視頻簡介：
視頻標簽：橢圓及其標準方程
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：人教A版高中選修2-1《橢圓及其標準方程》綿陽
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人教A版高中選修2-1第二章《橢圓及其標準方程》四川省綿陽
2.2.1 橢圓及其標準方程
【教學內容分析】
本節是《橢圓及其標準方程》（第一課時），是圓錐曲線的入門課.在此之前，學生已經學習了直線與圓的方程，對曲線和方程的概念也有了一定的了解，對運用坐標法研究幾何問題也有了初步的認識.本節課既是運用坐標法研究曲線的一個實例，又為研究雙曲線、拋物線提供了基本模式.因此，這節課具有承前啟后的作用.另外，對橢圓的定義與方程的研究，體現了函數與方程、數形結合的重要思想，而這種思想是貫穿于整個高中階段的數學學習的重要思想.
【學情分析】
知識基礎方面，學生已經學習了直線與圓的方程，對曲線和方程的概念也有了一定的了解.能力基礎方面，授課學生具有一定的觀察和分析能力，對由觀察到抽象的數學活動已有一定的體會，對橢圓的定義與方程的探究具有一定的基礎.
【教學目標】
-
通過動手實驗探究橢圓的定義，掌握橢圓的定義.
-
理解橢圓標準方程的推導過程，能根據條件確定橢圓的標準方程.
【教學重難點】
重點：橢圓的定義及標準方程.
難點：橢圓標準方程的推導.
【設計思路】
本節主要是研究橢圓的定義及其標準方程.以學生自主探究為主，通過課前預習，引導學生獨立思考、小組討論、教師點評，完成橢圓的定義及其標準方程的推導，并設置對應練習進行理解及應用.
【教學流程】
情境引入
知識探究（探究一：橢圓的定義，探究二：橢圓的標準方程）
課堂小結
【教學過程】
一、課前準備
預習課本P38—P42，嘗試畫出橢圓，給出橢圓的定義，推導橢圓的標準方程.
二、課堂教學
（一）情境引入
我們已經學習了直線與圓的方程，也對曲線與方程的概念有了初步認識，從今天開始我們進入圓錐曲線的學習.首先來看第一種圓錐曲線：橢圓.在我們的日常生活中隨處可見橢圓，比如，圓柱形水杯傾斜時的水面，陽光下圓球的影子，太陽系中行星運行的軌跡，等等.那什么是橢圓呢？
古希臘數學家阿波羅尼奧斯采用平面切割圓錐的方法得到了幾種曲線：橢圓，拋物線，雙曲線，也就是我們現在稱的圓錐曲線.我們一起來看（視頻）.根據對橢圓的這個認識，能判斷某個物體是橢圓嗎？顯然是難以判斷的，因為我們難于將物體放在一個圓錐的曲面上.但是，橢圓不僅存在于圓錐上，更是自然界物體運動的普遍形式.所以，可以從運動的角度定義橢圓.
探究一：橢圓的定義
我們首先來做一個數學實驗（學生演示）：(1)取一條細繩；(2)把它的兩端都固定在黑板的同一點處；(3)套上粉筆，拉緊繩子，移動筆尖，這時筆尖畫出的軌跡是什么？（一個圓）；
-
如果把細繩的兩端拉開一段距離，分別固定在黑板的兩點處套上粉筆，拉緊繩子，移動筆尖，畫出的軌跡是怎樣的呢？（橢圓）
思考：(1)在橢圓形成的過程中，細繩的兩端位置是固定的還是運動的？說明了什么？
（在橢圓形成的過程中，細繩的兩端位置是固定的，可以看作是兩個定點.）
(2)在畫橢圓的過程中，繩子的長度變了沒有？說明了什么？
（在畫橢圓的過程中，繩子的長度沒有變化.）我們再通過幾何畫板演示一下剛才的數學實驗：點
看作是繩子的兩端，點
看作是筆尖.（幾何畫板演示）可以發現：整個過程中，線段
的長度不停地變化，但是它們的和始終不變.這說明了到兩個定點的距離之和等于常數.
