視頻簡介：
視頻標簽：第十一屆全國高中
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：第十一屆全國高中青年數學教師優質課大賽《空間中點、直線和平面的向量表示》河南—趙
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第十一屆全國高中青年數學教師優質課大賽《空間中點、直線和平面的向量表示》河南—趙
2022年全國高中數學優秀課教學設計
§1.4.1 空間中點、直線和平面的向量表示
一、教學內容和內容解析
（一）內容
空間中點、直線和平面的向量表示，以及平面法向量的概念和求法．
（二）內容解析
本節課是本章第4節的第一課時，本章的第4節空間向量的應用，是在學習了空間向量及其運算、空間向量基本定理以及空間向量及其運算的坐標表示之后，再利用空間向量集中、具體地解決立體幾何的問題．前面的學習比較分散，隨學隨用、學以致用，同時在解決立體幾何問題中鞏固空間向量的知識，而本節內容，讓學生進一步集中體會用向量解決立體幾何問題的思想和方法．作為本節的第一課時《空間中點、直線和平面的向量表示》，可以說是起著承上啟下的作用，既充分運用了前面所學知識，來對空間基本元素的向量表示進行探究，又是本節的第2-6課時所研究內容的重要理論基礎．因此，學好本節課，至關重要．
基于以上分析，確定本節課的教學重點是：利用向量集方向和大小于一身的特性，利用共線定理以及平面向量基本定理的內容，推導點、直線和平面的向量表示；類比直線的方向向量的概念，探索平面的法向量的概念，并能夠在具體問題中求得平面的法向量．
1.能利用共線定理、平面向量基本定理等內容，探究點、直線和平面的向量表示，并建立立體圖形與空間向量的聯系；理解直線的方向向量和平面的法向量，掌握平面法向量的求解方法；
2.通過經歷問題的探究過程，體會其中的研究方法，從而把握問題的本質；感悟此過程中所體現的轉化與化歸等數學思想；
3.通過提出問題、分析問題和解決問題的過程，提升數學抽象、邏輯推理、直觀想象等核心素養．
（二）目標解析
達成上述目標的標志是：
1.學生通過長方體這個載體，直觀想象、抽象歸納出點的位置向量，并明確用點的位置向量來表示點的意義．
2.學生能夠通過抓住“點的位置向量”這條主線，突破“直線的向量表示”這個難點，從而自主探究得出“平面的向量表示”方法；通過“陀螺的軸和圓盤平面始終保持垂直關系”的實例，抽象出“平面法向量”的概念，并理解法向量的作用及意義．
3.學生能夠體會從“點、直線和平面的位置關系”是如何轉化為“向量的位置關系”的，以及從“向量的位置關系”又是如何轉化為“向量的數量運算”的過程中所體現出來的轉化與化歸思想．
本節課的教學對象是高二學生.學生在本節課之前已經具備的認知基礎有：
1.平面向量的概念、運算，平面向量基本定理及坐標表示；
2.空間向量的概念、運算，空間向量基本定理及坐標表示；
3.立體幾何初步的相關知識．
雖然學生有平面向量在平面幾何中的應用以及空間向量解決簡單立體幾何問題的基礎和經驗，但由于他們對空間立體幾何中引進空間向量的意圖還不夠明確，對“向量法”在具體解決立體幾何問題時的整體思路的把握還不夠熟練，導致他們對空間向量的認識還是很分散的，不夠系統的．因而他們對于如何借助向量來表示空間幾何體還是有很大困難的，更難理解如何用向量表示式來表示點線面了．考慮到學生已有用“任意一個”來代替所有對象的數學經驗，教學時可在教師的提示下讓學生充分理解“表示直線（平面）就是表示直線（平面）上的任意一點”，將問題轉化為探索直線或平面上任意一點P的位置向量所需滿足的條件，從而得到線面的向量表示式．
對于平面法向量的概念，學生通過陀螺旋轉過程中，陀螺的軸和圓盤平面始終保持垂直關系，能夠抽象出刻畫平面方向的向量——法向量，從而經歷借助法向量表示平面的探究過程，此過程有前面的向量表示做基礎，對于學生來說，并不是難點．但是非特殊平面的法向量的求法，對于學生來說是一個新的知識內容，教學時需要引導學生利用已有的知識經驗，一步一步地分析問題從而解決問題．
