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視頻標(biāo)簽：空間向量,加減運(yùn)算

所屬欄目：高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課視頻

視頻課題：高中數(shù)學(xué)人教A版選修2-1第三章《空間向量及其加減運(yùn)算》滄州

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高中數(shù)學(xué)人教A版選修2-1第三章《空間向量及其加減運(yùn)算》滄州市第一中學(xué)

教學(xué)目標(biāo)
1.知識(shí)目標(biāo):
(1)經(jīng)歷向量及其運(yùn)算由平面向空間推廣的過程;
(2)理解并掌握空間向量的概念,掌握空間向量的集合表示法和字母表示法;
(3)掌握空間向量的加減運(yùn)算及其運(yùn)算律等內(nèi)容.
2.能力目標(biāo):
能夠正確應(yīng)用空間向量的加法交換律和加法結(jié)合律.
3.情感目標(biāo):
承前啟后,感悟數(shù)學(xué)與生活的和諧之美 ,體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化功能與人文價(jià)值.
2學(xué)情分析
本課的學(xué)習(xí)對(duì)象高二學(xué)生,他們已掌握了平面向量坐標(biāo)運(yùn)算及規(guī)律,并學(xué)會(huì)了空間向量的幾何形式及其運(yùn)算;數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較為扎實(shí),學(xué)習(xí)上具備了一定觀察、分析、解決問題的能力,但在探究問題的內(nèi)部聯(lián)系和內(nèi)在發(fā)展上還有所欠缺所以通過教師的引導(dǎo)學(xué)生的自主探索,不斷地完善自我的認(rèn)知結(jié)夠。
3重點(diǎn)難點(diǎn)
(1)教學(xué)重點(diǎn):理解空間向量、掌握加減運(yùn)算;
(2)教學(xué)難點(diǎn):應(yīng)用向量解決立體幾何問題。
4教學(xué)過程
4.1第一學(xué)時(shí)
4.1.1教學(xué)活動(dòng)
活動(dòng)1【導(dǎo)入】從幾何學(xué)的發(fā)展史引入
【師】同學(xué)們好!現(xiàn)在開始我們今天的數(shù)學(xué)課!那么,大家想一想,什么是數(shù)學(xué)呢?我們偉大的革命導(dǎo)師恩格斯在自然辯證法中說過:數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界中數(shù)量關(guān)系和空間形式的學(xué)科,簡(jiǎn)單地說,是研究數(shù)和形的科學(xué)。對(duì)于形,也就是幾何學(xué),大家普遍比較感興趣,因?yàn)樗�比代�?shù)更形象、更具體、更有趣。那大家知道幾何學(xué)的演變史嗎?初中我們學(xué)習(xí)了平面幾何,高中又學(xué)習(xí)了立體幾何,這些都屬于歐式幾何的范疇。那大家知道這里的“歐式”是哪位數(shù)學(xué)家嗎?歐幾里得是古希臘數(shù)學(xué)家,早在公元前300年他就寫成了《幾何原本》,利用公理化的體系研究幾何,《幾何原本》曾經(jīng)一度風(fēng)靡全世界,成為全球銷量第二的書,僅次于《圣經(jīng)》.直到兩千年后的17世紀(jì)初,笛卡爾創(chuàng)立了坐標(biāo)系,成功的將幾何圖形置于坐標(biāo)系中,創(chuàng)立了解析幾何,實(shí)現(xiàn)了我們常說的數(shù)形結(jié)合,這樣,就使得幾何學(xué)更加別開生面了。
直到19世紀(jì)有了向量之后,情況又發(fā)生了改變,向量成為超越坐標(biāo)幾何的有力工具。我們?cè)凇侗匦?》中學(xué)習(xí)了《平面向量》,那你們告訴我,向量可以解決平面幾何的什么問題?
【生】可以證明平行、垂直;求角,求距離。
【師】那么,這一章我們把視野放到空間中,利用空間向量研究立體幾何問題,進(jìn)一步體會(huì)向量帶給我們的奇跡。先來欣賞一下我們生活中的空間向量!
那什么是空間向量呢?我們就從《3.1.1 空間向量及其加減運(yùn)算》來需找答案。
活動(dòng)2【講授】類比平面向量的概念得出空間向量的概念
【師】孔子曰溫故而知新,今天的學(xué)習(xí)就讓我們從“溫故”開始吧!
問題1:請(qǐng)同學(xué)們回憶平面向量的有關(guān)概念。你能類比平面向量,填寫空間向量的有關(guān)概念嗎?
【師】請(qǐng)大家分小組討論,找代表發(fā)言。(學(xué)生活動(dòng))

