聯系本站客服加+微信號nice19188 或QQ：9899267  |
視頻標簽：第十一屆全國高中青年
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：第十一屆全國高中青年數學教師優質課大賽《數函數的概念》廣東—陳鍇
本視頻配套資料的教學設計、課件 /課堂實錄及教案下載可聯本站系客服
第十一屆全國高中青年數學教師優質課大賽《數函數的概念》廣東—陳鍇
《4.2.1 指數函數的概念》教學設計
(人教A版必修第一冊第四章指數函數與對數函數第二節指數函數)
一、教學內容解析
1. 教學內容：本節課的教學內容是人教A版必修第一冊第四章《指數函數與對數函數》第二節《指數函數》的第一課時《指數函數的概念》.
2. 內容解析：
(1) 內容的本質
函數是現代數學最基本的概念，是描述客觀世界中變量關系和規律的最為基本的數學語言和工具，指數函數是一種特殊的函數，是刻畫變量增長率或衰減率不變的函數模型.即在自變量增加1個單位，從
到
時，相應的函數值之比
為常數
(當> 1 時，為指數增長；當0<< 1時，為指數衰減).
(2) 蘊含的數學思想和方法
本節課的教學內容：指數函數的概念，屬于概念性知識.本節課將在函數的概念與表示、有理數指數冪和實數指數冪的運算等知識的基礎上，通過具體實例，引導學生通過代數運算得出刻畫問題 1、問題 2 中變量關系的函數解析式，發現并歸納它們的共性，抽象概括出指數函數的定義并用數學符號加以表示.其中蘊含的數學思想有：從特殊到一般、數形結合、分類討論、數學建模等數學思想和方法.
(3) 教學內容的上下位關系
本節課是在函數的概念與性質、冪函數、指數及其運算性質的基礎上，再次完整地使用研究函數的一般思路來研究一類基本初等函數的學習過程.數及其運算的產生和發展是推動數學發展的重要源泉和動力. 數、式、方程、函數等內容的基礎是數及其運算，函數是數及其運算的延伸和發展. 指數函數不僅與指數冪的概念和運算性質緊密相關，還與對數函數互為反函數.在學習對數函數、等比數列、概率統計、導數等教學內容時，指數函數會為上述知識的學習奠定基礎.作為一類重要的數學模型，指數函數也為學生使用數學知識解決實際問題提供了重要的工具.
(4) 蘊含的思維教學資源和價值觀教育資源
課程標準在本單元的“教學提示”中指出，“指數函數的教學，應關注指數函數的運算法則和變化規律，引導學生經歷從整數指數冪到有理數指數冪、再到實數指數冪的拓展過程，掌握指數函數的運算法則和變化規律.”本節課在明確了運算法則的基礎上，引導學生通過分析具體問題，體悟引入指數函數的必要性，再通過數學運算探究變量的變化規律、使用函數刻畫變化規律，從而抽象出指數函數的概念. 使得學生在數學概念生成過程中培養理性思維.
本節課將指數函數的概念應用于解決實際問題，體現了數學知識的文化價值、科學價值與應用價值，同時教材中問題情境的選取也起到了促進學生了解中國歷史文化、關心社會的作用，彰顯人文價值.
基于以上分析，本節課的教學重點是：通過具體實例，了解指數函數的實際意義，理解指數函數的概念.
二、教學目標設置
1. 教學目標
知識目標：
(1)通過分析具體實例，了解增長率、衰減率、指數增長、指數衰減的概念.
(2)理解指數函數
的概念、讀法、定義域和底數的取值范圍.
(3)通過分析具體實例，了解指數函數的實際意義.
技能目標：
(1)會用減法和除法運算計算增長量與增長率.
(2)能用描點法或借助計算工具畫出散點圖.
(3)會求指數函數解析式并根據解析式求不同的函數值.
能力與素養目標：
(1)通過使用指數函數的概念解決數學問題和實際問題，提高從數學角度分析和解決問題的能力.
(2)經歷將特殊函數抽象為一般函數的知識生成過程，理解指數函數的概念，提升數學抽象素養.
(3)通過使用指數函數模型解決數學問題與實際問題，體會函數模型在解決實際問題中的作用，發展數學建模素養.
