 平面向量的知識結(jié)構(gòu)開始，對應(yīng)選修2-1所學(xué)空間向量的知識，體會教材的系統(tǒng)化和知識的體系化，關(guān)注教材的同時，也兼顧學(xué)生已有知識認知，從學(xué)生熟悉的知識出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生思考向量的概念、平面向量基本定理、向量在正交單位基底下的坐標表示等知識
引導(dǎo)學(xué)生思考在學(xué)完空間向量的概念、運算和基本定理之后繼續(xù)研究的問題，提出知識形成問題1關(guān)于空間向量如何用直角坐標表示的問題， 設(shè)計目的
引導(dǎo)學(xué)生迅速進入課堂學(xué)習(xí)的狀態(tài)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，嘗試類比學(xué)習(xí)的方法，體會數(shù)學(xué)知識之間的相互聯(lián)系，調(diào)動學(xué)生的數(shù)學(xué)思維活動。
y x 2 1 3
j
O 1 2 iA
二、知識形成
【探究活動一】空間向量的直角坐標定義及運算
問題1：思考在空間直角坐標系 Oxyz中，
)0,0,1(點A，)2,3,0(點B，)2,3,1(點C,你能否畫出向量OA、OB、OC，并嘗試類比出平面向量坐標的定義，得出這三個空間向量的坐標表示..
類比試一試
空間向量的直角坐標定義：
在空間直角坐標系Oxyz中， 分別取 作為空間向量的一組單位正交基底 ，對于任意空間向量p，按照空間向量的分解定理，存在唯一有序是數(shù)組 ，使得p= ，把 就叫空間向量p的坐標.
師生活動
教師提出四個問題，由淺入深引導(dǎo),給學(xué)生參與的機會；學(xué)生積極思考，探究并回答問題. 設(shè)計目的
回顧二維直角坐標系下平面向量的坐標定義，由學(xué)生熟悉的問題層層遞進，引導(dǎo)學(xué)生類比想到三維空間直角坐標系，利用空間向量分解定理：如果三個向量kji,,不共面，那么對空間任一向量p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組,,xyz，使 kzjyixp
。得到空間向量的坐標定
義.是對必修2中空間向量直角坐標系再認識，也是對向量的坐標表示的再認識，進而為研究空間向量的坐標運算和向量平行垂直條件的探究打下鋪墊.
問題2： 定義了平面向量的直角坐標表示后，就可以用坐標來表示平面向量的相關(guān)運算.
那么，我們學(xué)會了空間向量的坐標表示，你覺得空間向量的運算是否也可以坐標化呢？
y
x
2 O 1 3
2 z
A 1
平面向量的直角坐標運算 類比 空間向量的直角坐標運算 若
),(11yxa ，),(22yxb 若 ),,(111zyxa ，),,(222zyxb
ba ba a
ba
【探究活動二】空間向量平行和垂直的條件
問題3：將向量用坐標表示后，可以將幾何問題代數(shù)化，便于運算和分析，同時用運算的結(jié)果可以刻畫研究對象之間的特殊位置關(guān)系，幾何中平行和垂直問題就是我們經(jīng)常研究的問題. 設(shè)空間向量
),,(111zyxa ，),,(222zyxb
共線的坐標表示 a//b)0(bab ； 垂直的坐標表示 ba ；
師生活動
教師提出問題3，引導(dǎo)學(xué)生合作交流；學(xué)生積極思考，踴躍嘗試類比的過程，展示研究的成果.. 設(shè)計目的
設(shè)計目的是給學(xué)生一個將平面向量的坐標運算相關(guān)知識的搜索與整合的過程，所學(xué)知識有較整體的認識，然后給出小組合作交流的問題，讓他們在合作中體會互助在解決問題時的重要性，類比的過程是本節(jié)課的重要的教學(xué)思想方法，關(guān)注知識的形成過程，對于結(jié)論的推導(dǎo)過程可以根據(jù)學(xué)生的認知水平合理掌握控制，選取有代表性的結(jié)論引導(dǎo)學(xué)生課下研究推導(dǎo)，由于有【探究活動一】中問題的鋪墊，學(xué)生應(yīng)該能想到回歸到向量坐標的定義然后再進行推導(dǎo)，可以引導(dǎo)學(xué)生探索研究.
小組合作得出：空間向量坐標運算、向量平行或垂直的條件
三、 知識應(yīng)用
例題1、已知空間中)0,0,1(點
A，)2,3,0(點B，)2,3,1(點C 求： OBOA， AB ， 2BC， OBOA,
設(shè)計目的
以探究活動一中問題1為基礎(chǔ)，進一步體會空間向量坐標的定義，會運用空間向量的坐標運算完成向量的加法、減法、數(shù)乘向量和向量的數(shù)量積運算，理解向量的坐標和向量的起點和終點的坐標之間的聯(lián)系和區(qū)別.注意引導(dǎo)學(xué)生體會向量運算體現(xiàn)的幾何特征，以及向量的坐標運算中體現(xiàn)的代數(shù)方面運算的快捷，并將兩者有機結(jié)合，引導(dǎo)學(xué)生體會數(shù)形結(jié)合的思想方法. 例題2、已知)0,1,1(a，)1,1,1(b，
求向量n, 使得.且,bnan
設(shè)計目的
探究如何求得一個與已知兩個不共線的向量均垂直的空間向量，學(xué)會思考分析問題的方法，進一步體會空間向量垂直的等價條件，為后面學(xué)習(xí)平面的法向量以及空間向量在立體幾何問題中的應(yīng)用做好準備.
四、課堂小結(jié)
引導(dǎo)學(xué)生回顧本節(jié)課學(xué)習(xí)過程，談?wù)勊麄兊氖斋@：學(xué)到了哪些數(shù)學(xué)知識？哪些研究問題的方法？所學(xué)知識有什么價值？
教師在教學(xué)過程滲透向量運算的意義以及向量在學(xué)科和相關(guān)學(xué)科的價值： 五、思考作業(yè)
請你查閱必修2中2.4空間直角坐標系、必修4第二章平面向量知識，思考所學(xué)知識之間的相互聯(lián)系，進一步體會類比學(xué)習(xí)的方法，談?wù)勀銓ο蛄孔鴺诉\算的認識和學(xué)習(xí)感受。
開放性作業(yè)的設(shè)計，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)知識間的相互聯(lián)系，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方法，將學(xué)習(xí)延伸到課外，并且學(xué)會表達自己的感受，提高表達的能力。
六、自我小測
1、已知空間直角坐標系
kjiO,,;，寫出下列向量的坐標： （1）kjia543 （2）kjib352 （3）kic8
（4）jid3
2
21
（5）ie8
2、判斷每對向量是否平行？
（1）)8,0,0(),2,0,
0( （2）)2,0,8(),1,0,4(
3、 已知)0,1,
1(a，)1,1,0(b，)1,0,1(c，bap，cbaq2，
求：p，q，qp.
4、 選修2-1課本93頁習(xí)題3-1A組第6題
七、板書設(shè)計
課題：3.1.4 空間向量的坐標運算
知識結(jié)構(gòu)回顧 【探究活動一】 例題
空間向量的直角坐標定義及運算 【探究活動二】 知識小結(jié) 空間向量平行和垂直的條件
視頻來源：優(yōu)質(zhì)課網(wǎng) www.jjlqy.cn
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