內(nèi)容	平面向量	空間向量
定義	在平面上,既有大小又有方向的量	在空間,具有大小和方向的量
畫法及其表示	用有向線段畫出來; 表示方式:或	用有向線段畫出來; 表示方式:或
模	有向線段的長(zhǎng)度表示向量的模, 記為或	有向線段的長(zhǎng)度表示向量的模, 記為或
零向量	長(zhǎng)度為零的向量叫做零向量,零向量的方向是任意的	長(zhǎng)度為零的向量叫做零向量,零向量的方向是任意的
單位向量	平面中模為1的向量	空間中模為1的向量
相反向量	平面中長(zhǎng)度相等,方向相反的兩個(gè)向量	空間中長(zhǎng)度相等,方向相反的兩個(gè)向量
相等向量 (同一向量)	平面中方向相同且模相等的向量	空間中方向相同且模相等的向量

【師】大家發(fā)現(xiàn)什么問題?空間向量的概念和平面向量是一樣的,為什么呢?
【生】因?yàn)槠矫媸强臻g的一部分。
【師】這樣,我們就類比平面向量的有關(guān)概念得出了空間向量的概念,其實(shí)高中階段研究數(shù)學(xué)問題時(shí)經(jīng)常用到類比思想,誰(shuí)能給我舉個(gè)例子呢?
【生】類比指數(shù)函數(shù)研究對(duì)數(shù)函數(shù)、類比正弦函數(shù)研究余弦函數(shù)、類比等差數(shù)列研究等比數(shù)列、類比橢圓研究雙曲線,類比求三角形內(nèi)切圓的半徑的方法研究三棱錐內(nèi)切球的半徑等等……
活動(dòng)3【練習(xí)】空間向量概念的練習(xí)
【練一練】判斷下列命題是否正確:
⑴ 且 .( ,兩個(gè)向量不能比較大小,只能比較它們模的大小)
⑵空間中相反向量的模相等. (√)
⑶空間中任何一個(gè)向量與它的相反向量都不相等.( ,零向量與它的相反向量相等)
⑷ .(√)
⑸ .( )
⑹ 且 .(√,向量相等具有傳遞性)
⑺空間中任意兩個(gè)單位向量必相等.( )
⑻若兩個(gè)空間向量相等,則它們的起點(diǎn)、終點(diǎn)相同.( )
活動(dòng)4【講授】空間向量的平移
【師】空間中兩直線的位置關(guān)系有相交、平行、異面,那么空間中兩個(gè)向量有沒有異面的關(guān)系呢?
問題2:空間兩直線有異面關(guān)系,空間兩向量是否也可能異面呢?
【師】既然空間中同向且等長(zhǎng)的有向線段表示同一向量或相等向量,因此空間任意兩個(gè)向量都可以平移到同一平面內(nèi),成為一個(gè)平面內(nèi)的兩個(gè)向量.那么也就是說,以后凡涉及空間兩個(gè)向量的問題時(shí),平面向量中有關(guān)結(jié)論仍適用于它們。
    由于點(diǎn) 可以是空間任意一點(diǎn),所以 確定的平面不是一個(gè),而是一組互相平行的平面的集合。但在解決具體問題時(shí),一般只要在其中一個(gè)平面內(nèi)考慮即可。
【師】在數(shù)學(xué)中引進(jìn)一種量后,一個(gè)很自然的問題就是要研究它們的運(yùn)算。類似于平面向量,我們也可以定義空間向量的加法和減法運(yùn)算。
活動(dòng)5【活動(dòng)】空間向量的加減運(yùn)算
問題3:既然空間中任意兩個(gè)向量都在同一個(gè)平面內(nèi),那么空間向量的加法、減法運(yùn)算是怎樣定義的呢?與平面向量是否一致呢?
【生】由于任意兩個(gè)空間向量都能平移到同一平面,所以空間向量的加減運(yùn)算與平面向量的加減運(yùn)算相同.
 
