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視頻標簽：導數的概念
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：人教A版高二數學選修2-2 1.1.2導數的概念-貴州省優課
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教學基本信息
課題 《導數的概念》 學科 高中數學
學段：選修2-2
年級
高二
教材
書名：普通高中課程標準實驗教科書 出版社：人民教育出版社 出版日期：2007年2月
指導思想與理論依據
概念是反應一類事物的本質屬性的思維形式，是數學思維的一個基本單位，概念的掌握一般是通過概念的形成和概念的同化。數學概念是人腦對現實對象的數量關系和空間形式的本質特征的一種反應形式，即一種數學的思維形式。在數學中，作為一般的思維形式的判斷與推理，以定理、法則、公式的方式表現出來，而數學概念則是構成它們的基礎。正確理解并靈活運用數學概念，是掌握數學基礎知識和運算技能、發展邏輯論證和空間想象力的前提。許多數學概念需要用數學符號來表示。數學符號是表達數學概念的一種獨特方式，對學生理解和形成數學概念起著極大的作用，它把學生掌握數學概念的思維過程簡約化、明確化了。許多數學概念的定義就是用數學符號來表達，從而增強了科學性。
在上述理念指導下，本節課的概念從實際問題出發，在對具體問題的解決過程中，讓學生體驗概念的形成過程，遵循學生的認知規律，注重提高學生的數學思維能力。
教學背景分析
教學內容：
本節課的教學內容選自人教社普通高中課程標準實驗教科書（A版）數學選修2-2第一章第一節的《變化率與導數》，這一小節分“變化率問題”、“導數的概念”、“導數的幾何意義”三個部分展開，大約需要3個課時，本節課是第二課時的內容。
《普通高中數學課程標準》指出：微積分的創立是數學發展中的里程碑，它的發展及廣泛應用開創近代數學過渡的新時期，它為研究變量與函數提供了重要的方法和手段。導數的概念是微積分的核心概念之一，它有及其豐富的實際背景和廣泛的應用。在本模塊中，學生將通過大量實例，經歷由平均變化率到瞬時變化率刻畫現實問題的過程，理解導數含義，體會導數的思想及其內涵；應用導數探索函數的單調性、極值等性質及其在實際中的應用，感受導數在解決數學問題和實際問題中的作用，體會微積分的產生對人類文化發展的價值。
導數的概念對函數知識的深化，為以后研究導數的幾何意義及其應用打下必備的基礎，是我們今后學習微積分的基礎，具有承前啟后的重要作用。同時，導數在物理學、經濟學等領域都有廣泛的應用，是開展科學研究必不可少的工具。
基于此，確定本節課的教學重點是導數概念的形成。 學生情況：
學生已較好地掌握了一些函數的基本性質，函數的平均變化率以及高一物理學中平均速度、瞬時速度，并累積了大量的關于函數變化率的經驗；另外，高二年級的學生思維較活躍，并具有一定歸納、概括、類比、抽象思維能力；對導數這一新鮮的概念，具有強烈求知欲和渴望探究的積極情感態度，這位本節課的學習奠定了基礎。
由于瞬時變化率就是導數，又是用平均變化率“無限接近”進行研究，而“無限”是非常抽象的，是學生首次接觸，要求學生既要具備一定的直觀感悟能力，又要具有較高的抽象思維能力，這是本節課學習必備的認知基礎。
基于此，確定本節課的教學難點是導數概念的理解。 教學方式：
本節課采用啟發講授，小組合作探究，類比學習等教學方法，引導學生在形成導數概念的同時，體會數學學習的一些常用方法，如從具體到抽象，從特殊到一般，類比等。
教學手段：
多媒體、geogebra動畫演示、希沃授課助手軟件投影 技術準備
制作PPT、geogebra軟件、希沃授課助手軟件
教學目標
1、通過求運動物體的瞬時速度和切線的斜率，讓學生體會引入導數概念的必要性，了解導數概念的實際背景，知道函數的瞬時變化率就是導數； 2、能根據導數的定義，求一個簡單函數在某點處的導數；
3、在概念形成的過程中，培養學生的抽象思維能力和幾何直觀能力。
4、通過課前收集牛頓、萊布尼茨資料，了解相關的數學史，激發學生對數學史的興趣 教學過程（表格描述） 教學階段 教師活動
學生活動 設計意圖
課前安排預學
課前安排學生預學本節知識，閱讀課本61頁《走進微積分》，并上網查閱牛頓、萊布尼茨生平簡介，以及他們創立微積分的起始問題是什么？有何差異？
讓學生將上網查閱的資料做成word文檔并打印出來
通過查閱資料（數學史的發展），讓學生了解導數產生的背景，激發學生對數學史的興趣。
引 入 新 課
同學們，你們的課前任務落實得怎樣呢？哪個小組可以將你們的成果給我們展示一下？（選一個小組的成果，用希沃軟件展示給大家看，提出兩位數學家創立微積分的起始問題）
學生將收集的資料上交給老師
引出本節課的思路：從兩個實際問題----求瞬時速度和切線斜率入手研究導數的概念
概念的形成
1. 求自由落體物體的瞬時速度
例1、已知物體做自由落體運動，運動方程為2
)(2
1gtst
，求物體在t=2s時的瞬時速度。（其中
2/10smg）
數據如下表： 時間區間 間隔t
平均速度
v
21.9， -0.1 19.5
21.99， -0.01 19.95 21.999， -0.001 19.995 21.9999， -0.0001
19.9995
21.99999，
-0.00001 19.99995
... ...
...