（二）教學重、難點
重點：點、直線和平面的向量表示，以及平面法向量的求法．
難點：點、直線和平面的向量表示的探究過程．
（三）難點突破策略
通過問題引導，讓學生經歷“痛苦”的思考過程，使學生逐步發現為什么“向量可以代替點、直線和平面”，“如何借助向量來表示點、直線和平面”，繼而通過抓主線——點的位置向量，轉化、類比，最后得到正確的結論．
1.學生對“用向量表示點、直線和平面”中“表示”一詞，難以理解．
2.學生可以通過探究初步認識到“如何借助向量和定點確定一條直線和一個平面”，但對于“如何把直線和平面表示成一個向量關系式”，學生可能還會有些困惑．
（二）教學策略
1.通過以長方體為載體，建立學生熟悉的立體空間場景，減少學生的畏難情緒，此外，將所有的探究都在同一個場景下進行，一線貫穿，減少無效勞動，集中學生的注意力，使他們專注于主要問題的討論．
2.通過引導學生抓主線——點的位置向量，即直線所對應的向量其實就是直線上任意一點的位置向量，平面所對應的向量就是平面內任意一點的位置向量，使學生對直線和平面的向量表示的探究層層遞進，并得出相應的向量表示式．
五、教學過程設計
（一）引導語：本節課我們共同學習《空間中點、直線和平面的向量表示》，關于向量，前面我們也學過一些知識，也解決過一些問題，也體驗到了它的一些優越性，比如像線面垂直的判定定理，如果一條直線垂直于平面內的兩條相交直線，那么它就垂直于這個平面．這個定理的證明，如果用綜合幾何法是非常麻煩的，書寫下來大概需要一兩頁，但用了向量法就很簡單，短短幾行就得出了結論．然而，向量法的優越性，我們看到的也只是一點點．其實，運用向量法可以解決空間幾何中的所有問題．
那同學們想一下，立體幾何，都有哪些問題？(學生答)
立體幾何問題無非是位置關系與度量計算，如果我們要把這些問題交給向量來解決，關鍵是什么呢？
空間中所有幾何體都是由點線面組成的，只要用向量表示了點、線、面，那么也就可以表示所有幾何體了，從而將立體幾何問題轉化為向量運算問題，那到底該怎么表示呢？
【設計意圖】此段引導語體現三個方面的內容：1.前面我們學習過向量的相關知識，并從簡單的應用過程中體會到了向量法的一些優越性；2.我們想用向量來解決什么樣的立體幾何問題；3.向量法解決立體幾何問題的關鍵是什么．突出研究目的，構建知識框架，明確研究目標．
（二）新知探究
探究一：如何用向量表示空間中的一個點？
問題引入：用哪個向量表示點
？
師生活動：通過觀察和問題的提出，引導學生思考如何將一個向量和一個點建立起關系，從而想到“還需再找一個起點，比如點
”的辦法．
追問1：什么是“表示”？
追問2：若還有一個向量
，滿足條件
，那么點
在哪？
追問3：非得用點
作為起點嗎，如果用空間中的任意一點
作為基點，點
的位置向量是誰，誰來表示點
？
學生活動：學生很容易發現點
和點
重合，也就是說
唯一確定點
；如果用空間中的任意一點
作為基點，點
的位置向量為
，此時點
被向量
所表示．
【設計意圖】開門見山地提出“用哪個向量表示點
”的問題，首先使學生明確“表示”就是“代替”；其次引導學生思考為什么向量
可以表示點
；最后得出“一個點就是用它的位置向量來表示”的結論．
探究二：如何用向量表示空間中的一條直線？
問題引入：用哪個向量表示直線
？
師生活動：首先，教師依然提醒學生“表示”就是“代替”；其次，表示的是誰？（直線
）所以，要先把直線
的位置確定下來（一個點
和一個方向向量
唯一確定直線
）；再次，如何借助向量
和定點
來表示直線
上任意一點
的位置向量（
）；最后，深入剖析為什么能夠這樣表示（
⟺
∥
⟺
）．
追問：非得用點
做基點嗎？如果用空間中任意一點
作為基點，又該如何表示直線
上任意一點
的位置向量？
師生活動：教師引導學生從位置關系
∥
出發，雖然此時點
的位置向量
并不與方向向量
平行，但我們可以將
轉化為
來表示，于是得到直線的向量表示式
.