2. 教學目標分析
達成上述目標的標志是：
(1)能根據教材中的游客增長問題與碳 14 衰減問題，通過減法和除法運算，發現數據具體的增長或衰減規律，理解實際問題中變量之間的關系.
(2)在了解指數函數的實際意義的基礎上，知道指數函數的含義和表示，清楚指數函數的定義域和底數的取值范圍.
(3)在掌握指數函數概念的基礎上，能根據實際問題建立指數函數模型，并解決實際問題.
三、學生學情分析
1. 已具備的認知基礎
在初中階段，學生學習了乘方和冪的概念：“求
個相同因數的積的運算，叫做乘方，乘方的結果叫做冪. 在
中，叫做底數，叫做指數.”這個概念為指數的運算奠定了基礎.在高中階段，數學教材第一冊第四章第一節《指數》中，引導學生經歷從整數指數冪到有理數指數冪再到實數指數冪的拓展過程，建立實數指數冪的概念，是為了本節課確定指數函數的定義域為
奠定了認知基礎；研究指數冪的運算性質，是為本節使用指數函數模型刻畫實際問題情境中的對應關系奠定了認知基礎；通過確定無理數指數冪是一個確定的實數，從而實數指數冪是一個確定的實數，為本節課通過定義域和對應關系確定值域奠定了認知基礎.
在第三章《函數的概念與性質》中，學生經歷了分析具體實例、歸納共同特征、抽象概括函數的一般概念的過程，知道了函數不僅可以理解為刻畫變量之間依賴關系的數學語言和工具，也是兩個實數集之間的對應關系，具有一定的數學抽象能力. 學生在初中已經接觸過函數的三種表示法：解析法、列表法和圖像法，在第三章《3.1.2 函數的表示法》一節中，學生更加深入地學習了三種表示法，了解三種表示法的特點，并能夠根據具體實例選擇合適的方法表示函數，為本節課刻畫變量變化規律奠定了數學方法基礎.
2. 達成教學目標所需要具備的認知基礎
要達成本節課教學目標，學生需要具備以下認知基礎：
(1) 學生要具備定性描述變化規律與定量刻畫變化規律的意識，理解變化中的不變性和不變量是規律性的體現，并掌握通過運算求得不變量的方法.
(2) 通過歸納概括抽象出指數函數的概念是本節課的核心教學內容，需要學生具備一定的抽象概括思維基礎.
(3) 函數模型是解決數學問題與現實問題的重要工具，本節課的學習需要學生具備模型意識，能主動運用函數模型刻畫變量的變化規律，能通過分析變量變化規律生成
指數函數模型，并運用指數函數模型解決問題.
3. 認知基礎差異與教學難點
對比學生已經具備的認知基礎和達成本節課教學目標所需要具備的認知基礎，學生在通過代數運算探究變量變化規律、歸納特殊函數的特點構建一般化的指數函數概念和運用指數函數模型解決問題上存在一定的認知基礎差異.
根據以上分析，本節課的教學難點如下：
(1) 通過類比，使用除法運算發現數據變化規律、刻畫變化規律.
(2) 指數函數概念的抽象概括.
(3) 運用指數函數模型解決實際問題.
4. 難點突破策略
教師在教學中要給學生探索和發現的機會，并在恰當處給予學生指導. 在學生不能從問題 1 的數據中發現游客人次變化規律時，可引導學生先根據已知數據作出圖象進行觀察，然后啟發學生對已知數據進行運算，通過除法運算得到每年與上一年旅游人次的比例為常數，從而結合圖象發現變化的規律. 對數據進行哪些運算才有利于發現規律，是學生已有知識經驗中缺乏的，教學中要引導學生注意，并用好教材邊框中對“增長量”、“增長率”的介紹.
要把從不同問題中得到的函數解析式概括為的形式，可能需要教師指導學生將問題 2 的解析式整理為
.教學中要引導學生利用信息技術工具，從指數冪的意義、函數的對應關系和圖象出發，結合實例理解指數函數底數的取值范圍.
四、教學策略分析
1. 組織教學材料的分析
指數函數是學生進入高中后學習的一類特殊的函數，學生在學習了函數的概念、冪函數、指數的相關運算與性質后，體會在實際問題背景下，通過運算的推動，結合函數的概念，抽象概括指數函數概念的過程，本節課以生活實際問題為情境，數據較多，不易處理，需要借助圖形計算器計算和作圖，讓學生通過直觀感知和數據分析形成概念，體會數形結合思想.
