視頻簡介：
視頻標簽：第十一屆全國
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：第十一屆全國高中青年數學教師優質課大賽《橢圓及其標準方程》貴州—黃
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第十一屆全國高中青年數學教師優質課大賽《橢圓及其標準方程》貴州—黃
橢圓的標準方程（第一課時）
教學設計
貴州省凱里市第一中學 黃文碧
1.內容
本節課是人教A版《普通高中課程標準教科書•數學》選擇性必修第一冊第三章“圓錐曲線的方程”的第一課時，主要內容是介紹圓錐曲線的歷史發展與研究思路以及橢圓的定義及其標準方程的推導．
-
內容解析
圓錐曲線充分體現了解析幾何研究方法和數形結合思想，是平面解析幾何的重要組成部分.本章將在“直線和圓的方程”基礎上，通過問題情境使學生了解圓錐曲線的歷史與發展.本章的研究對象是圓錐曲線，研究過程中以數形結合思想和坐標法統領全局；并從代數和幾何角度認識圓錐曲線及其性質，在解決問題的過程中感悟平面解析幾何中蘊含的數學思想；進而提升學生直觀想象、數學運算、數學建模、邏輯推理和數學抽象等數學核心素養.
本節課的教學內容是：了解圓錐曲線的歷史與發展，從兩個探究活動出發，讓學生觀察橢圓的幾何特征，從而抽象出橢圓的定義并建立平面直角坐標系求橢圓的標準方程.本節課以發展學生數學核心素養為導向，創設問題情境引導學生以獨立思考、自主學習、合作交流等多樣化的方式開展數學學習.在本課時設計中，以數學史為素材設計系列化的教學活動，以用坐標法研究幾何圖形的過程和方法為導向，以“問題串”引導學生開展學習與探究.這些問題既有針對整體思路的，也有針對具體內容的；既有針對思想方法、研究策略的，也有操作性的、針對特例或細節的.它們是以橢圓知識的內在邏輯為依據而設置的、自然而然的學習主線，解決了這些問題就可以形成思想內涵豐富的“橢圓與方程”體系.
1.教學目標
（1）通過小組實踐探究活動一，觀察液面截圓錐瓶所得的截口曲線形狀，讓學生去感受圓錐曲線名稱的由來.通過微課視頻了解圓錐曲線的歷史發展、圓錐曲線的應用及其研究思路，感受其中蘊含的數學文化.培養學生直觀想象、邏輯推理的核心素養.
（2）通過學生動手探究活動二（畫橢圓），讓學生從具體情境中觀察、思考橢圓的幾何特征，抽象出橢圓的定義，掌握橢圓的概念.培養學生數學抽象的核心素養.
（3）根據橢圓的定義建立焦點在
軸上的橢圓的標準方程，體驗用代數方法研究幾何問題的思想方法.引導學生通過類比，得到焦點在
軸的橢圓的標準方程.培養學生數學建模、數學運算的核心素養.
2.目標解析
（1）通過小組實踐探究活動一，觀察液面截圓錐瓶所得的截口曲線形狀，讓學生去發現橢圓，拋物線、雙曲線可以由平面截圓錐所得，概括圓錐曲線的概念，加深學生的認知印象，讓學生體會到生活中處處都有數學的影子，要善于去發現和探究.巧妙整合相關數學史料，采取微課的形式讓學生去了解圓錐曲線的歷史與發展，了解解析幾何誕生的歷史必然性、解析幾何的核心思想以及它在數學學科中的地位和作用，從而去總結圓錐曲線的研究思路.培養學生直觀想象、邏輯推理的核心素養.
（2）通過學生動手探究活動二（畫橢圓），借助實物模型，讓學生去整體觀察、直觀感知橢圓的幾何特征，通過橢圓的幾何特征抽象出橢圓的定義，培養學生發現規律，認識規律并利用規律解決實際問題的能力；通過師生、生生合作學習，增強學生團隊協作能力，增強主動與他人合作交流的意識.培養學生數學抽象的核心素養.
（3）從橢圓的幾何特征中提煉出橢圓的定義，再從數量關系角度再次定義橢圓，根據解析幾何的研究思路，自然引出橢圓方程的建立，并設置懸疑，引發對橢圓上任意一點所滿足的數量關系的探索從數量關系角度再次定義橢圓.利用求軌跡方程的方法引導學生去推導焦點在
軸上的橢圓的標準方程，再讓學生通過類比自己去歸納焦點在
軸上的橢圓的標準方程.這樣的處理給學生提供了探究和交流的機會有利于學生思維能力的提高和學習興趣的培養.培養學生數學建模、數學運算的核心素養.
