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視頻標簽：橢圓及其標準方程
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：人教A版高中選修2-1第二章《橢圓及其標準方程》四川省都江堰中學
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人教A版高中選修2-1第二章《橢圓及其標準方程》四川省都江堰中學
四川省都江堰中學“深度學習”教學設計
人教版 選修2-1 第二章 第2節
橢圓及其標準方程
| 課題 | 橢圓及其標準方程 | ||||||||
| 課型 | 新授課 | ||||||||
| 1.教學內容分析：本節內容是高中數學選修2-1第二章第二節 “橢圓及其標準方程”第一課時的內容，本節課主要學習兩個內容：橢圓的定義和橢圓的標準方程。本節內容是繼學生學習了直線和圓的方程，對曲線方程的概念有了一定了解，對用坐標法研究幾何圖形有了初步認識的基礎上，進一步學習用坐標法研究曲線。橢圓的學習可以為后面研究雙曲線、拋物線提供基本模式和理論基礎。因此這節課有承前啟后的作用，是本章和本節的重點內容之一。 | |||||||||
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2.學習者分析： （1）學生在此之前已學過坐標法解決幾何問題，學過圓的定義與標準方程，但掌握不夠； （2）從研究圓到研究橢圓，跨度較大，學生思維上存在障礙； （3）在求橢圓標準方程時，會遇到比較復雜的根式化簡問題，而這些在目前初中代數中都沒有詳細介紹，初中代數不能完全滿足學習本節的需要； （4）該班學生是高二平行班，數學基本整體較為薄弱； （5）經過一學年的引導、鼓勵，學生學習數學的積極性較高。 |
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3學習目標確定： |
知識目標： 1.理解橢圓的定義； 2.掌握橢圓標準方程及推導； |
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能力目標： 1.熟練掌握橢圓標準方程中  的關系；2.能根據條件寫出橢圓標準方程； 3.掌握用待定系數法求橢圓標準方程； |
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情感與價值目標： 1.通過實驗探究、合作學習，感受探索的樂趣和成功的喜悅；培養學生認真參與、積極交流的主體意識和樂于探索創新的科學精神； 2.通過橢圓知識的學習，進一步體會到數學知識的和諧美，幾何圖形的對稱美；提高學生審美情趣。 |
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| 4學習重點難點 |
學習重點：橢圓的定義、橢圓的標準方程，理解坐標法的基本思想。 學習難點：橢圓標準方程的推導與化簡，坐標法的應用。 |
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| 5學習評價設計 | 通過學生聽課情況、發言情況、合作學習情況、課堂作業情況等自評、互評、教師評價從而進行綜合考量。 | ||||||||
| 6.學習活動設計 | |||||||||
| 教師活動 | 學生活動 | ||||||||
| 環節一：實驗引入 | |||||||||
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教師活動1 （1）請學生利用給定實驗材料設計一個實驗——畫出圓； 問題1：設計的原理是什么？ （2）引導學生回顧圓的定義； （3）固定兩個圖釘，將繩子的兩頭分別綁在兩個圖釘上，套上筆，移動筆尖，試一試畫出什么圖形？（組織學生動手畫圖） 問題2：你覺得畫出橢圓的關鍵實驗材料是什么？ 問題3：請將這些生活中的物品抽象為數學元素； （4）通過幾何畫板模擬展示實驗結果并觀察變與不變； 問題4：你能類比圓的定義給橢圓下一個定義嗎？ |
學生活動1 回答設計方案； 回答問題1，根據初中所學，一動點到一定點距離為定值的點的軌跡是圓。 根據教師引導動手操作實驗，在紙板上畫出橢圓。 觀看幾何畫板模型，感知橢圓在畫出的過程中的變與不變因素； 回答問題2，類比畫圓的關鍵點得出畫橢圓的關鍵實驗材料是“兩個圖釘”、“繩子”“筆尖”。 回答問題3：兩個定點、一個動點、兩條線段。 回答問題4：根據教師引導給出橢圓的大致定義。 |
