視頻簡介：
視頻標(biāo)簽：單調(diào)性
所屬欄目：高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課視頻
視頻課題：高中數(shù)學(xué)必修13.2.1單調(diào)性與最大小值第2課時教學(xué)設(shè)計_巢湖
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高中數(shù)學(xué)必修13.2.1單調(diào)性與最大小值第2課時教學(xué)設(shè)計_巢湖
課題：3.2.1單調(diào)性與最大（小）值
(第2課時)
一、內(nèi)容和內(nèi)容解析
1.內(nèi)容
函數(shù)的最大值、最小值
2.內(nèi)容解析
上一課時我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最大值、最小值可以看成是函數(shù)單調(diào)性的一個“派生”性質(zhì)，只要在討論函數(shù)單調(diào)性的基礎(chǔ)之上，從大小關(guān)系上進一步確定函數(shù)值中的最大或最小者即可.不過，這個性質(zhì)非常實用，在具體確定這個值的時候還需要進行一番數(shù)學(xué)運算.
基于以上分析，確定教學(xué)重點：函數(shù)最大值、最小值的定義及應(yīng)用；
二、目標(biāo)和目標(biāo)解析
1.目標(biāo)
（1）借助函數(shù)圖象，會用符號語言表達函數(shù)的最大值、最小值，理解它們的作用和實際意義；
（2）能夠解決簡單的最優(yōu)化問題.
2.目標(biāo)解析
達成上述目標(biāo)的標(biāo)志是：
（1）知道求函數(shù)最大值、最小值的基本步驟，會用最大值、最小值定義求函數(shù)的最大值、最小值；
（2）能舉例說明解決簡單最優(yōu)化問題的一般步驟；
（3）經(jīng)歷從圖象直觀到自然語言描述再到符號語言表達最大值、最小值的過程，感受符號語言的作用和力量.
三、教學(xué)問題診斷分析
我們知道，語言學(xué)習(xí)的基本規(guī)律是“示范-模仿-熟練應(yīng)用”，因此，函數(shù)的最大值、最小值宜采用“規(guī)-例”法教學(xué)，設(shè)置概念同化與概念形成相結(jié)合的學(xué)習(xí)過程，即先由教師在具體情境中示范如何用符號語言表達函數(shù)的最大值，再讓學(xué)生模仿著表達函數(shù)的最小值，在熟悉相應(yīng)的符號語言表達方式的基礎(chǔ)上，再給出嚴格的定義，并在結(jié)合單調(diào)性求具體函數(shù)最大值、最小值的過程中，更深入地理解符號語言.
根據(jù)以上分析，確定教學(xué)難點是：函數(shù)最大值、最小值的符號表示及存在性.
四、教學(xué)支持條件分析
利用信息技術(shù)工具GeoGebra繪制函數(shù)圖象.
五、教學(xué)過程設(shè)計
引導(dǎo)語：上一節(jié)課我們研究了函數(shù)的單調(diào)性，研究的路徑是:圖象直觀描述——數(shù)量關(guān)系刻畫——符號語言表達.具體研究時，我們采取從具體到抽象的方法，從一些具體函數(shù)的研究中歸納共性，再抽象成定義.本節(jié)課仍按這一路徑研究函數(shù)的最大值、最小值問題.
環(huán)節(jié)一 抽象概括，形成概念
問題1：觀察函數(shù)
的圖象，可以發(fā)現(xiàn)，除了單調(diào)性以外，還有一些其他的特征，例如它有一個最低點，而且這個點其實是與函數(shù)的單調(diào)性有關(guān)系的.我們把與這個點有關(guān)的特征梳理成表1左邊欄的內(nèi)容.對于函數(shù)
，你能仿照
的情況填寫該表的右邊欄嗎?
表1
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函數(shù) |
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圖象特征 |
圖象上有一個最低點 |
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數(shù)量刻畫 |
其他點的縱坐標(biāo)都不小于該點的縱坐標(biāo) |
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符號語言 |
 ,都有 |
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結(jié)論 |
函數(shù) 有最小值 |
|
師生活動：學(xué)生自主完成，再分組選學(xué)生代表進行全班展示、交流，給出正確結(jié)果.
追問1：函數(shù)
有最大值嗎？為什么？
師生活動：學(xué)生獨立完成后 ，由學(xué)生代表發(fā)言,給出正確答案.因為不存在最大的負數(shù)，所以這個函數(shù)沒有最大值.
追問2：函數(shù)
有最大值嗎？為什么？
師生活動：學(xué)生獨立完成后 ，由學(xué)生代表發(fā)言,給出正確答案.
因為當(dāng)
時，
；又
，所以，
都有
.所以該函數(shù)有最大值
.