三、
學生學情分析
（1）學生已有的認知基礎
首先，學生在本冊書上一章中學習了研究直線與圓的坐標法，初步具備了運用代數方法研究幾何問題的意識，初步感受了數形結合的基本思想，對于在平面直角坐標系下的點坐標及長度公式已掌握，具有一定的空間想象能力、抽象概括能力和推理運算的技能，有較好的學習習慣和方法.
（2）學生存在的難點
解析幾何的學習對運算能力的要求頗高，對學生而言，代數運算是主要“攔路虎”之一.探究活動中學生需要自己建立恰當坐標系并推導出方程，該怎樣建系？怎樣列式？在化簡方程
會遇到運算的困難，是直接兩邊平方？還是移項后再兩邊平方？為什么要進行
的代換？這些問題都是學生本堂課會遇到的難點，基于這些難點，本堂課將設置一些有效的，循序漸進的“問題串”，讓學生通過“思考”，“觀察”，“探究”等環節來擊破難點.老師設問引導，讓學生自主發現問題，解決問題.
確定本節課的教學重點為：圓錐曲線名稱的由來以及歷史與發展、橢圓的定義、橢圓的標準方程；教學難點為：橢圓標準方程的推導.
四、教學策略分析
（1）教學重點突破策略
通過小組實踐探究活動一，液面截圓錐瓶所得的截口曲線形狀，讓學生去發現橢圓，拋物線、雙曲線可以由平面截圓錐所得，概括圓錐曲線的概念，整合相關數學史料，采取微課的形式讓學生去了解圓錐曲線的歷史與發展，了解解析幾何誕生的歷史必然性、解析幾何的核心思想以及它在數學學科中的地位和作用，從而有方向的去探究圓錐曲線的研究思路.通過學生動手探究活動二（畫橢圓），借助實物模型，讓學生去整體觀察、直觀感知橢圓的幾何特征，通過橢圓的幾何特征歸納出橢圓的定義，培養學生發現規律，認識規律并利用規律解決實際問題的能力；通過師生、生生合作學習，增強學生團隊協作能力，增強主動與他人合作交流的意識.由橢圓的定義去推導橢圓的方程，利用求軌跡方程的方法引導學生去推導焦點在
軸上的橢圓的標準方程，再讓學生通過類比自己去歸納焦點在
軸上的橢圓的標準方程.這樣的處理給學生提供了探究和交流的機會有利于學生思維能力的提高和學習興趣的培養.
（2）教學難點突破策略
遵循以學生為主體，教師為主導，發展為主旨的教育教學原則，在學生認
知的“最近發展區”設置問題；問題驅動下教師有效引導、學生主動探究、師生共同交流的過程中實現知識的建構和數學思維發展.難點突破方面，本堂課將設置一些有效的，循序漸進的“問題串”來解決本節課所遇到的困難，讓學生通過“思考”，“觀察”，“探究”等環節來擊破難點.老師設問引導，讓學生自主發現問題，解決問題.按教科書知識發展過程順次提出以下問題，以引導學生攻破難點.
-
“橢圓有怎樣的幾何特征？”“我們該如何利用這些特征來給橢圓下定義？”“如何利用橢圓的幾何特征去建立橢圓的方程？”引導學生通過實踐去探究橢圓的幾何特征，為抽象橢圓的概念、開展后續內容做好準備.
-
“觀察橢圓的形狀，你認為怎樣建立坐標系可能使所得的橢圓方程形式更簡單？”引導學生思考如何利用橢圓的幾何特征合理建立坐標系.
-
“你能從橢圓的圖形中找出
的線段嗎？”引導學生思考的幾何意義，使學生理解引入
的合理性.
-
“如果焦點在軸上，那么橢圓的標準方程是什么？”引導學生通過類比焦點在軸上的橢圓的標準方程，得到橢圓焦點在軸上的標準方程.
-
課后思考：“橢圓定義是怎樣產生的？”給予學生提示，引發學生的好奇，拓展知識，開闊眼界，讓學生學會查閱資料，激發學生自主學習探究的精神，滲透數學家追求完美的理性精神.