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| 活動意圖分析：從實驗進行引入，讓學生真正動手操作，感受橢圓形成的過程，引起學生興趣；在實驗中從一個圖釘到兩個圖釘，即從圓出發到橢圓，實際是幫助學生回顧圓定義的形成過程，從而將“類比”思想貫徹到橢圓的定義形成中，不僅能讓學生自主歸納橢圓的定義，讓學生成為學習的主人，還能滲透化歸與轉化思想；在問題3中實際上是將實際生活與數學相聯系，讓學生感受數學化的過程。 | |||||||||
| 環節二：探索新知 | |||||||||
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教師活動2 1.在學生歸納橢圓定義的基礎上給出橢圓的準確定義；（強調常數大于  ）；問題1：當常數不大于 時，點的軌跡是什么？2.建立橢圓方程： （1）為了進一步研究橢圓，我們可以嘗試建立橢圓的方程； 問題2：類比建立圓方程的思路，橢圓方程的建立大致有哪些步驟呢？ 問題3：觀察白板或小組實驗紙板上的橢圓，你覺得應該怎樣建立直角坐標系才能使橢圓的方程簡單？ （2）假設出點的坐標，根據橢圓的定義，引導學生寫出方程、展示講解化簡過程、整理得出所求的方程①； 3.橢圓的標準方程： 
 的線段嗎？
（2）根據思考，令  ，將①式進行化簡得 ②；（3）檢驗：橢圓上任意一點都滿足方程，以方程②的解  為坐標的點都在橢圓上；（4）得出焦點坐標在  軸上的橢圓的標準方程；（5）類比猜測焦點在  軸上的橢圓的標準方程是什么？4.例題1：下列方程哪些表示橢圓？若表示橢圓其焦點在哪個軸？  例題2：（抽取學生快速回答） 判斷下列橢圓的焦點位置，并求出焦點坐標和焦距. （1）  ；（2） 例題3：如果橢圓  上一點P到焦點F1的距離等于6，那么點P與另一焦點F2的距離是？例題4：求適合下列條件的橢圓的標準方程：
（1）兩個焦點坐標分別是（-2,0），（2,0），并且經過點  ，求它的標準方程；（利用展臺進行展示學生的解題過程）（2）以坐標軸為對稱軸，并且經過兩點  ；（黑板板書解題全過程） |
學生活動2 1.思考當常數不大于 時，點的軌跡方程是什么？2.（1）回想圓方程建立的過程，類比得出橢圓方程的建立步驟； （2）動手在紙板上畫出適當的直角坐標系； （3）根據教師的引導設出點的坐標，根據橢圓的定義嘗試列出方程； （4）思考怎樣化簡整理方程； 3.（1）根據幾何性質在給定圖中找到 并在圖中標記出來；（2）根據教師引導，再一次化簡橢圓方程，并根據曲線與方程的關系對所得方程進行雙向驗證，最終得出焦點在 軸上的橢圓的標準方程；（3）對比圓的方程對橢圓的標準方程進行辨析記憶； （4）類比焦點在 軸上的橢圓的標準方程猜測焦點在軸上的橢圓的標準方程形式；（5）對焦點在不同位置的橢圓標準方程進行對比記憶，加深印象； 4.例題 （1）例題1-4自主思考并快速回答； （2）思考：在教師引導下思考并自主完成第一問；先自主思考第二問再與教師一起完成解答 |
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活動意圖分析：引導學生類比圓方程的建立過程從建系、設點開始，到找出橢圓所滿足的幾何條件、列出并化簡整理方程，最后-驗證方程、得出橢圓的標準方程，學生幾乎全程參與，自己動手得出結論，讓學生成為課堂的主人；另外在“驗證”這一步提高學生嚴謹性。關于例題的設計，一共四個例題，前2個例題是關于橢圓定義和關系的鞏固，計算量低，目的是幫助學生快速熟悉橢圓定義和關系。例3和例4都是關于求橢圓標準方程的題型；例3到例4是從簡單到復雜，特殊到一般的過程，讓學生從直接條件寫出從而得出橢圓標準方程再到根據間接條件利用待定系數法求出橢圓標準方程最后強調“當不知道焦點位置”的分類討論思想以及提出解題技巧。 |
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環節三：
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| 7.板書設計： | |||||||||
橢圓及其標準方程
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例4： |
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教學反思改進： |
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視頻來源：優質課網 www.jjlqy.cn
，焦點在
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