視頻簡介：
視頻標(biāo)簽：第十一屆全國高中青年
所屬欄目：高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課視頻
視頻課題：第十一屆全國高中青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)質(zhì)課大賽《函數(shù)的零點與方程的解》河南—范娟—設(shè)計—
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第十一屆全國高中青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)質(zhì)課大賽《函數(shù)的零點與方程的解》河南—范娟—設(shè)計—
教學(xué)設(shè)計：4.5.1 函數(shù)的零點與方程的解
鄭州外國語學(xué)校 范娟
一、內(nèi)容和內(nèi)容解析
（一）內(nèi)容
函數(shù)零點的概念和函數(shù)零點存在定理．
（二）內(nèi)容解析
本節(jié)課選自人教A版(2019年)高中數(shù)學(xué)必修第一冊第4章第5節(jié)《函數(shù)的應(yīng)用（二）》的第一課時，前期學(xué)生們已經(jīng)學(xué)習(xí)了用二次函數(shù)的觀點認(rèn)識一元二次方程，初步具備函數(shù)與方程的思想，在此基礎(chǔ)上探究用函數(shù)的觀點解決不能用公式求解的方程的實數(shù)解的問題，具有承前啟后的作用．
本節(jié)課首先復(fù)習(xí)一元二次方程的實數(shù)根與相應(yīng)二次函數(shù)的零點的關(guān)系，然后求三個具體方程的實數(shù)解，把它們的實數(shù)解叫做相應(yīng)函數(shù)的零點．由這三個具體函數(shù)的零點的概念引入一般函數(shù)的零點的概念．接下來從具體的存在零點的二次函數(shù)入手，分析得到函數(shù)零點附近的圖象“穿過” 軸并用函數(shù)零點附近的函數(shù)值的符號刻畫這種關(guān)系．再讓學(xué)生畫出幾個存在零點的函數(shù)的圖象，觀察函數(shù)零點所在區(qū)間以及這一區(qū)間內(nèi)函數(shù)圖象與 軸的關(guān)系，探究用函數(shù)的取值刻畫這種關(guān)系的方法，進一步思考滿足這種特征的函數(shù)是否存在零點，從而總結(jié)出函數(shù)零點存在定理．這種由特殊到一般的過程便于學(xué)生接受，有利于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象和直觀想象的核心素養(yǎng)．最后通過例題及其變式加強學(xué)生對定理的理解與應(yīng)用，提高學(xué)生分析問題，解決問題的能力．
本節(jié)課著重突出函數(shù)的核心地位，注重用函數(shù)的特征來判定方程實數(shù)解的存在，體現(xiàn)用函數(shù)的觀點研究方程實數(shù)解的基本方法，讓學(xué)生在函數(shù)零點存在定理的探究過程以及定理的應(yīng)用中感悟函數(shù)與方程的思想，化歸與轉(zhuǎn)化的思想，數(shù)形結(jié)合的思想，幫助學(xué)生通過直觀想象進一步領(lǐng)悟函數(shù)的本質(zhì)，提升學(xué)生的邏輯思維能力．
基于以上分析，將本節(jié)的重點定為函數(shù)零點與方程實數(shù)解的關(guān)系，函數(shù)零點存在定理及其應(yīng)用，難點定為函數(shù)零點存在定理的理解．
二、學(xué)習(xí)目標(biāo)設(shè)置
（一）《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中關(guān)于本節(jié)課的相關(guān)要求：
結(jié)合學(xué)過的函數(shù)圖象，了解函數(shù)零點的概念；結(jié)合具體的連續(xù)函數(shù)及其圖象的特點，了解函數(shù)零點存在定理．
從認(rèn)知角度分解課標(biāo)：
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知識分類
函數(shù)的零點
函數(shù)零點存在定理
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認(rèn)知水平
了解
過程與方法
類比，轉(zhuǎn)化，特殊到一般，歸納總結(jié)
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學(xué)科內(nèi)涵
在學(xué)習(xí)了用二次函數(shù)的觀點認(rèn)識一元二次方程的基礎(chǔ)上，得到一般函數(shù)的零點的概念，探究出函數(shù)零點存在定理并對定理進行初步應(yīng)用．
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從能力層次分解課標(biāo)：
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類比一元二次方程的實數(shù)根與相應(yīng)二次函數(shù)的零點的關(guān)系得到一般函數(shù)的零點的概念，將方程實數(shù)解的問題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)函數(shù)零點的問題.