實踐探究一（生活小實驗）
準備一個圓錐形的瓶子，做一個實驗，觀察實驗現象，隨著傾斜程度的不同，從上往下看，圖中液面的截口曲線會呈現出什么形狀？
【教師】同學們，每個小組的桌上都有一個裝著紅色墨水的瓶子，大家先觀察這個瓶子像什么幾何體？
【學生】圓錐.
【教師】將瓶子水瓶放置，同學們觀察液面的截口曲線（液面與瓶子側面的交線）是什么形狀的？
【學生】是圓.
【教師】現在我們將瓶子微微傾斜，隨著傾斜角度的不同，同學們還能觀察到液面的截口曲線呈現什么形狀呢？（小組合作探究，進行小組匯報）
【小組1匯報】我們將瓶子微微傾斜，發現截口曲線是橢圓；再繼續傾斜，發現截口曲線有點像初中學過的拋物線.
【教師】哪個小組還有不同的發現嗎？（觀察學生是否能發現雙曲線）
【小組2匯報】將兩個錐形瓶的瓶蓋湊在一塊，水平放置錐形瓶，發現截口曲線左邊有一支，右邊有一支.（同學們通過事先預習也許會說出雙曲線，教師進行引導發現）
這里學生很容易觀察出圓和橢圓,部分小組可以觀察出拋物線和雙曲線，但是學生對拋物線和雙曲線的形成和位置的判別還比較模糊.進而教師進行深入講解.
通過剛才的實驗觀察我們發現圓、橢圓、拋物線、雙曲線都可以由平面截圓
錐所得，那該怎樣截才能得到以上圖形呢？接下來教師給學生展示：當平面與圓錐的軸的夾角
變化（其中截面不過頂點）時，截口曲線的變化情況
（1）當截面與圓錐的軸垂直時，截口曲線是一個圓．
（2）備注：
為圓錐的軸與母線的夾角，
為截面與圓錐的軸產生的夾角.
人們通常把橢圓、拋物線、雙曲線統稱為
圓錐曲線，這就是本書第三章要研究的內容.
【
設計意圖】通過小組實踐探究，觀察液面截圓錐瓶所得的截口曲線形狀，讓學生去發現橢圓，拋物線、雙曲線可以由平面截圓錐所得，加深學生的認知印象，提升學生直觀想象的核心素養.讓學生體會到生活中處處都有數學的影子，要善于去發現和探究.
【教師】生活中有哪些圓錐曲線的例子呢?（PPT放一些生活中的圖片）
【
設計意圖】使學生對圓錐曲線有一個感性的認識，明白生活中有許多數學問題，數學來源于生活，應用于生活，培養學生用數學的眼光去觀察周圍事物的能力，激發學生課堂上的學習興趣.
同學們想知道圓錐曲線最初是怎么發現的嗎？那我們就通過一段視頻來了解一下圓錐曲線的發展史吧（教師課前剪輯好講解圓錐曲線發展史的微課視頻）.
圓錐曲線的發現與研究始于古希臘，當時人們用純幾何的方法去研究這些與圓密切相關的曲線，它們的幾何性質是圓的幾何性質的自然推廣.當時比較具有代表性的人物有阿波羅尼奧斯，其比較有代表性的著作是《圓錐曲線論》.
17世紀，法國數學家笛卡爾發明了坐標系，開創了解析幾何思想方法的先河.人們開始借助坐標系，運用代數方法來研究圓錐曲線.采用坐標法研究圓錐曲線的好處是可以程序化地，精確的進行計算，使幾何問題的求解或求證能通過坐標轉化為代數方程來求解.解析幾何的創立，溝通了數學內部數與形、代數與幾何量大學科的聯系.
【
設計意圖】介紹圓錐曲線的歷史發展，讓學生欣賞與感受古希臘數學家的智慧，通過對笛卡爾的介紹，使學生了解解析幾何誕生的歷史必然性、解析幾何的核心思想以及它在數學學科中的地位和作用.借助微課視頻，不僅可以讓學習氛圍更生動，也可以讓課堂在時間的使用上更高效.
【教師】笛卡爾發明了坐標系后，人們就開始用坐標法（解析幾何的思想）去研究圓錐曲線了，用坐標法研究曲線的具體思路是什么呢？（學生回顧第二章的學習思路，抽生回答）
【學生1】研究曲線的定義，建立曲線的方程.
【教師】引導學生多元化的回答，讓學生不斷地補充完善問題的答案.
【學生2】通過方程去研究曲線的性質，最后應用.
