視頻簡介：
視頻標(biāo)簽：第十一屆全國高中
所屬欄目：高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課視頻
視頻課題：第十一屆全國高中青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)質(zhì)課大賽《斐波那契數(shù)列與黃金分割》廣西—王寧
本視頻配套資料的教學(xué)設(shè)計(jì)、課件 /課堂實(shí)錄及教案下載可聯(lián)本站系客服
第十一屆全國高中青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)質(zhì)課大賽《斐波那契數(shù)列與黃金分割》廣西—王寧
斐波那契數(shù)列與黃金分割
柳州鐵一中學(xué) 王寧
一、教學(xué)內(nèi)容解析
1.內(nèi)容
斐波那契數(shù)列的起源，斐波那契數(shù)列的遞推公式、數(shù)學(xué)性質(zhì)，斐波那契數(shù)列和大自然、人類生活的聯(lián)系.
2.內(nèi)容解析
本節(jié)課選自人教版《普通高中教科書·數(shù)學(xué)A版》選擇性必修第二冊“4.1閱讀與思考”.是學(xué)生在學(xué)習(xí)完等差等比數(shù)列后安排的一節(jié)思維發(fā)散的課程.利用極限的思想得出黃金分割比，利用從特殊到一般的思想得出與斐波那契數(shù)列相關(guān)的一系列有待于進(jìn)一步證明的猜想.這些方法都是探究數(shù)學(xué)問題時(shí)常用的方法，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)問題的研究途徑.旨在引導(dǎo)學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)眼光觀察世界；會(huì)用數(shù)學(xué)思維思考世界；會(huì)用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界.
基于上述分析，確定本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)為：
-
理解斐波那契數(shù)列的產(chǎn)生過程及斐波那契數(shù)列的遞推關(guān)系；
（2）感受黃金分割比在生活中的美及其應(yīng)用價(jià)值.
二、教學(xué)目標(biāo)設(shè)置
1.教學(xué)目標(biāo)
（1）經(jīng)歷斐波那契數(shù)列的發(fā)現(xiàn)過程，發(fā)現(xiàn)其特點(diǎn)，研究其性質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)抽象與邏輯推理素養(yǎng).
（2）經(jīng)歷植物花瓣發(fā)散角的研究以及黃金分割比在日常生活中的應(yīng)用介紹，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，體會(huì)黃金分割比與自然和生活的聯(lián)系，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)文化素養(yǎng).
2.目標(biāo)解析
達(dá)成目標(biāo)（1）的標(biāo)志是學(xué)生能夠分組合作，通過觀察、驗(yàn)證部分項(xiàng)之間的關(guān)系猜想出斐波那契數(shù)列的某些性質(zhì)，得到斐波那契數(shù)列的數(shù)學(xué)之美.
達(dá)成目標(biāo)（2）的標(biāo)志是學(xué)生知道了黃金分割比與自然和生活的關(guān)系，知道數(shù)學(xué)是現(xiàn)實(shí)的、有用的.認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值、文化價(jià)值和審美價(jià)值.
三、學(xué)生學(xué)情分析
本節(jié)課的授課對(duì)象為柳州鐵一中學(xué)高三年級(jí)的學(xué)生.
從知識(shí)層面上來看，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了數(shù)列的概念、等差數(shù)列、等比數(shù)列，對(duì)數(shù)列的研究有了一定的經(jīng)驗(yàn)，了解“特殊到一般”、“極限”等研究方法、能夠探究較為基礎(chǔ)的數(shù)列問題；
從能力層面上來看，學(xué)生從數(shù)列中抽象出性質(zhì)的能力還不算太強(qiáng)，只能通過驗(yàn)證某幾項(xiàng)猜想出較為基礎(chǔ)的有待于進(jìn)一步證明的運(yùn)算規(guī)律，進(jìn)行不了更深層次的探究，需要教師進(jìn)一步的引導(dǎo).
從數(shù)學(xué)文化知識(shí)層面來看，學(xué)生對(duì)于斐波那契數(shù)列的了解不多，對(duì)于黃金分割比的了解也僅僅停留在0.618，不過文化知識(shí)的不足可以由學(xué)生課后的查閱資料自行補(bǔ)足.
基于上述分析，確定本節(jié)課的
教學(xué)難點(diǎn)為：啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生猜想出斐波那契數(shù)列的某些性質(zhì).
