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視頻標簽：函數(shù)的單調(diào)性

所屬欄目：高中數(shù)學優(yōu)質(zhì)課視頻

視頻課題：高中數(shù)學人教A版必修一1.3.1《函數(shù)的單調(diào)性》重慶市優(yōu)課教學設(shè)計

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高中數(shù)學人教A版必修一1.3.1《函數(shù)的單調(diào)性》重慶市優(yōu)課教學設(shè)計

  §1.3.1函數(shù)的單調(diào)性
一、教學內(nèi)容解析
本節(jié)課內(nèi)容是《普通高中課程標準實驗教科書數(shù)學》人教A版必修1第一章《集合與函數(shù)概念》1.3《函數(shù)的基本性質(zhì)》中第1.3.1節(jié)《單調(diào)性與最大（小）值》的第一課時，本節(jié)教學內(nèi)容為函數(shù)的單調(diào)性．函數(shù)的單調(diào)性是學生在了解函數(shù)概念后學習的函數(shù)的第一個性質(zhì)．也是第一個用數(shù)學符號語言來刻畫的概念.函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)的奇偶性、周期性一樣，都是研究自變量變化時，函數(shù)值的變化規(guī)律；學生對于這些概念的認識，都要經(jīng)歷直觀感受、文字描述和嚴格定義三個階段，即都從圖象觀察，以函數(shù)解析式為依據(jù)，經(jīng)歷用符號語言刻畫圖形語言，用定量分析解釋定性結(jié)果的過程.因此，函數(shù)單調(diào)性的學習為進一步學習函數(shù)的其它性質(zhì)提供了方法依據(jù).
 函數(shù)的單調(diào)性既是函數(shù)概念的延續(xù)和拓展，又是后續(xù)研究指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的單調(diào)性等內(nèi)容的基礎(chǔ)，在研究各種具體函數(shù)的性質(zhì)和應用、解決各種問題中都有著廣泛的應用．函數(shù)單調(diào)性概念的建立過程中蘊涵諸多數(shù)學思想方法，對于進一步探索、研究函數(shù)的其他性質(zhì)有很強的啟發(fā)與示范作用．函數(shù)的單調(diào)性是學習不等式、極限、導數(shù)等其它數(shù)學知識的重要基礎(chǔ)，是解決數(shù)學問題的常用工具，也是培養(yǎng)學生邏輯推理能力和滲透數(shù)形結(jié)合思想的重要素材.
在研究單調(diào)性過程中，經(jīng)歷觀察圖象，描述函數(shù)圖象特征；結(jié)合圖、表，用自然語言描述函數(shù)圖象特征；用數(shù)學符號語言定義函數(shù)性質(zhì)的過程．體現(xiàn)了對函數(shù)研究的一般方法．加強“數(shù)”與“形”的結(jié)合，由直觀到抽象；由特殊到一般．為進一步學習函數(shù)其他性質(zhì)提供了方法依據(jù)．
在對函數(shù)單調(diào)性的探究過程中，培養(yǎng)學生觀察、歸納、抽象的能力和語言表達能力；通過對函數(shù)單調(diào)性的證明，提高學生的推理論證能力；讓學生感知從具體到抽象，從特殊到一般，從感性到理性的認知過程．
二、教學目標設(shè)置
（一）學習目標
1．知識與技能：能從形與數(shù)兩方面理解函數(shù)單調(diào)性的概念，掌握判別函數(shù)單調(diào)性的方法；
2．過程與方法：通過實例讓學生親歷函數(shù)單調(diào)性從直觀感受、定性描述到定量刻畫的自然跨越，體會數(shù)形結(jié)合、分類討論和類比等思想方法。
3．情感態(tài)度與價值觀：通過探究函數(shù)單調(diào)性，讓學生感悟從具體到抽象、從特殊到一般、從局部到整體、從有限到無限、從感性到理性的認知過程，體驗數(shù)學的理性精神和力量。
（二）目標解析
1．能夠以具體的例子說明某函數(shù)在某區(qū)間上是增函數(shù)還是減函數(shù)；能夠舉例，并通過繪制圖形說明函數(shù)在定義域的子集（區(qū)間）上具有單調(diào)性，而在整個定義域上未必具有單調(diào)性，說明函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì).對于一個簡單的函數(shù)能夠用單調(diào)性的定義，證明它是增函數(shù)還是減函數(shù).
2．在探究函數(shù)單調(diào)性定義時，領(lǐng)悟到數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化思想、變化與對應思想，并能運用這些數(shù)學思想觀察、分析函數(shù)的圖象，探究、歸納、概括函數(shù)單調(diào)性的概念．