【教師】點評學生的回答，將其進行匯總，總結出圓錐曲線的研究思路.
【
設計意圖】學生在本冊書上一章中學習了研究直線與圓的坐標法，初步具備了運用代數方法研究幾何問題的意識，初步感受了數形結合的基本思想.通過實踐探究和微課視頻，學生已經對圓錐曲線有了一定的體悟，為提升學生邏輯推理的核心素養，讓學生去思考總結學習圓錐曲線的研究思路，為下一步探究橢圓做準備，用思路與方法去指導學生學習.
實踐探究二(畫橢圓，總結幾何特征）
本章我們繼續采用上一章中研究直線與圓所用的坐標法，在探索圓錐曲線幾何特征的基礎上，建立它們的方程，通過方程研究它們的簡單性質，進一步感受數形結合的基本思想.
【教師】有一根定長的細繩，如果將繩子的兩端固定在一個定點上，用筆拉緊繩子，移動筆尖，可以畫出什么圖形？
【學生】可以畫出一個圓.
【教師】如果現在我們將繩子的兩端固定在兩個定點上，用筆拉緊繩子，移動筆尖，又可以作出什么圖形呢？同學們小組合作畫一下，在畫圖的過程中思考，筆尖（動點）滿足什么幾何特征？
學生完成后，上臺展示自己完成的作品，并說出自己在畫圖過程中的感受與觀察到的幾何特征.
【教師】這三個橢圓，給我們最直觀的感受，區別在哪兒?
【學生】大小不一樣，有的圓，有的扁.
【教師】你覺得橢圓的扁平程度與什么有關?
【學生】兩定點間的距離，繩長．
【教師】請上來展示的小組給我們介紹一下你們在畫圖過程中有什么感受與發現?
【小組匯報1】除了第一組的發現，我們還發現了繩子的長度不一樣畫的橢圓大小、圓扁程度不一樣.(設想學生的回答）
【小組匯報2】在畫的過程中要使得繩子繃直，我們發現筆尖移動的時候，它到兩個定點的距離之和始終是繩子的長度.(設想學生的回答）
【小組匯報3】除了第一組的發現，我們還發現了繩子的長度大于兩個定點的距離.(設想學生的回答）
【教師】對學生的表現進行及時評價，并對橢圓的幾何特征進行總結.
幾何特征1移動的筆尖（動點）到兩個定點的距離的和等于繩長（定長）.
幾何特征2繩長（定長）大于兩定點的距離.
【教師】提出思考
思考1：如果細繩長度等于
，動點的軌跡還是橢圓嗎？判斷并作出解釋.
思考2：如果細繩長度小于，動點的軌跡還是橢圓嗎？判斷并作出解釋.
學生進行思考，可以利用畫板再次去嘗試.
【學生】繩長等于
，畫出的圖形是線段
；小于
時，畫不出任何圖形．
【教師】能給同學們解釋一下原因嗎？（讓學生上臺展示）
【學生】繩長等于
，直線是繃直的狀態，動點只能在線段之間移動，畫出的圖形是線段
；小于
時，線是斷開的，畫不出任何圖形.
【教師】對學生的表現進行及時評價，根據以上的探究觀察，同學們能總結出橢圓的定義嗎？
（學生歸納，互相補充，教師再匯總．）
橢圓的定義：平面內與兩個定點
的距離的和等于常數（大于）的點的軌跡叫做橢圓，兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距．
數學表達式：
（學生在歸納定義時很容易漏掉
）,教師給予重點提示.
【教師】大家一定要注意
這個條件，不能少.
【
設計意圖】學生以小組為單位相互配合，一邊動手操作，一邊動手記錄，讓學生在實踐中去學習數學，通過畫橢圓，經歷知識的形成過程，去感受并總結出動點滿足的幾何特征，讓他們通過觀察、討論、概括出橢圓的定義，培養學生發現規律，認識規律，總結規律的習慣，提升學生數學抽象的核心素養.在課堂上，使學生成為學習的主人.
【教師】遵循圓錐曲線的研究思路，有了橢圓的定義之后，我們要對橢圓就行研究，下一步應該研究什么呢？
【學生】推導橢圓的方程.
【教師】同學們回顧一下上一章，求曲線方程有哪些步驟呢？
【學生】①建系、②設點、③列式、④化簡.
