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視頻標簽：導數的概念
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：人教A版高中數學選修2-2 1.1.2導數的概念-安徽省 - 蕪湖
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教學目標
知識與技能:
(1)通過實例的分析,理解平均變化率、瞬時變化率的概念;了解平均變化率與瞬時變化率之間的關系;會用瞬時變化率求解導數的值;
(2)通過導數概念的形成過程,了解導數概念的實際背景,體會導數的思想及內涵;
(3)通過觀察和動手實踐培養學生的分析、比較和歸納的能力,并感悟到極限思想.
過程與方法:
(1)通過問題的探究,體會逼近、類比、以已知求未知、從特殊到一般的數學思想方法;
(2)通過問題的探究,培養學生的探究意識和探究方法.
情感、態度與價值觀:
(1)通過導數概念的學習,體驗和認同“有限和無限對立統一”的辯證觀點,接受用運動變化的辯證唯物主義思想處理數學問題的方法;
(2)通過了解導數產生的歷史及它在實際生活、生產和科研中的廣泛應用及巨大作用,認識學習導數的必要性,從而激發學生學習導數的興趣.
2學情分析
本節課的授課對象是理科實驗班學生,學生已較好地掌握了函數的知識,又學過了直線的方程,并積累了一定的關于函數變化率的經驗;另外,學生思維較活躍,對數學新內容的學習,有相當的興趣和積極性,這為本課的學習奠定了基礎.但導數概念建立在極限基礎之上,超乎學生的直觀經驗,抽象度高;再者,本課內容思維量大,對類比歸納,抽象概括,聯系與轉化的思維能力有較高的要求,學生學習起來有一定難度.本節課旨在提升學生的思維能力,讓學生理解導數的概念,并根據學生的實際情況做一定的深入探究。
3重點難點
教學重點:導數概念的形成過程及導數概念的內涵.
教學難點:對導數概念的理解.
4教學過程
4.1第一學時
4.1.1教學活動
活動1【導入】創設情境
1、回憶物理中學習過的打點計時器是怎么測量速度的——以較小時間范圍內的平均速度代替瞬時速度.
回憶平均變化率的概念與公式.
2、播放10m跳臺跳水錄像片段.
3、奇怪的平均速度:
在10米高臺跳水運動中,運動員相對水面的高度h(單位:m)與起跳后的時間t(單位:s)存在函數關系:
.
計算運動員在 這段時間里的平均速度.
思考下面的問題:
(1)運動員在這段時間里是靜止的嗎?
(2)運動員在 時,速度為0嗎?
(3)用平均速度描述運動員的運動狀態有什么問題嗎?
直觀的展示該函數的圖象同時從物理角度解釋.
以學生所了解的打點計時器、高臺跳水開題,引發學生的學習興趣.
新問題:平均速度為“0”?
引起學生的興趣. 讓學生帶著問題走進課堂,激發學生求知欲.
教師引導學生回憶打點計時器的工作原理,體會平均速度與瞬時速度.
教師引導學生觀看跳水的軌跡及速度變化.
教師拋出三個思考題.
一學生答題,其他學生補充;
教師總結. 引入新課.
活動2【講授】引導發現
在跳水運動中,平均速度不能反映他在這段時間里運動狀態,需要用瞬時速度描述運動狀態.我們把物體在某一時刻的速度稱為瞬時速度.
知道了瞬時速度的概念,那么在高臺跳水運動中,如何求(比如,t=2)運動員的瞬時速度?
幾何畫板簡單地直觀展示,再做代數推導.
不妨先考察t=2附近的情況,可以分為t=2之前或者之后的區間,記作[2+ ,2] 、[2,2+ ]
>0時,在2s到(2+Δt)s這段時間內平均速度
培養學生的探究意識和探究方法,培養學生的動手操作能力.
教師利用幾何畫板就行直觀展示,讓學生發現問題.
教師引導學生運用平均變化率公式計算平均速度
<0時,在(2+ )s 到2s這段時間內平均速度
圖表展示隨著△t越來越趨向于0
平均速度的變化.