四、教學(xué)策略分析
本節(jié)課的內(nèi)容主要是初步認(rèn)識(shí)斐波那契數(shù)列及其簡單的性質(zhì)與應(yīng)用，目的是發(fā)散學(xué)生的思維、擴(kuò)大學(xué)生的視野、感受數(shù)學(xué)在生活中的聯(lián)系、體會(huì)數(shù)學(xué)的價(jià)值.所以本節(jié)課以微課、視頻欣賞、Excel等信息技術(shù)為輔助手段，以“發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、構(gòu)建數(shù)列模型、求解結(jié)論，解決實(shí)際問題”為主線，以學(xué)生為中心，以活動(dòng)為載體，采用啟發(fā)式的教學(xué)方法，讓學(xué)生在獲得基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的同時(shí)，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣.并且本節(jié)課在最后設(shè)計(jì)了分層課后作業(yè)，滿足不同層次的學(xué)生的需求.
師：在前面幾節(jié)課的學(xué)習(xí)中，我們一起研究了兩類特殊的數(shù)列——等差數(shù)列和等比數(shù)列，探索了它們的取值規(guī)律，建立了通項(xiàng)公式、前
n項(xiàng)和公式，并運(yùn)用等差等比數(shù)列解決了實(shí)際問題和數(shù)學(xué)問題，體會(huì)到了數(shù)列強(qiáng)大的魅力所在.那么今天，我們將一起認(rèn)識(shí)一個(gè)新的數(shù)列，通過這個(gè)數(shù)列我們再次來感受一下數(shù)學(xué)的美，體會(huì)一下數(shù)學(xué)的智慧.
環(huán)節(jié)一 回顧歷史•溯斐波那契數(shù)列之源
師：兩百年來，一直有人說這個(gè)數(shù)列是一組自然界的密碼，是宇宙中不可泄漏的天機(jī)，它告訴我們世間萬物皆由上天安排，斐波那契數(shù)列從何而來？它到底揭示了什么秘密？我們從頭說起.
時(shí)間要回溯到1195年左右，一位叫萊奧納多•斐波那契的意大利小伙子，跟著父親在北非經(jīng)商，那個(gè)時(shí)候的阿爾及利亞地區(qū)被奧斯曼帝國統(tǒng)治，流行的是阿拉伯文化，斐波那契突然發(fā)現(xiàn)，阿拉伯人的數(shù)學(xué)太厲害了，于是他請(qǐng)阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家教他數(shù)學(xué)，幾年之后，斐波那契學(xué)成回國，他把他的數(shù)學(xué)知識(shí)寫成了一本書，于1202年出版，名叫《算盤全書》，這就是其中最精彩的一頁，因?yàn)樵谶@一頁上，介紹了一個(gè)數(shù)列，就是神秘的斐波那契數(shù)列.
【設(shè)計(jì)意圖】利用數(shù)學(xué)史引入課題,可以引起學(xué)生的注意力,調(diào)動(dòng)學(xué)生的求知欲,起到良好的教學(xué)效果.
環(huán)節(jié)二 理性思考•明斐波那契數(shù)列之意
活動(dòng)一：如果一對(duì)兔子每月能生一對(duì)小兔子（一雄一雌），而每一對(duì)小兔子在它出生后的第三個(gè)月里，又能生一對(duì)小兔子，假定在不發(fā)生死亡的情況下，由一對(duì)初生的小兔子開始，1年后會(huì)有多少對(duì)？
|
時(shí)間/月 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
··· |
|
初生兔子/對(duì) |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
··· |
|
成熟兔子/對(duì) |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
··· |
|
兔子總數(shù)/對(duì) |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
··· |
師生活動(dòng)：老師解讀題目要求，帶領(lǐng)學(xué)生分析并填寫到第3個(gè)月，學(xué)生自主完成后面8個(gè)月的表格的填寫.(找一名同學(xué)在白板上填寫.)
【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生獨(dú)立思考，體驗(yàn)斐波那契數(shù)列的生成過程，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng).
問題1：我們現(xiàn)在將得到的兔子的總數(shù)單獨(dú)拿出來.那么在數(shù)學(xué)當(dāng)中，像這樣按照一定次序排列的一列數(shù)，就叫做？
生：（預(yù)設(shè)）數(shù)列.
問題2：請(qǐng)同學(xué)們仔細(xì)觀察，你有沒有發(fā)現(xiàn)這個(gè)數(shù)列有什么樣的規(guī)律？
生：（預(yù)設(shè)）從第三項(xiàng)開始，每一項(xiàng)都等于前兩項(xiàng)之和.