追問：有時候我們也把上式寫為：
，大家能看懂嗎？什么意思呢？此時點
在哪？
師生活動：同學們研究發現，此時的點
在直線上．教師提醒，有些時候，我們可以根據題目條件直接選取直線上的向量作為它的方向向量，之后表示直線去參加運算．
【設計意圖】以問題串的形式，引導學生逐步探索，層層遞進，直到獲得問題的本質．通過引導學生有邏輯的思考，培養其邏輯推理的能力．
探究三：如何用向量表示空間中的一個平面？
1.問題引入：如何用向量表示平面
？
師生活動：教師引導，學生發現還用點
和方向向量
不能唯一確定平面
，想要唯一確定平面
，還需添加什么條件？（再添加一個不與向量
共線的向量，比如向量
）為了表示的方便，令
．
追問：如何借助點
以及兩個不共線的向量
和
來表示平面
？
學生活動：根據已有的知識和經驗，自主探究平面的向量表示式．
學生展示：教師隨機拍取一位同學的研究成果，并讓此同學描述研究過程．
師生活動：根據學生的展示，教師將此研究過程具體展開以“一問一答”的形式進行詳細的講解（
⟺
，
共面⟺
）．
追問：非得用點
做基點嗎？如果用空間中任意一點
作為基點，又該如何表示平面
上任意一點
的位置向量？
師生活動：教師引導學生類比直線的向量表示，得出
，從而得到
．
追問：有時候，我們也把上式寫為：
，大家能看懂嗎？什么意思呢？點
和點
在哪？
師生活動：根據前面的經驗，學生可以很快發現
此式的意義所在，即在有些題目中，通常用平面內的兩個不共線的向量來確定此平面，有時是很方便的．
【設計意圖】在學生已經掌握了點和直線的向量表示的基礎上，引導學生運用類比的手段進行自主探究．通過動手操作，給出平面的向量表示式的猜想．學生可以得出
，但對于這個式子為何可以成為平面的向量表示式還會有疑慮．通過追問（什么樣的向量才滿足此式？為什么會共面？反之，是否成立？），逐步打消他們的疑惑，以使學生確認此表示式的正確性．從而使學生進一步體會幾何問題向代數運算的轉化過程，體會直觀感知、操作確認、思辨論證的研究問題一般過程，發展直觀想象和邏輯推理的核心素養．
2.問題引入：請同學們對比
與
，哪個更為簡潔？能否也只借助一個點和一個向量來表示一個平面呢？
師生活動：大部分學生都會在平面內去找可以表示平面的那個向量，但很快又都發現平面內的哪一個向量都不能唯一確定這個平面，所以教師引導學生跳出這個平面去尋找．
通過陀螺的軸與陀螺圓盤始終保持垂直關系的實例，讓學生直觀想象可以刻畫平面方向的向量應該是一個什么樣的向量，從而引出“法向量”的概念．
追問：在長方體情境下，平面
的法向量都有誰？只給出平面的一個法向量是否可以將這個平面唯一確定？
師生活動：教師引導，學生發現平面的法向量不唯一，只有平面的一個法向量無法唯一確定這個平面，還需再加一個定點．于是點
和法向量
（令
）就唯一確定了平面
．
追問：如何借助點
和法向量
來表示平面
？
學生活動：點
為基點，向量
為點
的位置向量，根據法向量的定義可知，
，從而得到
，即平面可以用集合
來刻畫．
師生活動：教師與學生共同總結平面的兩種向量表示方法．并對點線面的向量表示進行簡單系統的整理．
【設計意圖】實例引出“法向量”的概念，培養學生數學抽象的核心素養．由法向量的定義，學生可以自主探究得出垂直關系，繼而得到數量積為零的運算關系，使學生再次體會轉化的數學思想．