設(shè)計意圖：通過具體函數(shù)的分析,積累感性經(jīng)驗,為形成定義做鋪墊.通過正反兩方面的例子，幫助學(xué)生理解函數(shù)存在最大值、最小值的充要條件.
問題2：你能歸納上述幾個例子的共性，類比用符號語言表達單調(diào)性的方式，用符號語言表達函數(shù)
的最大值嗎?請你給出自己的定義，然后與教材80頁的相關(guān)內(nèi)容對照.
師生活動：學(xué)生先給出自己的定義，再與教科書中相關(guān)內(nèi)容對照，檢查、完善.
追問：你能仿照函數(shù)最大值的定義給出函數(shù)
的最小值的定義嗎?
師生活動：由學(xué)生類比完成.
設(shè)計意圖：借鑒函數(shù)單調(diào)性的研究經(jīng)驗，從具體到一般抽象出函數(shù)最大值的定義，并類比得出函數(shù)最小值的定義.
問題3：設(shè)函數(shù)
的定義域是
.如果
在區(qū)間
上單調(diào)遞減，在區(qū)間
上單調(diào)遞增，畫出
的一個大致圖象，從圖象上可以發(fā)現(xiàn)
是函數(shù)的一個 .
師生活動：學(xué)生先畫
的一個大致圖象，組內(nèi)對比，交流，得出結(jié)論.
追問：你能找到
的最大值嗎?
設(shè)計意圖：通過圖象直觀定性分析，提升至對函數(shù)最值性質(zhì)更高層次的理解，得出定量刻畫.同時，讓學(xué)生體會到函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì)，而函數(shù)的最值是函數(shù)在整個定義域上的整體性質(zhì).
環(huán)節(jié)二 初步應(yīng)用，理解定義
例1“菊花”煙花是最壯觀的煙花之一.制造時一般是期望在它達到最高點時爆裂.如果煙花距地面的高度
（單位:
)與時間
(單位:
)之間的關(guān)系為
,那么煙花沖出去后什么時候是它爆裂的最佳時刻?這時距地面的高度是多少(精確到
)?
師生活動：先讓學(xué)生讀題、分析題意，教師可以通過問題引導(dǎo)學(xué)生思考，例如，題中的函數(shù)關(guān)系描述了實際問題中哪兩個量之間的對應(yīng)關(guān)系?什么是“爆裂的最佳時刻”?依據(jù)函數(shù)的哪個性質(zhì)求解?再由學(xué)生獨立求解，然后進行全班展示、交流.
本題中的函數(shù)關(guān)系描述了實際問題中煙花距地面的高度
（單位:
)與時間
(單位:
)之間的關(guān)系。“爆裂的最佳時刻”就是煙花軌跡最高點對應(yīng)的時間，因此該實際問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最大值問題.
追問：你能說說計算煙花爆裂最佳時刻的實際意義嗎?
師生活動：學(xué)生獨立思考、作答.有了這個時間點，煙花設(shè)計者就可以設(shè)定其他的一些相關(guān)因素的參數(shù)，例如延時引信的長度、發(fā)射管的推進燃料量、煙花藥劑量等，以達到施放煙花的最佳效果.讓學(xué)生課后查閱一些相關(guān)資料了解煙花的有關(guān)制作原理.
設(shè)計意圖：體會函數(shù)模型的現(xiàn)實應(yīng)用，利用函數(shù)性質(zhì)即可進行有效的規(guī)劃和設(shè)計,感受函數(shù)的應(yīng)用價值.
例2已知函數(shù)
，求函數(shù)的最大值和最小值.
師生活動：學(xué)生先獨立進行題意分析，再交流解題思路.教師可以通過問題引導(dǎo)學(xué)生分析解題思路，例如求解的依據(jù)是什么?按怎樣的步驟進行?如何確保滿足最大值、最小值定義中的兩個條件?等等.
在學(xué)生自主完成解答后，展示學(xué)生的典型解題過程，規(guī)范解題格式，總結(jié)解題的一般思路.教科書中給出的思路是先作圖象發(fā)現(xiàn)函數(shù)
上單調(diào)遞減，再用單調(diào)性定義證明.這個過程體現(xiàn)了“圖象直觀定方向，代數(shù)推理精解答"的解題路徑,具有一般意義.
另外，讓學(xué)生分享一下如何作出這個函數(shù)的草圖.最理想的方式是通過圖象變換，即先作函數(shù)
的圖象,再平移得到
的圖象.
追問：利用單調(diào)性求函數(shù)最大(小)值的步驟大致是怎樣的?
師生活動：師生一起梳理出求解步驟.
第一步，根據(jù)問題條件確定函數(shù)的定義域；
第二步，通過圖象直觀、代數(shù)推理判斷(證明)函數(shù)的單調(diào)性；
第三步，將定義域區(qū)間端點值代入函數(shù)中求值；
第四步，比較大小，給出最大(小)值.