追問1：你能用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)符號(hào)語言來描述這個(gè)規(guī)律嗎？
生：（預(yù)設(shè)）
【設(shè)計(jì)意圖】通過問題串的設(shè)置，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出斐波那契數(shù)列的遞推性質(zhì)，并運(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)語言表示，有助于學(xué)生形成遞推意識(shí)、運(yùn)用符號(hào)進(jìn)行正確表征.培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).
師：這是一個(gè)由遞推公式給出的數(shù)列，由于是斐波那契第一個(gè)發(fā)現(xiàn)的，所以我們稱之為斐波那契數(shù)列，數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)都叫做斐波那契數(shù).
【設(shè)計(jì)意圖】環(huán)節(jié)二讓學(xué)生通過理性的思考，從兔子繁殖的問題中得到斐波那契數(shù)列以及斐波那契數(shù)列的遞推公式，為后續(xù)的探究做鋪墊.
環(huán)節(jié)三 分組合作•探斐波那契數(shù)列數(shù)學(xué)之美
師：現(xiàn)在我們站在巨人的肩膀上來研究一下斐波那契數(shù)列的數(shù)學(xué)之美，除了遞推關(guān)系，斐波那契數(shù)列還有哪些性質(zhì)呢？老師先給大家一種計(jì)算方式，這也是前面的數(shù)學(xué)家探究過的問題.
活動(dòng)二：計(jì)算斐波那契數(shù)列相鄰項(xiàng)的比值，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律嗎？
師生活動(dòng)：利用事先設(shè)置好的Excel表格，計(jì)算出斐波那契數(shù)列前15項(xiàng)中前項(xiàng)與后項(xiàng)的比值以及后項(xiàng)與前項(xiàng)的比值.
【設(shè)計(jì)意圖】教師拋磚引玉，先給出一種計(jì)算方式帶領(lǐng)學(xué)生探索規(guī)律，滲透研究數(shù)學(xué)的方法，為學(xué)生后面的分組合作探究做鋪墊.
問題1：仔細(xì)觀察，大家發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律了嗎？哪位同學(xué)可以說一下？
生：（預(yù)設(shè)）隨著項(xiàng)數(shù)的增大，后一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比值越來越接近1.618，前一項(xiàng)與后一項(xiàng)的比值越來越接近0.618.
追問1：非常好，我們通過數(shù)列前15項(xiàng)的驗(yàn)證，猜測隨著項(xiàng)數(shù)的增大，兩個(gè)比值會(huì)無限的逼近0.618和1.618，這是數(shù)學(xué)里面的一種什么思想？
生：（預(yù)設(shè)）極限的思想.（教師板書）
追問2：非常好，那你知道0.618和1.618還有一個(gè)名字叫什么嗎？
生：（預(yù)設(shè)）黃金分割比.（教師板書）
【設(shè)計(jì)意圖】極限思想是重要的數(shù)學(xué)思想，借助于極限的思想得到黃金分割比，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)據(jù)分析核心素養(yǎng).
師：我們在剛剛得到的兩個(gè)性質(zhì)中，接觸到了加，減，除三種運(yùn)算方式，其實(shí)數(shù)學(xué)中的計(jì)算方式還有乘、乘方、開方等，這都是我們研究數(shù)字規(guī)律的方法.現(xiàn)在老師給大家時(shí)間，還是這個(gè)斐波那契數(shù)列，請(qǐng)同學(xué)們以小組為單位仔細(xì)觀察，大膽猜想，再通過計(jì)算去驗(yàn)證，看哪個(gè)小組還可以發(fā)現(xiàn)斐波那契數(shù)列其他的數(shù)學(xué)之美.每個(gè)小組可以派一名代表展示探究結(jié)果.
活動(dòng)三：請(qǐng)同學(xué)們分組討論斐波那契數(shù)列其他的數(shù)學(xué)之美.
師生活動(dòng)：學(xué)生上臺(tái)展示探究結(jié)果，教師輔助驗(yàn)證并板書.
【設(shè)計(jì)意圖】發(fā)散學(xué)生的思維，讓學(xué)生根據(jù)老師提供的思路大膽的猜想，培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理核心素養(yǎng).
問題2：幾位同學(xué)都是通過觀察、計(jì)算、驗(yàn)證斐波那契數(shù)列的前面一些項(xiàng)得到了一些運(yùn)算性質(zhì),這又是我們數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中非常重要的什么數(shù)學(xué)思想？
生：（預(yù)設(shè)）歸納猜想.（教師板書）
追問1：非常好，既然是猜想，那就有可能是正確的，也有可能是錯(cuò)誤的，那同學(xué)們有什么方法證明這些性質(zhì)的正確與否嗎？
生：（預(yù)設(shè)）可以用數(shù)學(xué)歸納法證明.