3．通過對函數(shù)單調(diào)性定義的探究，經(jīng)歷觀察、分析、探究、歸納的認知過程，將函數(shù)圖象的“上升”或“下降”這一特征能用該區(qū)間上“任意的，都有”的數(shù)學語言進行刻畫.從函數(shù)入手歸納函數(shù)單調(diào)性定義推廣到一般函數(shù)的單調(diào)性定義.培養(yǎng)良好的思維品質(zhì)，提高思維能力．
三、學生學情分析
學生已有的認知基礎(chǔ)是，初中學習過函數(shù)的概念，初步認識到函數(shù)是描述事物運動變化規(guī)律的數(shù)學模型，并且學習了一次函數(shù)、二次函數(shù)及反比例函數(shù)，能熟練的利用描點法畫出這些函數(shù)的圖象.進入高中以后又進一步學習了函數(shù)概念，認識到函數(shù)是兩個非空數(shù)集間的一種對應．知道函數(shù)有三種表示方法，充分認識到一個函數(shù)中自變量與函數(shù)值的對應關(guān)系，可以利用圖象表示函數(shù)中函數(shù)值隨自變量的變化而變化的規(guī)律和性質(zhì).
教學中，通過一次函數(shù)、二次函數(shù)等具體的函數(shù)圖象及數(shù)值變化特征的研究，得到“圖象是上升的”，即“隨著的增大而增大”，僅就圖象角度直觀描述函數(shù)單調(diào)性的特征，學生并不感到困難.困難在于，把具體的、直觀形象的函數(shù)單調(diào)性特征抽象出來，用數(shù)學的符號語言描述.即把某區(qū)間上“隨著的增大而增大”這一特征用該區(qū)間上“任意的，都有”進行刻畫.其中最難理解的是為什么要在區(qū)間上“任意”取兩個大小不等的．并初步提出單調(diào)遞增的說法，通過圖象觀察，提出猜想，經(jīng)歷討論、交流、驗證使學生克服思維障礙，經(jīng)歷從直觀到抽象、具體到一般的形成知識的過程．
四、重、難點分析
重點：函數(shù)單調(diào)性的概念；
難點：函數(shù)單調(diào)性概念的形成過程。
五、教學策略分析
在學生認識函數(shù)單調(diào)性的過程中會存在兩方面的困難：一是如何把“y隨x的增大而增大（減小）”這一描述性語言“翻譯”為嚴格的數(shù)學符號化語言，尤其抽象概括出用“任意”刻畫“無限”現(xiàn)象；二是用定義證明單調(diào)性的代數(shù)推理論證。對高一學生而言，作差后的變形和因式符號的判斷也有一定的難度。
為達成課堂教學目標，突出重點，突破難點，我們主要采取以下形式組織學習材料：
（1）創(chuàng)設(shè)生活情境，找準切入點．函數(shù)是描述事物運動變化規(guī)律的模型，生活中很多運動變化的現(xiàn)象都值得去關(guān)注，讓學生通過觀察江津區(qū)四面山某天氣溫變化曲線圖的變化趨勢，完成對單調(diào)性直觀上的一種認識，并為概念的引入提供了必要性．讓學生帶著問題（什么是函數(shù)的單調(diào)性？怎樣判定函數(shù)的單調(diào)性？）進入新課．
（2）探索概念階段，緊扣主線．在函數(shù)圖象上“譜好”函數(shù)單調(diào)性教學的“三步曲”．
①以學生熟悉的函數(shù)為例，讓學生從圖象上獲得“上升”“下降”的整體認識，初步認識函數(shù)單調(diào)性．
②通過觀察函數(shù)的對應值表格提出猜想，通過幾何畫板軟件加以驗證，用數(shù)學語言“隨著的增大而增大” 來描述 “函數(shù)的圖象在軸右側(cè)是上升的”，進一步認識函數(shù)單調(diào)性．
③通過觀察、猜想、分析、驗證、證明的過程，從而用數(shù)學符號語言定描述函數(shù)在的單調(diào)性.最后通過類比，用數(shù)學符號語言定義一般函數(shù)的單調(diào)性．
（3）注重思想方法的培養(yǎng)．從函數(shù)圖象的觀察出發(fā)，經(jīng)歷從直觀到抽象，從圖形語言到數(shù)學符號語言，進而理解增函數(shù)、減函數(shù)、單調(diào)區(qū)間概念的過程中，感悟數(shù)形結(jié)合思想、特殊到一般思想．掌握通過觀察圖象，先對函數(shù)是否具有某種性質(zhì)做出猜想，然后通過邏輯推理，證明這種猜想的正確性，這一研究函數(shù)性質(zhì)的常用方法．
（4）在“引導探索”階段。 首先創(chuàng)設(shè)認知沖突，讓學生意識到繼續(xù)學習的必要性；然后設(shè)置遞進式“問題串”，借助多媒體引導學生對“y隨x的增大而增大”進行探究、辨析、嘗試、歸納和總結(jié)，并回顧已有知識經(jīng)驗，實現(xiàn)函數(shù)單調(diào)性從“直觀性”到“描述性”再到“嚴謹性”的跨越。
（5）在“學以致用”階段。 首先通過看圖說出單調(diào)區(qū)間，形成對概念正確、全面而深刻的認識。 然后教師示范用定義證明函數(shù)單調(diào)性的方法，一起提煉基本步驟，強化變形的方向和符號判定方法。
六、學習探究過程