2. 教學方法
本節課采用了講授教學法、探究教學法等教學方法.
3. 對不同認知基礎的學生的教學策略
學習本節課內容的預備知識為：函數的概念、冪函數、次方根與分數指數冪、無理數指數冪及其運算性質. 對于認知基礎掌握不牢的學生，在本節課授課前，教師要通過課前預習等方式幫助學生掌握本節課預備知識.
4. 學生教學反饋分析
學生在初中階段有學習一次函數的經歷，在高中階段也學習了函數的概念與性質、冪函數和指數 (次方根與分數指數冪、無理數指數冪及其運算性質) 等內容，初步具 備了用函數來刻畫事物變化規律的經驗. 在問題 1 中，A地景區旅游人次變化規律符合一次函數的模型，學生較好理解；但對于B地景區的旅游人次，由于數據變化規律超出學生的認知范圍，教師可以借助圖形計算器，通過觀察圖象，輔助學生直觀理解. 在“創設情境，引入新知”的環節，由做減法到除法的類比過程學生會遇到困難，教師需要加以引導.
五、流程框圖
1.數學流程圖
2.教學流程圖
六、教學過程設計
| 教學環節 | 教學步驟 | 預計時間（分） | 教學內容 | 教師活動 | 學生活動 | 設計意圖 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 創設情境引入新知 | 研究A地景區游客人次變化規律 | 5分鐘 |
情境 1：隨著中國經濟高速增長，人民生活水平不斷提高，旅游成了越來越多家庭的重要生活方式. 由于旅游人數不斷增加，A,B兩地景區自 2001 年起采取了不同的應對措施，A地提高了門票價格.下表給出了A地景區2001年至2015年的游客人次.
|
教師展示 PPT，向學生介紹問題情境并提問. 問題 1：觀察A地景區數據，隨著時間的變化，你能發現景區游客人次發生了怎樣的變化嗎？ 問題 2：你能用更直觀的方式描述這種變化嗎？ 在學生完成描點作圖后，教師使用圖形計算器，做出A地景區數據散點圖，引導學生根據圖象觀察出A地景區數據近似分布在一條直線附近.  問題 3：你能用更精確的方式描述游客人次隨時間的變化而變化的規律嗎？ 教師引導學生使用一次函數  刻畫游客人次和年數之間的對應關系，其中 表示游客人次的初始量， 表示游客人次的年增加量.根據已知數據可得： ，從而確定一次函數解析式為 |
學生閱讀教材內 容，通過觀察表中數 據發現A地景區年游客人次逐年增加. 答：可以使用圖象法，觀察變化規律. 學生在學案上描點作圖. 答：設時間（年數）的增量為  ，游客人次為 ，可以求出關于的函數解析式，用解析式描述變化規律.學生使用作差運算，筆算求得A地景區游客人次的年增加量約為10（萬次）. |
引導學生通過分析具體問題情境，探尋數據之間的對應關系與變化規律. 在本環節中學生用傳統的紙筆運算和描點作圖方式，經歷從定性分析到定量分析，從直觀感知到精準刻畫的問題分析過程，積累在問題情境中發現問題、分析問題的數學活動經驗. 通過對兩地景區數據的分析與對比，自然引出新知，激發學生的學習興趣. 教師使用信息技術工具展示數據分析過程，體現信息技術工具對數學課堂教學和數學問題分析的強大作用. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
研究B地景區游客人次變化規律 |
10分鐘 |
情境 2：B 地景區取消了景區 門票，下表給出了 B 地景區 2001 年至 2015 年的游客人次.