師：非常好，這就是我們今天的第一項(xiàng)作業(yè)，請(qǐng)同學(xué)們課后用數(shù)學(xué)歸納法嚴(yán)格的證明我們找到的三個(gè)數(shù)學(xué)之美，證明出它們是否對(duì)所有的
都成立.
【設(shè)計(jì)意圖】教師完全放手，由學(xué)生小組進(jìn)行歸納猜想，激發(fā)了學(xué)生的探知?jiǎng)恿Γw驗(yàn)了探索過程，獲取了解決問題的方法，優(yōu)化了思維品質(zhì)，培養(yǎng)了學(xué)生邏輯推理的核心素養(yǎng).
環(huán)節(jié)四 回歸自然•知斐波那契數(shù)列自然之美
師：剛才我們得到了很多斐波那契數(shù)列的數(shù)學(xué)之美，其實(shí)斐波那契數(shù)列不僅僅有數(shù)學(xué)美，它還被稱為自然的密碼，我們繼續(xù)來感受一下斐波那契數(shù)列的自然美.
師生活動(dòng)：根據(jù)植物中向日葵的兩種螺旋線的條數(shù)、植物發(fā)散角的微課介紹，體會(huì)植物與斐波那契數(shù)列的關(guān)系.通過鸚鵡螺的螺旋結(jié)構(gòu)，體會(huì)動(dòng)物與斐波那契數(shù)列的關(guān)系.最后，欣賞視頻，動(dòng)態(tài)的感受自然界中動(dòng)植物與斐波那契數(shù)列的聯(lián)系，體驗(yàn)斐波那契數(shù)列的自然之美.
【設(shè)計(jì)意圖】從大自然中的植物和動(dòng)物出發(fā)，擴(kuò)大學(xué)生的視野，感受斐波那契數(shù)列帶給我們的自然界中的美以及自然價(jià)值.增進(jìn)了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的進(jìn)一步理解，提高了數(shù)學(xué)教學(xué)的品質(zhì).
環(huán)節(jié)五 品味鑒賞•析斐波那契數(shù)列生活之美
師：自然界中，植物生長選擇了最美的方向，動(dòng)物進(jìn)化也選擇了最美的方向，可見自然萬物都是熱愛美的，而0.618就是一個(gè)美的源泉，所以我們?nèi)祟愒谠O(shè)計(jì)各種東西的時(shí)候，都自覺或者不自覺的選擇了這個(gè)0.618.
師生活動(dòng)：欣賞黃金分割比在生活中的應(yīng)用價(jià)值，包括藝術(shù)品、建筑、信用卡、五角星、優(yōu)選法等.
【設(shè)計(jì)意圖】從斐波那契數(shù)列與植物的關(guān)系、與動(dòng)物的關(guān)系過渡到與人類的關(guān)系，層層遞進(jìn)，環(huán)環(huán)相扣.讓數(shù)學(xué)走進(jìn)學(xué)生的生活，讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)是現(xiàn)實(shí)的、有用的.擴(kuò)展學(xué)生的思維，讓學(xué)生知道數(shù)學(xué)在生活中的價(jià)值.
環(huán)節(jié)六 課堂小結(jié)•凝課堂之髓
師：本節(jié)課的最后，我們來回顧一下我們這節(jié)課所學(xué)習(xí)的內(nèi)容，我們最初根據(jù)假想的生活中兔子繁殖問題，得到了斐波那契數(shù)列，對(duì)數(shù)列進(jìn)行了研究，根據(jù)研究結(jié)果可以去解決更多的實(shí)際問題，整節(jié)課其實(shí)就是數(shù)學(xué)建模的過程，數(shù)學(xué)建模可以讓一個(gè)純粹的數(shù)學(xué)家變成物理學(xué)家，經(jīng)濟(jì)學(xué)家甚至生物學(xué)家.希望同學(xué)們把今天所學(xué)的知識(shí)運(yùn)用到你們的生活中去，發(fā)現(xiàn)生活中的美，并且把這樣的美應(yīng)用到我們的工作、學(xué)習(xí)和創(chuàng)作當(dāng)中.生活如此美好.
【設(shè)計(jì)意圖】老師總結(jié)本節(jié)課的幾個(gè)重要的環(huán)節(jié)：在實(shí)際情境中從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、構(gòu)建數(shù)列模型、求解結(jié)論，最終解決實(shí)際問題，這就是數(shù)學(xué)建模.升華本節(jié)課的主題，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng).
