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視頻標簽：橢圓及其標準方程
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：人教A版高中選修2-1第二章《橢圓及其標準方程》四川省巴中
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人教A版高中選修2-1第二章《橢圓及其標準方程》四川省巴中
橢圓及其標準方程（第一課時）教案 一、教學目標： 1．知識與技能目標： （1）掌握橢圓定義和標準方程. （2）能用橢圓的定義解決一些簡單的問題. 2．過程與方法目標： （1）通過橢圓定義的歸納和標準方程的推導，培養學生發現規律、認識規 律并利用規律解決實際問題的能力. （2）在橢圓定義的獲得和其標準方程的推導過程中進一步滲透數形結合等 數學思想和方法. 3．情感態度與價值觀目標： （1）通過橢圓定義的歸納過程獲得培養學生探索數學的興趣. （2）通過標準方程的推導培養學生求簡意識并能懂得欣賞數學的“簡潔美”. （3）通過師生、生生的合作學習，增強學生團隊協作能力的培養，增強主 動與他人合作交流的意識. 二、教學重點、難點： 1．重點：橢圓定義的歸納及其標準方程的推導. 2．難點：橢圓標準方程的推導. 三、教材與教法分析 （一）、教材、學習者特征分析： 本節課是圓錐曲線的第一課時。它是在學生學習了直線和圓的方程的基礎上， 進一步學習用坐標法研究曲線。橢圓的學習為后面研究雙曲線、拋物線提供了基 本模式和理論基礎。因此這節課有承前啟后的作用，是本章和本節的重點內容； 橢圓的標準方程推導過程中，化簡兩個根式的方程的方法特殊，難度較大，學生 初次遇到。 （二）、教學方法和教學策略分析： 探究式、啟發式教學方法，引導學生主動參與、積極體驗、自主探究，形成 師生互動的教學氛圍。以啟發、引導為主，采用設疑的形式，逐步讓學生進行探 究性的學習。充分利用了青少年學生富有創造性和好奇心，敢想敢為，對新事物 2 具有濃厚的興趣的特點。讓學生根據教學目標的要求和題目中的已知條件，自覺 主動地創造性地去分析問題、討論問題、解決問題。 四、教具： 多媒體 細繩、筆、小紙板 五、教學過程 一．新課引入 師：同學們好，今天我們來學習橢圓及其標準方程，（板書課題）先來看一個 視頻。（播放視頻） 師：視頻中新一代北斗導航衛星的運行軌道是什么形狀的？ 生：橢圓 師:對，其實很多衛星以及天體的運行軌道都是橢圓，橢圓在我們日常生活中 也很常見(放 PPT)。橢圓確實能給人以美感，那么到底怎樣才能準確畫出橢圓呢？ 請同學們拿出事先準備好的紙板和繩子一起來做一個實驗。 二.嘗試實驗，形成概念 師：請同學們將繩子的兩端固定在紙板的兩個定點 1 2 F , F 上，用筆尖把細繩拉 緊，在紙板上慢慢移動看看畫出的圖形是什么？ 師：我們來看一下這一組同學畫出的圖形（展示圖片），是什么啊？ 生：橢圓 師：對，請同學們思考：在畫橢圓的過程中，繩子兩端的位置是固定的還是運動 的？ 生：固定的 師：繩子的長度變了沒有？ 生：沒有？ 師：這說明了什么呢？哪位同學能說一下？（學生回答） 生：說明了筆尖（M）到兩定點 1 2 F , F 的距離之和等于繩長，是一個常數。 師：非常好，我們把掌聲送給他。請同學們再思考，在畫橢圓的過程中，繩子 長度與兩定點間的距離大小有怎樣的關系呢？ 生：繩長大于兩定點間的距離。 師：為什么？同學們可以組內交流一下。 師：好，某同學來說 生：因為當繩長等于兩端點之間的距離時，畫出的圖形是一條線段，當繩長小 于兩端點之間的距離時，不能畫出任何圖形。。 師：真棒，我們一起來看一下繩長等于兩端點之間的距離時的情況（放視頻）， 這時畫出的是線段 F1F2 ，當繩長小于兩端點之間的距離時，就不能畫出任何圖形。 所以要畫出橢圓必須使繩長大于兩定點間的距離 師：同學們能類比之前學習過的圓的定義并結合剛才所做實驗以及上述問題歸 納出橢圓的定義嗎？ 生：在平面內，與兩定點 1 2 F , F 的距離的和等于常數（大于 F1F2 )的點的軌跡。 3 師：非常好！其中這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫橢圓的焦距。 請同學們注意定義里面的幾個關鍵詞，一是：在平面內；二是與兩定點間的距離 之和為大于兩定點間距離的常數；這個常數記作2a ，焦距記作2c。 