|
問題 4：類比分析A地景區數據的方法，你能發現B地景區數據的變化規律嗎？ 教師指導學生在學案上描點作圖和計算年增加量. 問題 5：B地景區數據和A地景區數據的變化規律相同嗎？具體有哪些體現？ 師：B 地景區的游客人次是非線性增長，年增加量越來越大，但從圖象和年增加量都難以看出變化規律.  問題 6：B 地景區數據通過減法運算得到的年增加量不是常數，你能通過其他運算找到 B 地景區數 據中的這個不變量嗎？ 教師引導學生嘗試用加法、乘法、除法等運算對B 地數據進行分析，最終使用圖形計算器計算發現 B地景區數據的年增加比例近似為 1.11.  問題 7：如果設經過 x 年后，B 地景區游客人次為 2001 年的 y 倍，你能寫出 y 關于 x 的代數關系式嗎？ 教師展示 PPT，指導學生通過運算獲得代數關系式  .問題 8：關系式 是一個函數嗎？可以如何判斷？教師使用圖形計算器做出圖象，分析圖象的變化趨勢，利用函數的概念分析出任意的自變量  ，按照對應關系都對應到唯一的函數值，所以關系式是一個函數. |
學生通過描點作圖和計算年增加量，發現B地景區數據的變化規律與A地不同. 在數據上，A 地景區數據年增加量近似相同（10 萬人次），B 地景區數據年增加量越來越大；在圖像上 ，A地景區數據散點分布在一條直線附近 ，B地景區數據散點分布在一條曲線附近，所以不能用一次函數刻畫B地景區數據變化規律. 答：是 一 個 函數，用函數的概念和函數的圖象進行判斷. 函數的概念：一般地，設 A,B 是非空的實數集，如果對于集合 A 中的任意一個數 x，按照某種確定的對應關系 f ，在集合 B 中都有唯一確定的數 y 和它對應，那么就稱 f:A→B為集合 A 到集合 B 的一個函數. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 創設情境引入新知 | 研究問題2 | 8分鐘 | 情境 3：當生物死亡后，它機體內原有的碳 14 含量會按確定的比率衰減 (稱為衰減率)，大約每經過5730 年衰減為原來的一半，這個時間稱為“半衰期”. 按照上述變化規律，生物體內碳 14 含量與死亡年數之間有怎樣的關系？ |
問題 9：設死亡生物體內碳 14 含量的年衰減率為 p，如果把剛死亡的生物體內碳 14 含量看成 1 個單位，你能寫出表示死亡生物體內碳 14 含量 y 與死亡年數 x 之間的代數關系嗎？ 教師展示 PPT，學生完成以下計算： 死亡1年后，生物體內碳 14 含量為  死亡2年后，生物體內碳14含量為  死亡3年后，生物體內碳14含量為  …… 死亡 年后，生物體內碳 14 含量為 .即得到  .問題 10：如何求衰減率  ？師生利用題目條件，通過運算求得  的值，具體過程為：死亡 5730 年后，生物體內碳14含量為  ；根據已知條件， ,從而 , 所以 .設生物死亡年數為x，死亡生物體內的碳14含量為y，那么, 即： .顯然這也是一個函數.師：死亡生物體內碳 14 的含量每年都以  的比率衰減，像這樣，衰減率為常數的變化方式，我們稱為指數衰減. |
學生類比研究B 地景區游客人次變化規律的方法，求生物體內碳 14 含量隨死亡年數變化的函數解析式. | 在分析了B地景區數據的基礎上，本環節的問題情境用文字語言描述變量之間的變化規律，培養學生將文字語言轉化為數學語言的能力并引出指數衰減的概念，進一步將指數函數所刻畫的數據變化規律清晰化、豐富化. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 歸納特征生成概念 | 歸納特征生成概念 | 10分鐘 |
分析函數解析式 和 的共同特征. 將其抽象為統一的形式：  并研究其定義域. |
問 11：B 地景區游客人次增長規律與碳 14 衰減規律有什么共同特征？ 問 12：你能把  和 歸納為統一的函數形式嗎？ 師：如果用字母  代替上述兩式中的底數1.11和  ，那么函數和 就可以表示為 的形式，其中指數是自變量，底數是一個大于0且不等于1的常量.追問：底數 小于0可以嗎？如果底數等于1呢？師：底數 小于0時，自變量不能為偶數分之1.如果底數 等于 1， 恒為1，沒有研究的意義.追問：自變量 可以取負數嗎？師：于是，我們得到指數函數的定義：一般地，函 數 稱為指數函數，其中指數是自變量，定義域為 R. |
