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視頻標簽：第十一屆全國高中
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：第十一屆全國高中青年數學教師優質課大賽《球的體積》甘肅—葉
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第十一屆全國高中青年數學教師優質課大賽《球的體積》甘肅—葉
《球的體積》教學設計
授課內容：湘教版必修二第四章第5節《球的體積》。
授課教師：蘭州市第五十七中學 葉薇
一、教學內容解析
1.課標分析
（1）數學文化視角：在《普通高中數學課程標準》中，明確指出：依據數學學科特點，關注數學邏輯體系、內容主線、知識之間的關聯，重視數學實踐和數學文化。并指出：數學文化是指數學的思想、精神、語言、方法、觀點，以及它們的形成和發展；包括數學在人類生活、科學技術、社會發展中的貢獻和意義，以及與數學相關的人文活動。數學課是傳播數學文化的重要載體，如果將數學文化融入課堂教學，讓學生了解數學發展的過程、重要結果、主要人物、關鍵事件及其對人類文明的貢獻，就會使課堂變得豐富多彩，讓學生更好的理解數學、熱愛數學。
（2）數學“四基”視角：利用實物、計算機軟件等觀察空間圖形，認識柱、錐、臺、球及簡單組合體的結構特征，能運用這些特征描述現實生活中簡單物體的結構。知道球、柱、錐、臺的表面積和體積的計算公式，能用公式解決簡單的實際問題。
通過直觀感知，操作確認，推理論證、度量計算等方式，讓學生經歷球的體積的推導過程，認識和探索空間圖形的性質，建立空間觀念。通過實際情境發現問題、提出問題、分析問題、構建模型、確定參數、計算求解、檢驗結果、改進模型的過程，滲透數學思想、提升數學核心素養。
2.教學內容
本節內容選自湘教版高中數學必修二第四章第五節，課程標準中要求學生知道球的體積計算公式，能用公式解決簡單的實際問題。考慮到課程標準要求培養學生的核心素養，也要注重數學文化的滲透，所以本節課我設計為一節探究課，既是柱體、錐體、臺體相關知識的承接和延續，又為后續解決與球有關的實際問題奠定基礎，既可以用其結論又可以用推導這個結論的方法。為了從數學文化的角度認識球體，結合人教B版高中數學必修四第十一章第一節的內容，引入了“牟合方蓋”這個重要的幾何模型，具體有兩個任務：一是根據祖暅原理求球的體積；二是根據祖暅原理求牟合方蓋的體積。
二、教學目標設置
1.教學目標
（1）初步了解牟合方蓋的故事和其中蘊含的數學知識，會從實際物體中抽象出數學模型，培養數學抽象、數學建模的核心素養。
（2）能利用實驗探究的方法，構造出一個和半球體積相等，且滿足祖暅原理的幾何體模型，并借助祖暅原理完成球的體積公式的推理證明。
（3）類比球體積公式的推導方法，推導牟合方蓋的體積公式，學會構建幾何體模型，求解幾何體體積的方法，滲透數形結合、類比轉化的數學思想，培養邏輯推理的核心素養。
2.教學目標達成的標志
（1）能借助實驗活動，構建出和半球體積相等的幾何體模型。
（2）能將幾何體的體積相等的問題，轉化為等高處的截面積相等的問題。
（3）能用祖暅原理對求球的體積和牟合方蓋體積的方法進行理論證明。
3.教學重點
探究球的體積公式的推導方法，從而掌握解決一類幾何體體積的計算方法。
三、學生學情分析
1.已經具備的認知基礎：學生已經認識了空間幾何體的形狀和位置關系，以及柱體、錐體、臺體的體積和表面積，具有一定的空間想象能力，將簡單的生活問題構建成數學模型的能力和邏輯推理的能力。
2.達成目標需要具備的認知基礎：（1）圓柱、圓錐的體積公式；（2）將實物抽象成數學模型的數學建模能力和邏輯推理能力。
3.可能遇到的問題：學生能直觀感受半球的體積介于同底等高的圓柱和圓錐之間，但是不能準確得到它們之間的數量關系；牟合方蓋和球體相切時，無法確定切點位置，不會計算對應截面積的大小。