（三）例題分析，鞏固新知
例 如圖，在長方體
中，
，
是
的中點.以
為原點，
所在直線分別為
軸、y軸、
軸,建立如圖所示的空間直角坐標系．
-
求長方體六個面的法向量；
-
求平面
的法向量．
師生活動：教師引導學生說出第（1）問中平面
的法向量的坐標
．
追問：還可以寫成其它的坐標來表示平面
的法向量嗎？如果可以，哪個更好？
師生活動：根據教師的問題，學生經過思考，發現寫為
更為簡練．
學生活動：請同學們自主完成長方體其余幾個面的法向量的坐標表示，并思考為什么要選擇更為簡練的結果？
師生活動：此題第（2）問中平面
的法向量，并不像第（1）問中平面的法向量那么容易得出，教師引導學生從法向量的定義出發，找到向量的垂直關系，向量的垂直關系再轉化為向量的數量積運算，從而利用待定系數法求出法向量．教師根據學生回答，寫出主要步驟，之后在PPT中給出完整解題步驟，并和同學們一起進行解題步驟的歸納總結．
【設計意圖】此題使學生初步體會平面的法向量的求法，對于簡單易找的，如何做；對于不能直接找出的，如何求.掌握解題方法和解題的一般步驟．
變式訓練 如圖，在長方體
中，
，
是
的中點.以
為原點，
所在直線分別為
軸、y軸、
軸,建立如圖所示的空間直角坐標系.求平面
的法向量．
學生活動：學生獨自完成此變式．
學生展示：教師利用希沃Link將其中兩位同學的解題過程傳送到大屏幕，通過對比，發現兩位同學所選的平面內的向量不完全相同，但并不影響結果，從而說明平面
可以由向量
中的任意兩個來表示．
【設計意圖】通過例題教學以及變式訓練，使學生掌握求平面法向量的一種具體方法，結合題目的分析過程，培養學生的邏輯推理能力，并且進一步學會獨立思考與歸納總結．
（四）課堂小結
師生活動：教師引導學生從以下三個方面對本節課進行小結：知識內容，研究方法和數學思想．具體來說，知識內容方面：點線面的向量表示以及如何得到的這些向量表示式；研究方法方面：從始至終抓住了一條主線——點的位置向量；思想方法方面：本節課主要運用了轉化與化歸的數學思想，具體體現在點線面的位置關系轉化為向量的位置關系，向量的位置關系轉化為向量的運算關系，也就是幾何問題轉化為代數運算來解決，使得原本復雜的問題變得簡單，原來不能解決的問題可以解決．今后同學們遇到貌似不能解決的問題或是無法逾越的困難時，想一想轉化思想，換一個角度，多一個視角，或許能夠柳暗花明！
【設計意圖】通過小結，梳理本節課所學的知識，并回顧本節課的學習過程，進一步體會轉化與化歸的數學思想，培養學生對學習內容的反思意識和習慣，幫助學生在更廣的范圍內把所學的知識系統化、結構化，并掌握相應的學習方法．最后，讓學生感受“數學來源于生活，又服務于生活”，提高利用數學解決實際問題的能力，讓生活數學化．
（五）作業布置
【必做題】第41頁 習題1.4 第1、2題
【選做題】第42頁 習題1.4 第3、4題
【設計意圖】通過分層作業的布置，使學生清楚，哪些是必須做到的，哪些是需要努力去做到的，從而使本節課所學知識得以鞏固和運用．
視頻來源：優質課網 www.jjlqy.cn
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