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視頻標簽：導數的概念
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：人教A版高中數學選修2-2 1.1.2導數的概念第二課時-四川省優課
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導數的概念的教學設計
人教社·普通高級中學教科書（選修Ⅱ） 第三章第一節《導數的概念》（第二課時）
一、教材分析
1.1編者意圖 《導數的概念》分成四個部分展開，即：“曲線的切線”，“瞬時速度”，“導數的概念”，“導數的幾何意義”，編者意圖在哪里呢？用前兩部分作為背景，是為了引出導數的概念；介紹導數的幾何意義，是為了加深對導數的理解.從而充分借助直觀來引出導數的概念；用極限思想抽象出導數；用函數思想拓展、完善導數以及在應用中鞏固、反思導數，教材的顯著特點是從具體經驗出發，向抽象和普遍發展，使探究知識的過程簡單、經濟、有效.
1.2導數概念在教材的地位和作用 “導數的概念”是全章核心.不僅在于它自身具有非常嚴謹的結構，更重要的是，導數運算是一種高明的數學思維，用導數的運算去處理函數的性質更具一般性，獲得更為理想的結果；把運算對象作用于導數上，可使我們擴展知識面，感悟變量，極限等思想，運用更高的觀點和更為一般的方法解決或簡化中學數學中的不少問題；導數的方法是今后全面研究微積分的重要方法和基本工具，在在其它學科中同樣具有十分重要的作用；在物理學，經濟學等其它學科和生產、生活的各個領域都有廣泛的應用.導數的出現推動了人類事業向前發展.
1.3 教材的內容剖析 知識主體結構的比較和知識的遷移類比如下表： 表1. 知識主體結構比較
對 象 內 容 本 質 符號語言
數學思想 現有
認知 結構 曲線
y=f(x)
切線的斜率
割線斜率的極限
極限思想
物體運動規
律
S=s(t)
物體的瞬時 速度 平均速度的極限
極限思想 函數思想 最近 發展 區
函數 y=f(x)
導函數 （導數）
平均變化率的極限
極限思想 函數思想
表2. 知識遷移類比（導數像速度） 已有認知結構
最近發展區
相似點
物體在t0時刻的速度．． 函數f(x)在x0處的導數．．
特指
常數 物體的任意時刻．．．．t的
速度 函數f(x)在開區間內．．．． 泛指 是函數（變
量） 瞬時速度
↓
一般說成速度
導函數
↓
一般說成導數
名稱對應 泛指 v=v(t) 關系對應 v0=v|t=t0
求法對應
位移對時間的變化率．．． 函數對自變量的變化率．．．
本質對應
通過比較發現：求切線的斜率和物體的瞬時速度，這兩個具體問題的解決都依賴于求函數的極限，一個是“微小直角三角形中兩直角邊之比”的極限，一個是“位置改變量與時間改變量之比”的極限，如果舍去問題的具體含義，都可以歸結為一種相同形式的極限，即“平均變化率”的極限.因此以兩個背景作為新知的生長點，不僅使新知引入變得自然，而且為新知建構提供了有效的類比方法.
1.4 重、難點剖析
重點：導數的概念的形成過程. 難點：對導數概念的理解.
為什么這樣確定呢？導數概念的形成分為三個的層次：f(x)在點x0可導→f(x)在開區間（ ，b）內可導→f(x)在開區間（ ，b）內的導函數→導數，這三個層次是一個遞進的過程，而不是專指哪一個層次，也不是幾個層次的簡單相加，因此導數概念的形成過程是重點；教材中出現了兩個“導數”，“兩個可導”，初學者往往會有這樣的困惑，“導數到底是個什么東西？一個函數是不是有兩種導數呢？”，“導函數與導數是怎么統一的？”.事實上：（1）f(x)在點x0處的導數是這一點x0到x0+△x的變化率
的極限，是一個常數，區別于導函數. （2）f(x)的導
數是對開區間內任意點x而言，是x到x+△x的變化率
的極限,是f(x)在任意點
的變化率，其中滲透了函數思想. （3）導函數就是導數！是特殊的函數：先定
義f(x)在x0處可導、再定義f(x)在開區間（ ，b）內可導、最后定義f(x)在開區間的導函數. （4）y= f(x)在x0處的導數就是導函數 在x=x0處的函數值，表示為 這也是求f′(x0)的一種方法.初學者最難理解導數的概念，是因為初學者最容易忽視或混淆概念形成過程中幾個關鍵詞．．．．．的區別和聯系，會出現較大的分歧和差別，要突破難點，關鍵是找到“f(x)在點x0可導”、“f(x)在開區間的導函數”和“導數”之間的聯系，而要弄清這種聯系的最好方法就是類比！用“速度與導數”進行類比.
二、目的分析
2.1 學生的認知特點. 在知識方面，對函數的極限已經熟悉，加上兩個具體背景的學習，新知教學有很好的基礎；在技能方面，高三學生，有很強的概括能力和抽象思維能力；在情感方面，求知的欲望強烈，喜歡探求真理，具有積極的情感態度.