4.解決方法：借助GGB軟件和實驗探究讓學生對抽象的數學問題和數學模型有直觀的感知，逐步引導學生進行抽象概括；將牟合方蓋和正方體相切的切點找出，再確定牟合方蓋和球體相切的切點，求出對應的截面積。
5.教學難點：（1）利用祖暅原理構造和半球體積相等的幾何體模型。
（2）對牟合方蓋圖形的認識及其體積的推導。
四、教學策略分析
問題是數學的心臟，本節課以建構主義為理念，采用任務驅動的探究式教學方法，通過創設問題情境，讓學生帶著問題學習，以問題為載體，掌握知識和方法。推理是數學的命脈，通過對球的體積公式的理論證明，培養學生數學推理的核心素養。思想是數學的靈魂，在獲得知識的過程中滲透解決問題的數學思想和方法。根據維果斯基的“最近發展區”理論，在學生已經掌握的知識和已有思維特點的基礎上來建構新知，通過動手操作、信息技術等手段，使復雜問題簡單化、抽象問題直觀化，經歷數學之旅，體會數學之美。幫助學生完成從生活實例到數學模型的建構過程，實現從感性認識到理性思考的飛躍。
為達到理想的教學效果，本節課在學生合作探究的過程中，教師通過適時指導，調節學生探究的進度和效度。對學生展示交流的結果，引導同伴對推理的嚴謹性、表達的完整性、書寫的規范性進行評價，通過同伴的相互評價，調動學生思維的活躍性，促使課堂問題高效解決。
教具：多媒體課件、半球、圓柱、圓錐道具（教師自制）、GGB軟件
五、教學過程
根據本節內容特點，我將本節課的教學過程分為10個環節。
環節1. 觸景生情——生活中的數學（找準切入點）
看是一幅畫，
聽是一首歌。
牟合方蓋是星座，
千秋永不落。
圖中的物件是利用我國古代非常著名的數學模型——牟合方蓋制作而成的，什么是牟合方蓋呢？下面讓我們一起來認識這個幾何模型。
設計意圖：利用一首小詩開場，突出牟合方蓋在數學發展史中的重要性，同時結合食物罩和宿營帳篷引入牟合方蓋這個數學模型，將生活問題轉化為數學模型，營造輕松學習的氛圍，激發學生學習數學的興趣。
環節2. 追根溯源——牟合方蓋的故事
魏晉時期的數學家劉徽在給《九章算術》作注的時候發現了“牟合方蓋”這個數學模型。它是正方體中放入兩個互相垂直的內切圓柱時，兩圓柱的公共部分形成的幾何體，由于其采用的模型像一個牟合的方形盒子，故稱為牟合方蓋。
設計意圖：講述牟合方蓋的來源，加深學生對數學文化的了解。
環節3. 剝繭抽絲——牟合方蓋中的數學
（尋求發散點）
因為《九章算術》中的“開立圓術”記載半徑為R的圓與其外接正方形的面積之比為
，將球放入圓柱中，并與圓柱相切，
，結合圖形，我們知道圓柱的體積為
,所以
,《九章算術》中記載
，所以球的體積
.
但是，劉徽發現過圓柱旋轉軸的截面是圓與正方形相切，此時
，與旋轉軸平行的截面是長方形，與圓只有兩邊相切，此時
，所以劉徽認為
，
.
于是劉徽想到了推算球體積的方法，他創造了一個稱為“牟合方蓋”的立體圖形。在一個正方體中作兩個互相垂直的內切圓柱，其相交的部分就是牟合方蓋。牟合方蓋恰好把正方體的內切球包含在內，并且與球相切。正方體與球相切的切點是正方體各個面的中心，它們也是牟合方蓋和球相切的切點。
思考：（1）水平面截牟合方蓋及其內切球會得到什么圖形？
（2）相同高度時，水平截面圓與其外切正方形的面積之比是多少？
（3）類比猜想：
。
因此，只要知道了牟合方蓋的體積就能算出球的體積，遺憾的是劉徽當時并沒有求出牟合方蓋的體積，他說：“敢不闕疑，以俟能言者”，意思是：我解決不了的問題，等待后人解決吧！
設計意圖：讓學生了解牟合方蓋和牟合方蓋中的數學，利用動畫讓學生直觀感受牟合方蓋的模型，球的截面和牟合方蓋截面面積的關系，類比猜想得到它們體積之間的關系。同時使學生知道古代數學家治學嚴謹、一絲不茍、實事求是的數學精神。培養數學建模、直觀想象的核心素養。
環節4
4.1古為今用——祖沖之與祖暅
兩百多年后，祖暅在劉徽研究的基礎上，繼承了其父祖沖之的事業，徹底解決了球的體積，發現了著名的“祖暅原理”。
設計意圖：讓學生了解古代數學家的偉大成就。