• 創(chuàng)設(shè)情境，引入課題

實例: 請觀察江津區(qū)四面山某日24小時內(nèi)的氣溫變化圖，你能說出這一天的氣溫變化趨勢嗎？

預設(shè)：學生的關(guān)注點不同，如氣溫的最值，某時刻的氣溫，某時間段氣溫的升降變化（若學生沒指明時間段，可追問），等。 圖象在某區(qū)間上（從左往右）“上升”或“下降”的趨勢反映了函數(shù)的一個基本性質(zhì)——單調(diào)性（板書課題）。
設(shè)計說明：從氣溫變化圖導入新課，直觀形象感知氣溫變化，自然引入函數(shù)的單調(diào)性。
 函數(shù)是描述事物變化規(guī)律的數(shù)學模型。 如果清楚了函數(shù)的變化規(guī)律，那么就基本把握了相應實物的變化規(guī)律。在事物變化過程中，保存不變的特征就是這個事物的性質(zhì)。因此，研究函數(shù)的變化規(guī)律是非常有意義的。
（二）自主探究
問題1:任意寫出一個函數(shù)的解析式及定義域(1) 列出一些自變量x的值，計算相應的y值；(2) 畫出草圖，觀察圖像的上升、下降趨勢，并指出y值隨x的增大如何變化。

函數(shù)
列表	x                 y
描點法 畫圖象	x y

步驟：
1．個人獨立完成或?qū)W習小組合作完成     2分鐘
2.  展示探究成果                       2分鐘
設(shè)計說明：學生回答時可能會漏掉“在某區(qū)間上”，規(guī)范表達“函數(shù)在哪個區(qū)間上具有怎樣的單調(diào)性”。 借此強調(diào)函數(shù)的單調(diào)性是對定義域內(nèi)相對某區(qū)間而言的，是函數(shù)的局部性質(zhì)。