答 ：當 自 變 量（年數）增加 1 時，因變量 都以一個確定的比例增加或減少，即： (當 時，為指數增長；當 時，為指數衰減).答：可以寫出統一的形式  .答：可以，因為  ，所以自變 量可以取負數. |
從形式和本質上對兩個代數關系式進行對比分析，引導學生歸納兩個代數關系式的共同結構特征，經歷從特殊到一般的數學抽象全過程，生成指數函數的概念. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 應用概念解決問題 | 講解例1 | 3分鐘 |
例 1：已知指數函數 ，且 ，求 f(0)，f(1)，f(-3). |
例 1 解答略. 師：教師引導學生，要求出 f(0)，f(1)，f(-3) 的值，應先求出  (a > 0, 且 a ≠ 1) 的解析式，即要先由已知條件 f(3) = π，求出 a 的值. |
運用指數函數解決數學問題，培養學生使用指數函數概念解決數學問題的能力. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 講解例2 | 6分鐘 |
例 2.(1) 在問題2中，某生物死亡 10000 年后，它體內碳 14 含量衰 減為原來的百分之幾？ (2) 在問題 1 中，如果平均每位游客出游一次可以給當地帶來1000元門票之外的收入，A地景區的門票價格為150元，比較這15年間，A，B 兩地旅游收入的變化情況.   |
例 2：(1) 設生物死亡 x 年后，它體內碳 14 含量為 .如果把剛死亡的生物體內碳 14 含量看成 1 個單位，那么 .當 x = 10000 時，利用圖形計算器求得 h(10000) ≈ 0.30.(2) 設經過x年，游客給A,B兩地帶來的收入分別為f(x)和g(x)，則f(x) = 1150 × (10x + 600)，g(x) = 1000 × 278 × 1.11x。 教師利用圖形計算器進行計算，指導學生總結結 論.  師：通過以上的對比，我們發現 f(x)，g(x)都是增函數，剛開始的時候，f(x)會占據比較大的優勢，但是隨著 x 的增大，g(x) 增長會越來越快，積累到一定的量以后，呈現出爆炸式的增長，這種增長形式叫做指數爆炸. |
學生計算A，B兩地旅游收入，得出相應的函數解析式. |
在本節課引入新知的問題情境的基礎上，進一步將問題情境進行拓展與深化. 培養學生使用數學知識解決實際問題的能力，培養數學建模核心素養. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 總結方法歸納思想 | 課堂小結 | 3分鐘 |
二、總結方法落實技能  |
問 13：通過本節課的學習，你可以總結一下探究 指數函數概念的方法與思路嗎？ 師生活動：教師引導學生回顧、思考、整理、歸納、 總結. 教師要仔細傾聽學生的想法，關注學生對指數函數概念的研究過程的表述，適時引導和優化，達到突出重點的目的. 問 14：現實生活中還有哪些問題可以用指數函數模型進行研究呢？ 師：在實際問題中，經常會遇到類似于例 2(1) 的 指數增長模型：設原有量為 N ，每次的增長率為 p，經 過 x 次增長，該量增長到 y，則  (x ∈ N). 比如：傳染病模型 就是一個指數增長模型. |
答：通過分析實 際的問題，研究數據 之間的變化規律，通 過尋求不變量建立函數解析式，再分析函數解析式的共同點構建一類函數. 答：生活中的銀行貸款利息、細菌繁 殖等問題也是用到 指數函數. |
總結本節課學習的指數函數概念及其衍生概念. 歸納生成一類新的函數的一般性方法，總結運用數學知識解決問題的一般過程，培養學生用數學眼光觀察世界，用數學思維思考世界，用數學語言表達世界的能力. 培養學生數學建模核心素養，為后續開展數學建模活動積累數學活動經驗. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 布置作業拓展深化 | 布置作業 | 1分鐘 |
1. 完成教材 115 頁練習 1，2，3. 2. 如果某函數呈指數增長，那么稱函數值增長為原來兩倍所用的時間為“倍增期”. 通過互聯網、文獻查閱等方式，給出一個倍增的指數函數模型. 3. 運用指數函數模型研究放射性物質衰減的現象，并形成探究小論文. |
教師向學生布置作業 | 通過完成課后練習與自主學習倍增的指數函數模型以及運用 指數函數模型研究放射性物質衰減現象形成探究小論文，培養學生指數函數模型的應用能力. |
)
)視頻來源：優質課網 www.jjlqy.cn