教師總結：
第一步（建系）：根據曲線的幾何特征建立適當的坐標系；
第二步（設點）：寫出曲線上點的坐標；
第三步（列式）：明確曲線上點滿足的幾何條件，將幾何條件轉化為代數式；
第四步（化簡）：化簡并檢驗方程.
【教師】接下來進行第一步，建立平面直角坐標系，我們知道坐標系選取不同會造成方程形式的不同，如何選取坐標系才能使所求方程最簡單呢？
思考：橢圓有幾條對稱軸？幾個對稱中心呢？
【學生】橢圓有兩條對稱軸，一條是焦點
所在的直線，一條是焦點
的垂直平分線，這兩條對稱軸的交點就是橢圓的對稱中心.
【教師】由經驗可知，以橢圓的兩條對稱軸為坐標軸，對稱中心為坐標原點來建立平面直角坐標系，這樣算出來的方程形式最簡潔（如圖所示）.
【
設計意圖】通過復習舊知，引導學生明確思維方向，進一步熟悉用坐標法求動點軌跡方程的方法，感受數學圖象的對稱美、簡潔美.
【教師】接下來進行第二步和第三步，設點與列式.
設焦距為
，則
．設
為橢圓上任意一點，
動點
滿足的幾何約束條件
坐標化為：
【教師】第四步，化簡方程.
化簡：化簡橢圓方程是本節課的難點，突破難點的方法是引導學生思考如何去根號.首先由學生自主化簡，教師觀察進行指導，讓學生上臺展示自己的化簡思路，才能發現問題，解決問題.
可能存在的問題分析：部分學生會不假思索的直接進行平方，化解兩步后，發現運算量太大，以至于沒有算下去的信心.
【教師】投屏展示直接平方的同學的計算例子，讓他們說說自己的化簡思路和遇到的困難與困惑.尋求更優的化簡思路.
【學生】
我發現將其中一個根號移項至另外一邊再進行平方，這樣化簡會簡單一點.
【教師】投屏展示移項后再平方的同學的計算例子，讓學生對化簡思路進行講解.
【學生】移項后兩次平方法
兩邊同時平方、整理得：
將上式兩邊再平方、整理得：
【
設計意圖】該環節對運算能力的要求頗高，學生會遇到運算的困難，是直接兩邊平方？還是移項后再兩邊平方？先讓學生自己嘗試，發現問題，通過交流，解決問題，使學生掌握含根號等式化簡的方法與技巧，提高學生的計算能力，養成不怕困難的鉆研精神,促進學生數學建模、數學運算核心素養的提升.
【教師】同學們認為
是我們化簡的最簡形式了嗎？教師引導學生觀察圖形，在橢圓的圖形中去發現
所對應的線段長，找出它們之間的關系
，讓學生了解
的幾何含義，最終令
，讓橢圓的標準方程達到最簡
。
【
設計意圖】說明
的幾何意義，進一步解釋引進
的好處，讓學生體會解析幾何數形結合的思想，感受數學方程的簡潔美。
思考3：焦點在
軸上時，橢圓的標準方程是什么？
（由學生動手列式，
，引導學生觀察焦點在
軸上與焦點在
軸上式子的差異，從而用類比的方法得到焦點在
軸上橢圓的標準方程）如果橢圓的焦點在
軸上，其焦點坐標為
，
，用同樣的方法可以推出它的標準方程
.
【
設計意圖】通過兩種方程，進行對比反思，培養學生類比的思維能力，加深對橢圓的定義和標準方程的理解.
【教師】同學們觀察橢圓的標準方程，它有什么特征呢？
【學生1】方程的由表都是1，分子是
，
；分母是
，
.
【學生2】
中
是最大的，
在誰的分母上，焦點就在哪條軸上.
（六）學以致用，典例分析
例1.判斷下列橢圓的方程焦點在哪條軸上？焦點坐標是多少？
1.
2.
答案：1.
軸，焦點坐標是
，
；2.
軸，焦點坐標是
，
.
【
設計意圖】考查學生對橢圓標準方程的理解程度，加深對橢圓標準方程的理解.
例2.已知橢圓的兩個焦點坐標分別是
，
，并且經過點
，求橢圓的標準方程.
解：
方法一：由于橢圓的焦點在
軸上，所以設它的標準方程為
.
由橢圓的定義知
，則
，
所以
，
，所以橢圓的標準方程為
.
方法二：由于橢圓的焦點在
軸上，所以設它的標準方程為
.由橢圓的定義知
，則
，解得
，所以橢圓的標準方程為
.