4.2古為今用——祖暅原理
祖暅原理的內容是：冪勢既同，則積不容異。意思是，兩個幾何體高度相同，用任一水平面截這兩個幾何體時，截面積始終相等，則它們的體積相等。
比如，桌面上的一沓書，當它傾斜或扭曲放置時，它們在相同高度處的截面積始終相等，那么它們的體積相等。這樣我們就可以將不規則幾何體的體積轉化為規則幾何體的體積，將未知幾何體的體積轉化為已知幾何體的體積。
設計意圖：介紹祖暅原理，通過動畫讓學生理解祖暅原理的核心是相同高度時，截面積相等，則體積相等。培養邏輯推理核心素養。
環節5. 借水行舟——球的體積（點擊興奮點）
探究一：如何利用祖暅原理求球體的體積
問題1：球的截面都是什么圖形？這些圖形是否具有對稱性？
設計意圖：利用球的對稱性，將球體一分為二，把整個球體的體積轉化為半球的體積，滲透轉化的數學思想方法。
5.1借水行舟——實驗探究
問題2：如圖所示，已知半球的半徑為R，圓柱和圓錐的底面半徑為R，高也為R.請觀察以下這三個幾何體的體積之間有什么關系？
為了更清晰、直觀的得到這三個幾何體體積之間的數量關系，請同學們借助手中的道具，以小組合作的方式，進行探究活動。
實驗的結論：
。
根據祖暅原理，可以得到相同高度時，
所以，在接下來的探究中，我們只需證明它們在相同高度處的截面積相等即可。
設計意圖：學生通過圖形直觀感知得到同底等高的圓柱體積最大，圓錐體積最小，半球的體積介于圓柱體積和圓錐體積之間，利用實驗可以得到更明確的關系，為接下來的理論證明打好基礎。培養直觀想象、邏輯推理的核心素養。
5.2借水行舟——構造模型
通過實驗探究，我們得到
。如圖所示，半球的體積等于從圓柱中挖去一個和它同底等高的圓錐后所形成的幾何體的體積。我們來驗證這兩個幾何體是否滿足祖暅原理？用半球底面所在的平面去截這兩個幾何體，截面積分別為
，用圓柱上底面所在平面去截這兩個幾何體，截面積分別為
，它們不滿足祖暅原理。結合數據思考，如何調整，它們就有可能滿足祖暅原理？
設計意圖：根據前面實驗探究的結果，引導學生嘗試構造出一個和半球體積相等，且滿足祖暅原理的幾何體模型。培養直觀想象、數學建模的核心素養。
5.3借水行舟——模型釋義
我們用GGB軟件來直觀感受一下，圖中的陰影部分分別表示對應幾何體的截面，數值是兩個截面積的大小。請同學們觀察，當高度
變化時，這兩個截面積
的大小有什么關系？根據祖暅原理，這兩個幾何體的體積相等。
設計意圖：利用GGB動態展示圖，讓學生理解高度相同時，截面積相等，根據祖暅原理，就可以得到體積相等。培養直觀想象、邏輯推理的核心素養。
5.4借水行舟——理論證明
數學是一門嚴謹的學科，推理是數學的命脈。實驗探究和觀察得到的結論可能會存在一定的誤差，所以我們要用嚴謹的邏輯推理來證明所得到的結論。
問題3：如圖所示，用高為的水平面去截兩個幾何體，所截得的面積分別為
,
試用
和表示,并用祖暅原理證明實驗的結論。
（學生小組合作，展示證明過程）
請學生按下表所列內容，評價剛才的展示過程。
設計意圖：學生通過對直觀感知的結論進行嚴謹的推理證明，讓學生學會用數學的眼光觀察，用數學的思維思考，用數學的語言表達，培養學生的數學核心素養。通過同伴間的相互評價，使學生在邏輯推理、語言表達、書寫規范這幾個方面互相學習、揚長避短、精益求精。
5.5借水行舟——數學之美
觀察數學模型的動態演示，我們能更直觀、更清晰、更形象看到半球、圓柱、圓錐體積之間的關系，所以數學很神奇，數學很美！
設計意圖：同學們在直觀感受它們體積之間關系的同時，也能體會數學軟件的強大作用和數學之美。培養直觀想象的核心素養。
環節6. 乘風破浪——牟合方蓋的體積
探究二：如何利用祖暅原理求牟合方蓋的體積
問題1：（1）類比球的體積推導過程，可否將牟合方蓋一分為二？
（2）能否找出與其同底等高的幾何體，構建相關的幾何體模型？（如：棱柱、棱錐等）
（3）類比半球體積的推導過程，猜想這幾個幾何體的體積之間有什么關系？