同學們能夠用集合來表示橢圓嗎？哪位同學愿意來試試？ 生： 2 (2 ) 1 2 F1F2 MF MF a a 師：非常好，這就是橢圓的集合表示（板書：橢圓的定義：） 三.探索新知，方程推導 師：同學們已經了解了橢圓的定義，接下來我們一起來探究橢圓的方程。先請 同學們回憶用坐標法求曲線方程的一般步驟。 生：建系，設點，列式，化簡，證明。 師：第一步先建系，第二步設點，第三步找等量關系列出與 x,y 有關的等式， 第四步化簡，第五步證明或查漏補缺。 師：請同學們觀察橢圓的形狀，類比圓的標準方程的建立過程，你認為怎樣建 系能使橢圓的方程更簡單？ 生：1.以兩焦點 1 2 F , F 所在直線為 x 軸，線段 F1F2 的垂直平分線為 y 軸；2.以兩 焦點 1 2 F , F 所在直線為 y 軸，線段 F1F2 的垂直平分線為 x 軸。 師：對，我們可以把兩焦點放在 x 軸上，也可以把兩焦點放在 y 軸上。這樣建 系有什么好處呢？ 生：其實這樣更能體現出橢圓的對稱性，也更簡潔。 師：我們以 1 2 F , F 所在直線為 x 軸，線段 1 2 F , F 的垂直平分線為 y 軸建立如圖所 示的平面直角坐標系，假設 M (x, y) 是橢圓上任意一點，橢圓的焦距為2c(c 0) ， M (x, y) 與兩焦點 1 2 F , F 的距離之和為2a（2a 2c ），根據橢圓的定義可以找到與 M 有關的等量關系，利用兩點間的距離公式得到與 x ，y 有關的等式，我們發現 這個等式里含有兩個根式，并且都在等號的同一邊，應該怎么處理呢？好，某同 學來說 生：兩邊同時平方 師：某同學說，兩邊同時平方，有不同的意見嗎？好，某某同學 生：先將一個根式移到等號的另一邊，再平方 師：同學們覺得哪種方法更好呢？ 生：第二種 師：對了，如果直接平方的話會更復雜，因此我們先將其中一個根式移到等號 的另一邊之后再平方。接下來化簡的任務就交給你們啦。 （學生化簡，2 分鐘） 師：哪位同學愿意來展示你化簡后的結果，（照片展示或在黑板上寫結果。） 師：同學們覺得化簡以后得到的這個等式在形式上看起來對稱嗎？我們還可以 4 怎樣處理一下呢？要解決這個問題我們先回到橢圓這個圖形中來，當 M 點運動 的 y 軸上的時候，線段 PF1與 PF2 的長度有怎樣的關系？ .生： PF1等于 PF2 師： PF1加 PF2 又是等于什么呢？ 生：2a 師：因此 PF1和 PF2 的長度都應該等于a ，同學們能找出表示c 的線段嗎？ 對，OF1和OF2，那么OP 的長度是多少呢？ 生： 2 2 a c 師：對，線段OP 與OF1 , PF1構成直角三角形，利用勾股定理可以得到OP 的長度， 為了讓化簡以后的這個方程對稱，我們令b 等于根號 2 2 a c 。則 2 2 2 b a c 從 而可得 1( 0) 2 2 2 2 a b b y a x ，這就是焦點在 x 軸上的橢圓的方程（PPT 給出）， 同學們能猜想出焦點在 y 軸上的橢圓方程嗎？ 生： 1( 0) 2 2 2 2 a b b x a y 師：非常好，當焦點在 y 軸上的時候我們用同樣的方法可以得到橢圓方程，同學 們在課下可以嘗試去推導一下。這兩個方程都叫做橢圓的標準方程，其中 2 2 2 b a c ，你們能夠歸納出這兩個方程的特點嗎？ 生：1.等號左邊為兩個分式的平方和，右邊為 1；2.分母不相等；3.哪個分母大， 焦點就在那個軸上；4.大的分母是 2 a 的值，小的分母是 2 b 的值... 師：非常好！接下來我們對剛才所學知識進行運用！ 三．夯實基礎，靈活運用 例 1.用定義判斷下列動點 M 的軌跡是否為橢圓，并說明理由. (1)到 ( 2,0), (2,0) F1 F2 的距離之和為 6 的點的軌跡。 (2)到 (0, 2), (0,2) F1 F2 的距離之和為 4 的點的軌跡。 (3)到 ( 2,0), (0 2) F1 F2 ， 的距離之和為 2 的點的軌跡。 5 例 2.1.判定下列橢圓的焦點在哪個軸上，并寫出焦點坐標. (1)2 16 2 2 x y 1 1 (2) 2 2 2 2 m y m x 2.已知橢圓的兩個焦點的坐標分別是 ( 2,0), (2,0) F1 F2 ,并且經過點 P(2,3)，求橢圓 的標準方程.
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