【
設計意圖】通過練習使學生進一步理解橢圓的定義，掌握標準方程，使知識內化為素養，并在解題過程中感受解析幾何的思想，使數學概念在應用中得以鞏固.
（七）課堂小結
【教師】哪個小組的同學來給我們歸納總結一下這一堂課所學的知識？談談你的感受呢？
【學生1】我們了解了圓錐曲線的由來，起源與發展.
【學生2】學會了怎樣去畫一個橢圓，了解了橢圓的定義，推導了橢圓的方程.
【教師】定義中的一些關鍵詞，大家一定要去注意.
1.了解了圓錐曲線的起源與發展.
2.橢圓的定義：
平面內與
兩個定點
的
距離的和等于
常數（大于
）的點的軌跡叫做橢圓，兩個定點
叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距．
數學表達式：
3.學習了橢圓的標準方程
【教師】留一個課后思考給大家，橢圓定義是怎樣產生的呢？.
（八）課后思考：橢圓定義是怎樣產生的？（學生自行查閱資料了解）
提示：事實上在19世紀，法國數學家旦德林就想到一種絕妙的方法證明了這個問題．他是怎么做的呢？這個證明方法叫Dandelin雙球證法，
【
設計意圖】給予學生提示，引發學生的好奇，拓展知識，開闊眼界，讓學生學會查閱資料，激發學生自主學習的精神，滲透數學家追求完美的理性精神．
（九）作業布置
1.
課后思考：橢圓定義是怎樣產生的？
提示：旦德林雙球，學生可以查資料進行學習.
2.復習橢圓標準方程的推導過程.
3.課本第109頁練習題1、2.
（十）板書設計
橢圓的標準方程(一）
注明：①若 ，則點的軌跡不存在；
 ②若 ，則軌跡為線段 . |
三、橢圓的標準方程
焦點在 軸上時，
焦點在軸上時，
學生板演 |
六、教學反思
1.本堂課設計了系列化的數學活動，設置了兩個小組實踐探究、動手操作環節，小組實踐探究一，觀察液面截圓錐瓶所得的截口曲線形狀，讓學生去發現橢圓，拋物線、雙曲線可以由平面截圓錐所得.通過活動，提升學生直觀想象、邏輯推理的核心素養，讓學生了解圓錐曲線名稱的由來，讓學生感受到數學來源于生活，應用于生活，要學會用數學的眼光去觀察、去發現.小組探究活動二（畫橢圓），讓學生在畫橢圓的過程中去觀察、感知橢圓的幾何特征，并通過橢圓的幾何特征抽象出橢圓的定義，培養學生發現規律，認識規律，總結規律的習慣.促進學生數學抽象核心素養的提升.這兩處教學實踐探究的設置，做到了讓學生動起來，體現了學生的主體地位，把“教思考、教體驗、教表達”的教學理念落到了實處.
2.本堂課是圓錐曲線的第一課時，課程內容量大，在介紹圓錐曲線的由來、歷史與發展的過程中，借助微課視頻，不僅可以激發學生學習圓錐曲線的興趣，讓學習氛圍更生動，也可以讓課堂在時間的使用上更高效。學生通過實踐探究和微課視頻了解圓錐曲線的由來、歷史與發展，在本冊書上一章中初步具備了運用代數方法研究幾何問題的意識，基于這些背景，可以促使學生去思考總結圓錐曲線的研究思路，為下一步探究橢圓做準備，用思路與方法去指導學生學習.
3.本堂課的教學難點是橢圓標準方程的推導，課堂中設置了一些有效的，循序漸進的“問題串”來解決本堂課所遇到的困難，讓學生通過“思考”，“觀察”，“探究”等環節來擊破難點.老師設問引導，讓學生自主發現問題，解決問題，再質疑提出問題，由同學之間相互研討解決問題,讓學生成為學習的主人，在實踐中去體悟，使學生的理性思維不斷走向成熟.該環節對運算能力的要求頗高，學生會遇到運算的困難，先讓學生自己嘗試，發現問題，通過交流，解決問題，使學生掌握含根號等式化簡的方法與技巧，提高學生的計算能力，養成不怕困難的鉆研精神,促進學生數學建模、數學運算核心素養的提升.這堂課中，真正實現了師生之間、組內生生之間的有效合作學習，但如果在組與組的合作交流上能行動起來，效果會更好。
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