• 引導探索，生成概念

問題2.（1）如何用數(shù)學符號描述函數(shù)圖象的“上升”特征，即“y隨x的增大而增大”？
以二次函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性為例，用幾何畫板動畫演示“y隨x的增大而增大”，生成表格（每一秒生成一對數(shù)據(jù)）。
橫坐標為X，縱坐標為Y，橫坐標與縱坐標的變化情況y隨x的增大而增大”，用數(shù)學符號語言表示這一變化趨勢，學生思考、討論得出，若，則必須有。
（2）已知，若有。能保證函數(shù)在區(qū)間上遞增嗎？
在區(qū)間上取兩個點，能保證遞增嗎？拖動“拖動點”改變函數(shù)在區(qū)間上的圖象，可以遞增，可以先增后減，也可以先減后增。
（3）已知，若有，能保證函數(shù)在區(qū)間上遞增嗎？
在區(qū)間上取三個點，能保證遞增嗎？
拖動“拖動點”，觀察函數(shù)在區(qū)間上的圖象變化。
設(shè)計說明：先讓學生討論交流、舉反例，然后借助幾何畫板動態(tài)說明驗證兩個定點不能確定函數(shù)的單調(diào)性，三個點也不行，無數(shù)個點行不行呢？引導學生過渡到符號化表示，呈現(xiàn)知識的自然生成。
（4）已知，若有
，能保證函數(shù)在區(qū)間上遞增嗎？
在區(qū)間上取無數(shù)個點呢？大家討論一下
設(shè)計說明：可先請持贊同觀點的同學說明理由，再請持反對意見的學生畫出反駁，然后追問：無數(shù)個也不能保證函數(shù)遞增，那該怎么辦呢？若學生回答全部取完或任取，追問“總不能一個一個的驗證吧？”
緊接著師生一起回顧子集的概念，（PPT展示教材上子集定義）再次體驗對“任意一個”進行操作，實現(xiàn)“無限”目標的數(shù)學方法，體會用“任意”來處理“無限”的數(shù)學思想。
問題3：對于一般的函數(shù)定義域為I，在區(qū)間D上，我們應當如何給增函數(shù)下定義？
一般地，設(shè)函數(shù)的定義域為：
如果對于定義域內(nèi)的某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值，當時，都有，那么就說函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)．
師生活動：學生思考、發(fā)言，教師補充、板書．
【設(shè)計意圖】體現(xiàn)了對函數(shù)研究的一般方法：由特殊到一般的思想方法．
問題4：類比增函數(shù)的定義，對于一般的函數(shù)，我們應當如何給減函數(shù)下定義？
教師引導學生通過類比、觀察、驗證、交流后，得出減函數(shù)定義
師生活動：小組討論，代表發(fā)言交流．

• 學以致用，理解感悟

例1 下圖是定義在區(qū)間上的函數(shù)，根據(jù)函數(shù)圖象說出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，以及在每一單調(diào)區(qū)間上，它是增函數(shù)還是減函數(shù)？

 
 

師生活動：學生觀察圖象，獨立完成，教師解答學生在解決問題過程中出現(xiàn)的問題．如：
注意：①單調(diào)區(qū)間是定義域的子集，在書寫時區(qū)間與區(qū)間之間用逗號隔開。如果用并集符號，不符合單調(diào)性定義；
②本題中，因為孤立的點沒有單調(diào)性，所以區(qū)間端點處若有定義寫開寫閉均可
【設(shè)計意圖】學生能夠通過函數(shù)圖象說出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，加深對函數(shù)單調(diào)性概念的理解．
例2．反比例函數(shù)的單調(diào)性
①畫出反比例函數(shù)的圖象，并說出函數(shù)的定義域是什么？
②它在定義域上的單調(diào)性是怎樣的？證明你的結(jié)論．
師生活動：學生討論，代表發(fā)言，提出猜想，證明猜想．、
分析：問1：除了圖象法判定函數(shù)單調(diào)性還有什么方法？
        2：如何用定義法判定函數(shù)單調(diào)性？
        3：用定義判定函數(shù)單調(diào)性的關(guān)鍵是什么？（提示如何比較3和2的大小，從而引入作差法）
【設(shè)計意圖】學生體會：通過數(shù)形結(jié)合思想的運用，觀察圖象，先對函數(shù)是否具有某種性質(zhì)進行猜想，然后通過邏輯推理，證明這種猜想的正確性，是研究函數(shù)性質(zhì)的一種常用方法．
思考：物理學中的玻意耳定律(為正常數(shù))告訴我們，對于一定量的氣體，當其體積減小時，壓強將增大．試用函數(shù)的單調(diào)性證明之．
【設(shè)計意圖】利用單調(diào)性證明物理學中的玻意耳定律，學生感受到函數(shù)單調(diào)性的初步應用；熟悉用定義證明函數(shù)為增（減）函數(shù)的基本步驟．
（四）回顧反思，深化認識
課堂小結(jié)： 通過本節(jié)課的學習，你的主要收獲有哪些？
（關(guān)鍵詞：三種語言，證明方法，數(shù)學思想，情感體驗，等。）
① 概念探究過程：直觀到抽象、特殊到一般、感性到理性．
2證明方法和步驟：取值并規(guī)定大小、作差并判斷差值的正負、下結(jié)論．
③數(shù)學思想方法和思維方法：數(shù)形結(jié)合，等價轉(zhuǎn)化，類比等．
【設(shè)計意圖】使學生深切體會到本節(jié)課的主要內(nèi)容和思想方法．
（五）布置作業(yè)
1.基礎(chǔ)達標：第39頁習題1.3   A組：1、2；