我們知道：圓上的點滿足到定點的距離等于定長，所以將圓定義為平面內到定點的距離等于定長的點的軌跡.因為在空間中滿足條件的點形成的應該是一個球面，所以圓的定義限定在平面內.根據橢圓上的點滿足到兩個定點的距離之和等于常數，如何定義橢圓呢？
橢圓的定義：平面內與兩個定點
的距離之和等于常數（
）的點的軌跡叫做橢圓.兩個定點
叫做橢圓的焦點.兩焦點之間的距離叫做焦距.
為什么要規定
？當
或
時，軌跡會是什么呢？
（當
時，軌跡是一條線段，以
為端點的線段；當
時，軌跡不存在.）
橢圓的定義中要注意：(1)平面內；(2)到兩個定點的距離之和等于常數；(3)
.
小試牛刀：判斷 (正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)已知點
，
，動點
滿足
，則點
的軌跡是橢圓.
(2)已知點
，
，動點
滿足
，則點
的軌跡是橢圓.
-
已知點，，動點滿足
，則點的軌跡是橢圓.
探究二：橢圓的標準方程
研究曲線就要研究曲線的方程.根據橢圓的定義如何求橢圓的方程？請大家回顧求曲線方程的步驟是哪五步？（我們簡稱：建，設，現（限），代，化.）
第一步，建系：建系的原則是讓點的坐標和曲線的方程簡單，怎樣建系簡單？
取過焦點
的直線為
軸，線段
的垂直平分線為
軸，建立平面直角坐標系.
第二步，設點：設
是橢圓上任意一點，橢圓的焦距
，
與
的距離的和等于正常數
，則
的坐標分別是
，
.
第三步，找限制條件：這個問題是什么限制條件呢？
由橢圓的定義得，
.
第四步，代入坐標，得方程：根據兩點間距離公式，有
.
第五步，化簡：怎樣化簡？
等式中出現根式，我們一般考慮等式兩邊平方，但是由于這個等式左邊有兩個根式，可以考慮先移項后平方.
-
移項：
；
-
平方：
；
-
整理得：
；
-
再平方：
；
-
整理得：
，即
；
-
為了得到更加簡潔得方程，由于
，所以可以等式兩邊同時除以
得：
.
請看圖片：你能從圖片中找出
對應長的線段嗎？
取橢圓與
軸的交點為點
，則
，從而
.
為了得出更加對稱的方程形式，在方程
中，令
，且
，則橢圓的方程為
.我們把它稱為橢圓的標準方程.
我們把橢圓的焦點放在
軸上，得出橢圓的方程為
.如果把橢圓的焦點放在
軸上建系，又會得出怎樣的方程？請大家小組合作討論得出方程.
容易得出：橢圓的焦點放在
軸上建系，對應的方程是
.
橢圓的標準方程：我們通過把橢圓的焦點分別放在
軸和
軸上建系，得出了橢圓的兩種標準方程：
和
.其共同點是：表示焦點在坐標軸上，中心在坐標原點的橢圓，方程的左邊是平方和，右邊是1.不同點在于：焦點在
軸上的橢圓方程中
項分母較大，焦點在
軸上的橢圓方程中
項分母較大.
小試牛刀：
(1)已知兩定點
，動點
滿足
，則點
的軌跡方程是________.
(2)已知兩定點
，動點
滿足
，則點
的軌跡方程是________.
以上我們主要探究了橢圓的定義及標準方程，一起回顧一下：
橢圓的定義是：平面內與兩個定點
的距離之和等于常數（
）的點的軌跡叫做橢圓.通過把橢圓的焦點分別放在
軸和
軸上建系，得出了橢圓的兩種標準方程：
和
.
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