時間區間 間隔t 平均速度
v
2.12， 0.1 20.5
2.012， 0.01 20.05
2.0012， 0.001 20.005
2.00012， 0.0001 20.0005
2.00001
2，
0.00001 20.00005 前三組同學計算
2s前的三個區間內的平均速度，后四組同學計算兩秒后的三個區間的平均速度
區間t22，上的平均速度：
t
ssvt
）
（2)2(=205t
（可以將時間間隔代入上式計算
平均速度，計算
更加簡便。）
通過計算2s后和
2s前的6個區間
的平均速度猜想
以下幾個區間的
平均速度
學生小組合作、
探究后抽取小組代表展示其討論
結果 ①
問題具體化，學生在計算的過程中感受逼近的趨勢
通過已知區間的平均速度數據特征猜想其他區間的數據特征，進一步體會逼近的思想
學生在小組合作交流中，經歷觀察、分析、歸納、發現規律的過程，體會瞬時速度的含義
根據上述表格提出問題： 1、當t 趨近于0時，平均速度v
有什么樣的變化趨勢？
2、運動物體在2s時刻的瞬時速度是多少？理由是什么？用數學式子
表示這個過程. 3、運動物體在 時刻的瞬時速度怎樣表示？
總結上面解決問題的方法。 再將這個過程一般化，公式化。 （與學生一起完成）
ttsttsvxt)
()(lim
0
00
0
2、 求 切 線 的 斜 率 例2、求拋物線 2
yx 在點
(1,1)P 處的切線方程。
圖1
圖2
那究竟怎樣定義曲線的切線呢？
老師邊講邊畫:圓的切線動一動，一不小心就變成割線，這樣一個公共點就一分為二，變成兩個公共點！反過來，割線和圓的兩個交點，如果慢慢靠近，直到合二為一，割線就變成了切線！
（用geogebra動態演示這個過程）
通過割線找切線，具有一般性嗎？能用來找其它曲線的切線斜率嗎？
思考：
1、初中我們是怎么定義圓的切線的？
2、怎樣求拋物線的切線？
3、指出圖1中的虛線是該拋物線的切線嗎？
4、圖2中的直線是不是曲線的切線？
模仿這個過程，通過實驗觀察：過拋物線上一點P和點Q作割線，再讓Q向P靠攏，當Q和P重合的時候，割線就變成了切線。 仿照求瞬時速度。用字母表達這一過程。
② 比較①、②兩個式子，看看有什么共同特征？
提出問題，激發學生
的求知欲
通過觀察圖形，讓學生得到矛盾，從而尋找新的解決方法。
引導學生體會用割線求曲線的切線的過程
xxgxxgkx)()(lim0
0
0
給 出 定 義
師生共同寫出導數的定義： 一般地，函數y=f(x)在 0xx 處的
瞬時變化是：
我們稱它為函數y=f(x)在
0xx處
的導數記作0)(|'0xxyfx或
得出導數的定義
舍棄這兩個問題的實際意義，抽象為數學問題，定義導數。
概念理解
利用割線變切線的思路，求拋物線
2yx在點(1,1)P處的切線方程。
動手親自體驗利用割線求切線的方法。學生自主完成，抽取一位同學講解他的解答過程：
22(1)1PQ
xkx
x
xkx2
201)1(lim
xxxx2lim20)2(lim0
xx
2
體會導數的定義，同時給學生展現自我的機會。
鞏
固 練 習
例2、將原油精煉為汽油、柴油、塑膠 等各種不同產品，需要對原油進行冷卻和加熱，如果在第 x h時，原油的溫度
（單位℃ ）為
2
()715(08)yfxxxx
計算第2h與第6h時，原油溫度的瞬時變化率，并說明它們的意義。
教師引導計算出2h的瞬時變化率，并多媒體演示其書寫過程。強調先算平均變化率：
x
y
，后取極限：
xyx0lim
和老師一起完成
3')2(f
獨立完成：
)6('f？
并說明其實際意
義。
學生自己演算，老師抽取一名同學的計算過程用多媒體展示，并請該同學上臺解說自己的解答過程。
熟悉導數的定義，進一步鞏固導數的計算方法
xy
xxfxxfxx0000
lim)()(lim
課堂小結
1、平均速度抽象出平均變化率； 2、平均速度逼近（求極限）得到瞬時速度；
3、割線斜率逼近（取極限）得到切線斜率；
4、瞬時速度、切線斜率抽象出函數的瞬時變化率即導數
5、函數在某點處的導數的定義
教師利用流程圖的形式展示給學生看。
師生一起總結本節課內容
知識梳理，幫助學生形成知識脈絡，思路更清晰。
布置作業
完成本節內容的固學案
認真完成作業
檢查上課效果，學生掌握情況.
本教學設計的特點
1、對教學內容的組合。本節課從兩個問題入手，一是物理學中運動物體的瞬時速度，另一個是幾何學中的切線的斜率，由它們的共同特征得到導數的概念。既從實際出發，又能激發學生的學習興趣。
2、兩個例子能反應微積分產生的背景。牛頓從運動學的速度問題入手，創立了微積分，萊布尼茨從幾何學的切線問題入手，創立了微積分。
3、本節課的教學，充分體現了現代化教學的優勢，在教學中，利用PPT輔助教學，提高了教學效率；使用geogebra動畫演示圖形，不僅直觀，而且增加了學生的學習興趣，希沃授課助手在課堂上的使用可以展示學生的作品，演示PPT更加方便。
4、課前安排學生收集牛頓、萊布尼茨的資料，以及微積分的創立等相關數學史，激發學生對數學史以及本節課的興趣。
5、教學過程中，學生小組合作探究，上臺展示，發表自己的見解，充分體現以生為本的教學理念，學生充分參與概念形成過程、體驗過程。
視頻來源：優質課網 www.jjlqy.cn