思考:當 趨近于0時,平均速度 有什么樣的變化趨勢?
結論:當 趨近于0時,即無論 從小于2的一邊,還是從大于2的一邊趨近于2時,平均速度 都趨近于一個確定的值 .
從物理的角度看,時間 間隔無限變小時,平均速度 就無限趨近于瞬時速度,因此,運動員在 時的瞬時速度是
為了表述方便,我們用
表示“當 , 趨近于0時,平均速度 趨近于定值 ”
小結:局部以勻速代替變速,以平均速度代替瞬時速度,然后通過取極限,從瞬時速度的近似值過渡到瞬時速度的精確值.
進而思考:
1.運動員在某一時刻 t0 的瞬時速度怎樣表示?
2.函數 在 處的瞬時變化率怎樣表示?
感受變化,動手探究.
借助直觀的數據,歸納、探求導數的概念.
培養學生的探究意識和探究方法,培養學生的動手操作能力
培養學生從特殊到一般的推理能力和思維能力.
掃清了學生的思維障礙,更好地突破了教學的重難點,體驗數學的簡約美.
教師講解數據的變化. 教師引導學生完成某時刻的瞬時速度的表示的推導
教師講解,分析
全體同學筆練,一學生回答.教師講解.
活動3【講授】定義理解
、定義:
我們稱它為函數 在 處的導數,記作 或 ,即
定義剖析:
(1) 與 的值有關, 不同, 其導數值一般也不同.
(2)瞬時變化率與導數是同一概念的兩個名稱.
(3)導數是研究點 處及其附近函數的改變量 與自變量的改變量 之比的極限,它是一個局部性的概念,若 在存在且為一個定數,則函數 在 處有導數,否則就沒有.
2、求導步驟.
(1)求增量:
(2)求比值:
(3)求極限:
注意:這里的增量不是一般意義上的增量,它可正也可負.自變量的增量 的形式是多樣的,但不論 選擇 哪種形式, 也必須選擇與之相對應的形式.
思考:設函數f(x)在點 處可導,
?
?
水到渠成,揭示本質.
結合具體問題的實際意義,抽象出導數的概念.
由淺入深、由易到難、由特殊到一般,完成思維的飛躍.
提高學生對導數求解公式的認識和思辨能力.
教師展示課件,板書、講解要點:
瞬時變化率即導數的概念.
師生共同回憶、歸納求導的步驟,教師板書主要步驟.
學生討論、動手操作完成
活動4【導入】簡介背景
簡介導數產生的歷史背景.
兩類問題直接導致了導數的產生:一是根據物體的路程關于時間的函數求速度與加速度,二是求已知曲線的切線.
導數是微積分的一部分,微積分的奠基人是牛頓和萊布尼茲,他們分別從運動學和幾何學角度的來研究微積分.微積分
成為十七世紀最偉大的數學發現.
感受導數在解決實際問題中的作用,了解微積分的文化價值.
教師簡單介紹導數產生的背景及生活生產中的作用.
活動5【活動】講解例題
例題:將原油精煉為汽油、柴油、塑膠等各種不同產品,需要對原油進行冷卻和加熱,如果第 時,原油的溫度(單位: )為 ,計算第 時和第 時,原油溫度的瞬時變化率,并說明它們的意義.
強調求導數的基本步驟,鞏固導數的概念.
教師示范“2h”時的解題過程.
全體同學筆練求“6h”.
活動6【練習】自主探究
提高學生應用知識、動手操作、解決問題的能力.
深化思維能力,提高數學興趣.
教師引導學生思考,分情況討論,再按照導數的定義解釋是否有導數.
已學知識的練習使用.
請學生思考,課上或課下嘗試完成.
活動7【活動】歸納小結
1、瞬時速度的定義
2.導數(瞬時變化率)的定義
3.求導數的步驟
重點知識回顧
師生共同總結
歸納已學知識
活動8【作業】布置作業
必做題:
1、課本習題1.1A組 3,4
2、預習導數的幾何意義
選做題:
探索完成:
課后作業
鞏固知識
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