問題2：如圖所示，用高為的水平面去截這三個幾何體，所截得的面積分別為
,試用
和表示
,證明我們的猜想。
（學生展示證明過程）
請學生按下表所列內容，評價剛才的展示過程。
祖暅用不同于今天的方法，求出了牟合方蓋的體積，然后利用
，得到球體的體積公式。感興趣的同學可以查閱資料進行推理證明。
設計意圖：通過問題鏈的思考，類比球的體積的推導過程，引導學生構造求牟合方蓋體積的幾何體模型，培養學生的數學建模素養。學生通過對猜想的結論進行嚴謹的推理證明，從特殊到一般，構建解決同類幾何體體積的數學模型，培養邏輯推理的核心素養。同伴間的相互評價，使學生養成一絲不茍的學習習慣，培養學生勇于探索、合作共贏的精神。
環節7. 引以為豪——古代優秀數學家劉徽、祖沖之、祖暅
祖暅原理的發現比意大利數學家卡瓦列里類似結論的提出早一千多年，祖暅原理是中華民族的驕傲，非常的了不起！同學們要向偉大的數學家學習，珍惜時光、不負韶華，做對祖國、對人民、對社會有用的人！
設計意圖：通過中國古代數學家的偉大成就，增強學生的文化自信和民族自豪感。
環節8. 回頭望月——小結（形成整合點）
問題：1.本節課學習了什么原理？
2.用祖暅原理解決了什么問題？
3.在解決問題的過程中得到了什么結論？
4.在得到結論的過程中用到了哪些數學思想方法？
5.本節課的學習中，了解了哪幾位中國古代的數學家？
結論：一、基礎知識：
1個原理：祖暅原理
2個幾何體：球、牟合方蓋
3個結論：
二、思想方法：數形結合、歸納類比、構造轉化
三、核心素養：數學抽象、直觀想象、數學建模、邏輯推理
四、數學文化：中國古代數學家——劉徽、祖沖之、祖暅
設計意圖：用回答問題的形式，引導學生回顧反思，對本節課的內容進行小結，通過提煉概括，形成知識的網絡體系。明確本節課的學習目標，檢測學習的效果。
環節9. 趁熱打鐵——作業設計
閱讀作業：1.閱讀課本P82-P86，根據本節課的講授內容，梳理球體體積公式的發現過程。
2.請查閱資料，試著用微積分的方法推導球的體積公式，探究球的體積和表面積之間的關系。你還能想到別的推導球的體積和表面積的方法嗎？
基礎作業：1.如果一個球的大圓的面積增加到原來的
倍，那么這個球的體積會怎樣變化？
2.用一個平面截半徑為
的球，截面面積是
，求球心到截面的距離。
拓展作業：1.如圖所示，扇形的半徑為
，圓心角為
，若扇形AOB繞直線OB旋轉一周，圖中陰影部分旋轉后所得的幾何體與某不規則幾何體滿足“冪勢既同”，則該不規則幾何體的體積為多少？
2.將鋼球放入一個正方體中，已知正方體的棱長為
,求鋼球的最大體積為多少?
3.已知一個正方體所有的頂點都在一個球面上，且這個球的體積是
，求正方體的棱長。
思維導圖作業：本單元學過的幾何體之間的聯系以及研究這些幾何體的方法。
設計意圖：通過四類作業的設計，實現知識的融合與綜合，讓不同水平的學生得到不同層次的發展。
環節10. 樂在其中——結束語
最后用一小段音樂來結束本節課，意在讓學生在輕松愉快的氣氛中掌握數學思想方法的重要作用，以期對學生后續的學習有所幫助。
我想對你說
數學是首歌
問題是綠色的河
方法是奔騰的波
數學是首歌
同行是你和我
思考是春天的海
思想是生命的火
板書設計
六、教學反思
感悟收獲：
1.用一首小詩引入本節課的內容，講述中國古代優秀的數學文化，較好的完成了“立德樹人”的目標。
2.通過提出猜想—實驗驗證—理論證明的互動體驗、啟發探究，較好的完成了教學目標。
3.通過數學軟件，使數學教學與多媒體技術進行有效的融合。
4.在教學活動中，采用了學生之間的互動評價，使得教學活動的開展顯得生動、活潑。
反思不足：
1.對牟合方蓋物件結構特征的研究不夠深入。
2.對劉徽、祖沖之、祖暅三位古代數學家數學成就的研究不夠深入。
3.由于數學理論水平不高，經驗不足，引導學生創造性構造幾何體模型思維活動的研究不夠深入。
以上3個方面，需要在今后的教學中不斷的學習、改進、提高。
視頻來源：優質課網 www.jjlqy.cn