2.思考探究：函數(shù)定義域內(nèi)的某個區(qū)間D上任意兩個自變量的值，當時，都有，則函數(shù)在區(qū)間D上是               ．（填“增函數(shù)”或“減函數(shù)”）
（六）板書設(shè)計

函數(shù)的單調(diào)性 遞增：（板書定義） 遞減：（學生類比）

例題（提煉步驟，明確變形方向） 練習（學生板演）

 
 
 
§1.3.1   函數(shù)的單調(diào)性
重慶市江津田家炳中學校  曹坤容
【學習目標】
1．知識與技能：能從形與數(shù)兩方面理解函數(shù)單調(diào)性的概念，掌握判別函數(shù)單調(diào)性的方法；
2．過程與方法：通過實例讓學生親歷函數(shù)單調(diào)性從直觀感受、定性描述到定量刻畫的自然跨越，體會數(shù)形結(jié)合、分類討論和類比等思想方法。
3．情感態(tài)度與價值觀：通過探究函數(shù)單調(diào)性，讓學生感悟從具體到抽象、從特殊到一般、從局部到整體、從有限到無限、從感性到理性的認知過程，體驗數(shù)學的理性精神和力量。
【學習重難點】
重點：函數(shù)單調(diào)性的概念；
難點：函數(shù)單調(diào)性概念的形成過程。
【學習探究過程】

• 創(chuàng)設(shè)情境，引入課題

實例: 請觀察江津區(qū)四面山某日24小時內(nèi)的氣溫變化圖，你能說出這一天的氣溫變化趨勢嗎？

 
 
 
 
 
 
（二）引導探索，生成概念
問題1:任意寫出一個函數(shù)的解析式及定義域(1) 列出一些自變量x的值，計算相應的y值；(2) 畫出草圖，觀察圖像的上升、下降趨勢，并指出y值隨x的增大如何變化。

函數(shù)
列表	x                 y
描點法 畫圖象	x y

 
問題2：（1）如何用數(shù)學符號描述函數(shù)圖象的“上升”特征，即“y隨x的增大而增大”？
 
（2）已知，若有。能保證函數(shù)在區(qū)間上遞增嗎？
 
（3）已知，若有，能保證函數(shù)在區(qū)間上遞增嗎？
（4）已知，若有
，能保證函數(shù)在區(qū)間上遞增嗎？
 
問題3：對于一般的函數(shù)定義域為I，在區(qū)間D上，我們應當如何給增函數(shù)下定義？

問題4：類比增函數(shù)的定義，對于一般的函數(shù)，我們應當如何給減函數(shù)下定義？
                                                         

• 學以致用，理解感悟

例1. 下圖是定義在區(qū)間上的函數(shù)，根據(jù)函數(shù)圖象說出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，以及在每一單調(diào)區(qū)間上，它是增函數(shù)還是減函數(shù)？

 
 
 
 
 
 
 

例2．反比例函數(shù)的單調(diào)性
①畫出反比例函數(shù)的圖象，并說出函數(shù)的定義域是什么？
②它在定義域上的單調(diào)性是怎樣的？證明你的結(jié)論．
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
思考：物理學中的玻意耳定律(為正常數(shù))告訴我們，對于一定量的氣體，當其體積減小時，壓強將增大．試用函數(shù)的單調(diào)性證明之．
 
 
（四）回顧反思，深化認識
課堂小結(jié)： 通過本節(jié)課的學習，你的主要收獲有哪些？
 
（五）布置作業(yè)
1.基礎(chǔ)達標：第39頁習題1.3   A組：1、2；

2.思考探究：函數(shù)定義域內(nèi)的某個區(qū)間D上任意兩個自變量的值，當時，都有，則函數(shù)在區(qū)間D上是               ．（填“增函數(shù)”或“減函數(shù)”）

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