(1)平面向量、空間向量的加法法則:
①平行四邊形法則:
②三角形法則:“首尾連,指終點(diǎn)”
③幾何意義:如圖中 為平行四邊形的對(duì)角線 ,或 中邊 。
即:
(2)減法法則:“共起點(diǎn),指被減”。
幾何意義:如圖中 為平行四邊形的對(duì)角線 (方向指向被減向量)
即:
【師】研究過向量的加減運(yùn)算之后,我們想:如果兩個(gè)向量不共線,我們能不能在一個(gè)平行四邊形中找到它們的和向量和差向量呢?
【生】可以,恰好是平行四邊形的兩條對(duì)角線
【探究問題】
(1)求三個(gè)、四個(gè),乃至更多個(gè)空間向量的和,如何解決?
(2)若首尾相接的若干向量構(gòu)成一個(gè)封閉圖形,那么這些向量的和等于什么?
【生】(1)求空間若干向量之和,可通過平移將它們轉(zhuǎn)化為首尾相接的向量,這些向量之和等于起始向量的始點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)的向量。
【生】“首尾相接,首尾連”
【生】(2)零向量;
活動(dòng)6【活動(dòng)】加法的運(yùn)算律
【師】研究過向量的加減運(yùn)算之后,接下來我們?cè)撗芯渴裁戳四?
【師】我們知道,數(shù)的運(yùn)算和運(yùn)算律緊密聯(lián)系,運(yùn)算律可以有效的化簡(jiǎn)運(yùn)算。當(dāng)然向量也不例外。
問題4:平面向量的加法有哪些運(yùn)算律呢? 
【生】交換律 ,結(jié)合律
問題5: 空間向量的加法有哪些運(yùn)算律呢? 它的證明哪些與平面向量運(yùn)算律一致,哪些有不同,不同之處又該如何證明?
【師】我們剛才學(xué)習(xí)的加法的平行四邊形法則與三角形法則,都和圖形有關(guān),所以證明運(yùn)算律時(shí)千萬不要忘記畫圖喲!
 
【生】證明空間向量的交換律
證明空間向量的結(jié)合律:
因?yàn)?br /> 所以
證實(shí)了向量的加法滿足結(jié)合律。
 
活動(dòng)7【練習(xí)】例題
例1.如圖,在正方體 中,分別以正方體的頂點(diǎn)為向量的起點(diǎn)和終點(diǎn),求與向量 (均不含向量 本身)
⑴相等的向量的個(gè)數(shù);3個(gè)
⑵相反的向量的個(gè)數(shù);4個(gè)
⑶模相等的向量的個(gè)數(shù)。23個(gè)
 
【師】若是將向量 換為 或 ,這三個(gè)問題你還能解決嗎?這個(gè)問題留作大家課下討論。我們繼續(xù)應(yīng)用空間向量的知識(shí)來解決問題。
 
例2.在平行六面體(底面是平行四邊形的四棱柱)
中,化簡(jiǎn)下列各表達(dá)式,并標(biāo)出化簡(jiǎn)結(jié)果的向量:
(1)
(2)
(3)
 
【師】一般地,三個(gè)不共面的向量的和與這三個(gè)向量有什么關(guān)系?
【生】 始點(diǎn)相同的三個(gè)不共面向量之和,等于以這三個(gè)向量為棱的平行六面體中以公共始點(diǎn)為始點(diǎn)的體對(duì)角線所示向量
活動(dòng)8【作業(yè)】課后作業(yè)
【分層作業(yè)】
⑴鞏固型作業(yè):教材P86 練習(xí)2,3  
⑵探究型作業(yè):
在四面體 中, 的重心為 ,
求證:
與例2比較,你能得出什么結(jié)論,你能從幾何角度給出證明嗎?
 
活動(dòng)9【活動(dòng)】課后總結(jié)
【課堂小結(jié)】(讓學(xué)生發(fā)言)
類比思想、數(shù)形結(jié)合思想

	平面向量	空間向量
概念	具有大小和方向的量
加法 減法 運(yùn)算	加法:三角形法則或平行四邊形法則 減法:三角形法則
運(yùn)算律	交換律 結(jié)合律

 
【師】同學(xué)們,今天我們把以前熟悉的平面向量推廣到了空間向量,這種二維到三維的推廣,讓我們對(duì)向量更深刻的認(rèn)識(shí),我們將在以后的學(xué)習(xí)中進(jìn)一步認(rèn)識(shí)向量、研究向量、應(yīng)用向量,讓向量綻放出更加迷人的光彩。
 

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