環(huán)節(jié)七 布置作業(yè)
復(fù)習(xí)鞏固
1.共有12級(jí)臺(tái)階，王老師每步可以邁一級(jí)或者兩級(jí)臺(tái)階.
（1）王老師上樓一共可以有多少種不同的走法？類比活動(dòng)一研究問題的方法,完成下面的表格.
|
到達(dá)位置 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
|
最后一步只跨一級(jí) |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
最后一步跨兩級(jí) |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
總計(jì)方法數(shù) |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
（2）如果將到達(dá)每一個(gè)位置的方法總數(shù)看成是數(shù)列
,請(qǐng)總結(jié)出
的遞推公式.
綜合應(yīng)用
2.用數(shù)學(xué)歸納法證明活動(dòng)三中發(fā)現(xiàn)的數(shù)學(xué)之美.
拓廣探索
-
合作探究，建立斐波那契數(shù)列通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式.
-
搜集優(yōu)選法的相關(guān)資料，探索其在工業(yè)中的相關(guān)應(yīng)用.
【設(shè)計(jì)意圖】以教材課后習(xí)題模式為藍(lán)本，將作業(yè)分為三個(gè)層次，鞏固學(xué)生所學(xué)知識(shí)的同時(shí)，深化課堂，開拓學(xué)生的視野，提高學(xué)生獨(dú)立思考能力和邏輯思維能力.
六、板書設(shè)計(jì)
斐波那契數(shù)列與黃金分割
1.618：1或0.618：1
三、數(shù)學(xué)之美（歸納猜想）
（1）
（2）
（3）
|
多媒體演示 |
小組展示1：
小組展示2： |
【設(shè)計(jì)意圖】左邊板書體現(xiàn)本節(jié)課的重點(diǎn)內(nèi)容，右邊板書讓學(xué)生有充分的發(fā)揮空間.
七、教學(xué)反思
本節(jié)課是一節(jié)數(shù)學(xué)活動(dòng)課，數(shù)學(xué)活動(dòng)課強(qiáng)調(diào)學(xué)生在課堂上的主體性和實(shí)踐性，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力和解決實(shí)際問題的能力，這與核心素養(yǎng)下對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)的要求不謀而合.所以本節(jié)課用了大量的時(shí)間給學(xué)生自主探索并展示.但是，絕大多數(shù)學(xué)生是不了解斐波那契數(shù)列的，而提到斐波那契數(shù)列就不得不提到它的一些美學(xué)價(jià)值，因此在本節(jié)課的最后，也用了部分時(shí)間介紹了斐波那契數(shù)列中黃金分割比的美學(xué)價(jià)值與應(yīng)用價(jià)值.
本節(jié)課只是初步的認(rèn)識(shí)斐波那契數(shù)列，了解斐波那契數(shù)列，擴(kuò)展學(xué)生的視野與思維，相較于正課而言，難度沒有很大.不過，斐波那契數(shù)列還有更深層次的性質(zhì)以及相關(guān)的問題，這些是需要后續(xù)的課程來完成的.某種程度上來說，本節(jié)課有一定程度的留白，引發(fā)學(xué)生對(duì)斐波那契數(shù)列的進(jìn)一步思考與探究.
視頻來源：優(yōu)質(zhì)課網(wǎng) www.jjlqy.cn
| -----更多視頻請(qǐng)?jiān)诒卷撁骓敳克阉鳈谳斎搿暗谑粚萌珖咧小逼渲械膯蝹�(gè)詞或詞組，搜索以字?jǐn)?shù)為3-6之間的關(guān)鍵詞為宜，切記！注意不要輸入“科目或年級(jí)等文字”。本視頻標(biāo)題為“第十一屆全國高中青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)質(zhì)課大賽《斐波那契數(shù)列與黃金分割》廣西—王寧”，所屬分類為“高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課視頻”，如果喜歡或者認(rèn)為本視頻“第十一屆全國高中青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)質(zhì)課大賽《斐波那契數(shù)列與黃金分割》廣西—王寧”很給力，您可以一鍵點(diǎn)擊視頻下方的百度分享按鈕，以分享給更多的人觀看。優(yōu)質(zhì)課網(wǎng) 的成長和發(fā)展，離不開您的支持，感謝您的關(guān)注和支持！有問題請(qǐng)【點(diǎn)此聯(lián)系客服QQ：9899267】 ----- |