設(shè)計意圖：在應(yīng)用中理解函數(shù)最值的定義,培養(yǎng)思維的嚴謹性，表達的規(guī)范性，提升數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).
練習(xí): 已知函數(shù)
，求函數(shù)的最大值和最小值.
師生活動：學(xué)生獨立思考并求解，教師予以及時點撥.
設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會觀察分析，進行理性思考，學(xué)會有序求解，幫助學(xué)生提升數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)．
環(huán)節(jié)三 單元小結(jié)，形成結(jié)構(gòu)
問題4： 回顧本節(jié)的學(xué)習(xí)過程，回答下列問題:
(1)函數(shù)的單調(diào)性、最大（小）值分別刻畫了什么問題?
(2)我們是如何發(fā)現(xiàn)函數(shù)的這些性質(zhì)的?
(3)用命題的方式梳理函數(shù)的單調(diào)性、最大（�。┲档乃卸x，從符號語言的角度歸納這些定義的共性，你有什么體會?
(4)用定義求解函數(shù)的單調(diào)性、最大（�。┲档囊话悴襟E是怎樣的?
師生活動：學(xué)生先自主小結(jié),再全班交流，教師通過提問與學(xué)生互動，促進學(xué)生思考，最后給出總結(jié).
(1)函數(shù)的性質(zhì)建立在函數(shù)有意義的前提下，因此明確函數(shù)的定義域是首要的.函數(shù)的單調(diào)性所描述的是在函數(shù)定義域的某個區(qū)間上函數(shù)值隨自變量的增大而增大或減小的規(guī)律,這里自變量總是增加的，函數(shù)值保持了一種確定的變化趨勢；最大（�。┲凳呛瘮�(shù)的一個整體性質(zhì)，是指函數(shù)的所有取值中那個最大（或最小）的值，在具體確定這個值時往往要借助于函數(shù)的單調(diào)性.
這里的任務(wù)主要是掌握一種刻畫函數(shù)性質(zhì)的數(shù)學(xué)符號語言，采取了“模仿——練習(xí)——運用”的學(xué)習(xí)路徑.但在這個過程中還是要注意從具體實例中體會抽象概念的本質(zhì)，體會符號語言的力量的同時要仔細領(lǐng)會這樣的話語方式.特別是它通過運用全稱量詞、充要條件等邏輯用語，將一個涉及“無限”的問題轉(zhuǎn)化為一種“有限”的數(shù)學(xué)命題表達,這是具有一般意義的.
(2)函數(shù)的性質(zhì)就是“變化中的不變性和規(guī)律性”，因此，多研究幾個具體事例，從中歸納共性，就能得到性質(zhì).
(3)將幾個定義放在一起看，可以得出命題中的條件有同一種語言結(jié)構(gòu)，即“任給……都有……”，是從大小關(guān)系給出的.
(4)解題步驟詳見教學(xué)過程.
設(shè)計意圖：著重從數(shù)學(xué)語言學(xué)習(xí)的角度對本節(jié)的內(nèi)容、過程和思想方法進行梳理.從而落實課程標(biāo)準(zhǔn)提出的“會用符號語言表達函數(shù)的單調(diào)性、最大（小）值，理解它們的作用和實際意義”的要求.其中，特別注意了從邏輯用語的視角、從命題結(jié)構(gòu)的角度進行歸納總結(jié).當(dāng)然，它們的作用和實際意義還會在后續(xù)研究基本初等函數(shù)的過程中得到充分體現(xiàn).
環(huán)節(jié)四 目標(biāo)檢測，檢驗效果
1.下列函數(shù)在
上最大值為3的是（ ）
A.
B.
C.
D.
2. 求函數(shù)
的最大值和最小值.
設(shè)計意圖：檢測學(xué)生對求最大(小)值的方法的掌握情況及思維的嚴謹性和表達的規(guī)范性.
(五)課后作業(yè)
1.教材第86頁,習(xí)題3.2：第4，7，10題.
2.學(xué)習(xí)了函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)的最大(小)值，你能對初中學(xué)過的函數(shù)進行一個梳理嗎?請你完成下表.表格中列出的是基本要求，你可以根據(jù)自己的研究修改表格的樣式.
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單調(diào)性 |
單調(diào)區(qū)間 |
最大（�。┲� |
常函數(shù) |
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一次函數(shù) |
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二次函數(shù) |
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反比例函數(shù) |
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設(shè)計意圖：應(yīng)用鞏固，深化理解，使學(xué)生充分感受數(shù)學(xué)符號語言的簡潔，體驗數(shù)學(xué)表達方式的力量.
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