2.2 教學目標的擬定. 鑒于這些特點,并結合教學大綱的要求以及對教材的分析,擬定如下的教學目標:
知識目標：①理解導數的概念.
②掌握用定義求導數的方法.
③領悟函數思想和無限逼近的極限思想.
能力目標：①培養學生歸納、抽象和概括的能力.
②培養學生的數學符號表示和數學語言表達能力.
情感目標：通過導數概念的學習，使學生體驗和認同“有限和無限對立統一”
的辯證觀
點.接受用運動變化的辯證唯物主義思想處理數學問題的積極態度.
三、過程分析
設計理念：遵循特殊到一般的認知規律，結合可接受性和可操作性原則，把教學目標的落實融入到教學過程之中，通過演繹導數的形成,發展和應用過程，幫助學生主動建構概念.
引導激趣 概括抽象 互動導標 類比拓展
分層作業
引導小結
回歸體驗
概念導析
3.1 引導激趣
設計意圖：創設情景，提出課題.演示曲線的割線變切線的動態過程，為學
生提供一個
聯想的“源”，從變量分析的角度，巧妙設問，把學習任務轉移給學生.
問題：割線的變化過程中，
①△x與△y有什么變化？② 有什么含義？③ 在△x→0時是否存在極
限？
3.2 概括抽象
設計意圖：回顧實際問題，抽象共同特征，自然提出：f(x)在x0處可導的定．義．
，完成“導 數”概念的第一層次.
曲線的切線的斜率 抽象 舍去問題的具體含義
歸結為一種形式相同的極限 即
f′(x0)= =
（在黑板上清晰完整的板書定義，并要求學生表述、書寫，以培養學生的數學符號表示和數學語言表達能力.）
3.3 互動導標
設計意圖：設置兩個探究問題，分析不同結果的原因，并引導學生提出新的問題或猜想，鼓勵學生進行數學交流，激發學生進一步探究的熱情，從而找到推進解決問題的線索——提出：f(x)在開區間（ ，b）內可導的定義，完成“導數概念”的第二個層次..
定義：函數f(x)在開區間．．( ，b)內每一點可導．．．．．．，就說f(x)在開區間．．．．( ，b)內可．．導．
. 3.4 類比拓展
設計意圖：回顧“瞬時速度的概念”，滲透類比思想和函數思想．．．．．．．．．．．.讓學生產生聯想，拓展出：f(x)在開區間（ ，b）內的導函數的定義，完成“導數”概念的第三層次.
已有認知：
物體在時刻t0的速度：
物體在時刻t的速度．．
新認知：
函數f(x)在開區間．．( ，b)內每一點可導．．．．．．，就說f(x)在開區間．．．．( ，b)內可導．．．. 點撥：映射→函數
對于（ ，b）內每一個確定的值x0，對應著一個確定的導數值 ，這樣就在開區間（ ，b）內構成一個新函數
導函數（導數）
3.5 概念導析
設計意圖：引導學生用辨析和討論的方式，反思導數概念的實質，從而突破難點，促成學生形成合理的認知結構.
辨析：（1）f′(x0)與 相等嗎？
（2）
與f′(x0) 相等嗎？試討論:f′(x0)與 區別與聯系.
反思：“f(x)在點x0處的導數”，“f(x)在開區間（ ，b）內的導函數”和“導數”之間的區別和聯系.
板書：導數概念主體結構示意圖
f(x)在點x0處可導
↓
f(x)在開區間（ ，b）內可導
↓
f(x)在開區間（ ，b）內的導函數
↓ 導數
3.6 回歸體驗——體現“導數”的應用價值
設計意圖：通過隨堂提問和討論例題，增強師生互動，讓學生在 “做”中“學”，體驗求導的結果表示的實際意義，體驗導數運算的作用,體會用導數定義求導的兩種方法,產生認可和接受“導數”的積極態度,并養成規范使用數學符號的習慣.
想一想：（1）導數的本質是什么？你能用今天學過的方法去解決上次課的問題嗎？（第109頁練習1、2，第111頁練習1、2）有什么感想？
（2）“切線的斜率”、“物體的瞬時速度”的本質都是什么？怎樣表示？
k= 或k= v0＝ 或 v=
（3）導數還可以解決實際生活中那些問題？你能舉例說明嗎？ 3.7引導小結
設計意圖：引導學生進行自我小結，用聯系的觀點將新學內容在知識結構、
思想方法等
方面進行概括，鞏固新知，形成新的認知結構.
知識結構：
（1）導數的概念（語言表達；符號表示；“f(x)在點x0處的導數”，“導函數”
和“導數”
之間的聯系和區別.）；
（2）主要數學思想：極限思想、函數思想；
（3）用定義求導的方法，步驟； （4）導數的作用.
視頻來源：優質課網 www.jjlqy.cn