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函數(shù)與方程
化歸與轉(zhuǎn)化
化歸轉(zhuǎn)化
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（二）根據(jù)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》及學(xué)生的情況，確定本節(jié)課的學(xué)習(xí)目標(biāo)為：
（1）類比二次函數(shù)零點的概念，了解一般函數(shù)零點的概念．
（2）了解“方程 有實數(shù)解”、“函數(shù) 有零點”、“函數(shù) 的圖象與 軸有公共點”之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系．
（3）通過由特殊到一般的過程探究并理解函數(shù)零點存在定理，應(yīng)用函數(shù)零點存在定理解決問題．
（4）讓學(xué)生體會函數(shù)與方程的思想，化歸與轉(zhuǎn)化的思想，數(shù)形結(jié)合的思想．
（5）提升學(xué)生數(shù)學(xué)抽象，直觀想象和邏輯推理的核心素養(yǎng)．
（三）依據(jù)本節(jié)課的學(xué)習(xí)目標(biāo)及“教評學(xué)一致性”的思想，設(shè)計了如下評價任務(wù)：
評價任務(wù)一：類比一元二次方程的實數(shù)根與相應(yīng)二次函數(shù)的零點的關(guān)系，由具體到抽象得出一般函數(shù)的零點的概念．
評價任務(wù)二：引導(dǎo)學(xué)生思考發(fā)現(xiàn)“方程 有實數(shù)解”、“函數(shù) 有零點”、“函數(shù) 的圖象與 軸有公共點”之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系．
評價任務(wù)三：在學(xué)生回答探究1至探究3的問題時，關(guān)注學(xué)生表述是否精準(zhǔn)，作圖是否規(guī)范，總結(jié)是否全面，不足之處及時糾正．
評價任務(wù)四：從特殊的函數(shù)到一般的函數(shù)，經(jīng)歷“類比—歸納—辨析—總結(jié)”的過程，通過自主探究和合作交流，感悟從具體到抽象的研究過程，理解函數(shù)零點存在定理．
評價任務(wù)五：在對函數(shù)零點存在定理的內(nèi)容的辨析過程中，通過獨立思考，提升學(xué)生的邏輯推理能力．
評價任務(wù)六：設(shè)計例題及其變式，通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，使學(xué)生初步掌握求不同類型的函數(shù)零點的方法，會用數(shù)形結(jié)合的思想和函數(shù)零點存在定理解決函數(shù)零點的問題．
三、學(xué)生學(xué)情分析
對于高一的學(xué)生來說，在知識方面他們已經(jīng)學(xué)習(xí)了二次函數(shù)零點的概念，對基本初等函數(shù)的圖象和性質(zhì)有了較深的認(rèn)識和理解，在情感方面他們具有強烈的求知欲和積極探索的精神．這些為本節(jié)課的學(xué)習(xí)做了很好的鋪墊，但他們的觀察能力和分析歸納能力還不是很全面，邏輯不夠嚴(yán)謹(jǐn)，因此在函數(shù)零點存在定理的探究中會遇到一些困難．為了克服這些困難，在教學(xué)過程中我從學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律出發(fā)，環(huán)環(huán)緊扣提出問題引導(dǎo)學(xué)生積極思考，讓學(xué)生主動參與到課堂中，自主探究總結(jié)出函數(shù)零點存在定理，進一步提升學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的能力，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情．
四、教學(xué)策略分析
本節(jié)課主要采用以學(xué)生為主體的啟發(fā)探究式教學(xué)方法，按照“概念—定理—應(yīng)用”的線
索展開課堂教學(xué)．
首先，類比二次函數(shù)零點的概念，得出一般函數(shù)零點的概念．接下來通過問題“方程 有實數(shù)解嗎？”得到“方程 有實數(shù)解，就是函數(shù) 有零點，也就是函數(shù) 的圖象與 軸有公共點”的結(jié)論，從具體到抽象，利于學(xué)生把握函數(shù)零點的本質(zhì)．
其次，在函數(shù)零點存在定理的探究過程中，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真思考，仔細(xì)分析．在對具體的存在零點的二次函數(shù)的研究中，學(xué)生可以觀察出“函數(shù)的圖象與 軸相交”，用函數(shù)取值刻畫就是“零點兩側(cè)端點的函數(shù)值異號”，這是一個數(shù)形結(jié)合，將形轉(zhuǎn)化為數(shù)的過程．再讓學(xué)生畫幾個存在零點的函數(shù)的圖象，觀察特征，得出一般性結(jié)論．進一步引導(dǎo)學(xué)生思考函數(shù)滿足“兩側(cè)端點的函數(shù)值異號”時是否有零點，經(jīng)過小組合作探究出函數(shù)零點存在定理，然后對函數(shù)零點的個數(shù)做初步的研究，讓學(xué)生了解定理中的兩個條件是充分不必要的．
最后，在知識的應(yīng)用中，引導(dǎo)學(xué)生探究求不同類型的函數(shù)零點的方法，問題的設(shè)置從簡單到復(fù)雜，層層遞進．再根據(jù)函數(shù)零點存在定理及函數(shù)的單調(diào)性判斷函數(shù)零點的個數(shù)，探究解法的多樣性．
五、教學(xué)過程設(shè)計
（一）新知引入
我們學(xué)習(xí)了用二次函數(shù)的觀點認(rèn)識一元二次方程，知道一元二次方程的實數(shù)根就是相應(yīng)二次函數(shù)的零點，請同學(xué)們完成以下表格：
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方程 |
方程 的實數(shù)解 |
函數(shù) 的零點 |
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【學(xué)習(xí)評價】回憶舊知，得到新知，關(guān)注學(xué)生類比的能力．
【設(shè)計意圖】通過回憶一元二次方程的實數(shù)根與相應(yīng)二次函數(shù)零點的關(guān)系，類比得到三個具體函數(shù)零點的概念，為得出一般函數(shù)零點的概念做鋪墊．使學(xué)生利用已有知識與經(jīng)驗，同化和索引出當(dāng)前學(xué)習(xí)的新知識，這樣獲取的知識，不但易于保持，而且易于遷移到陌生的問題情境中．
（二）函數(shù)的零點
追問（1）：對于一般函數(shù) ，你認(rèn)為它的零點應(yīng)如何定義？
預(yù)設(shè)答案：對于一般函數(shù) ，我們把使 的實數(shù) 叫做函數(shù) 的零點．
追問（2）：函數(shù)的零點是點嗎？
預(yù)設(shè)答案：函數(shù)的零點不是點，是實數(shù)．
追問（3）：方程 有實數(shù)解嗎？
預(yù)設(shè)答案：觀察函數(shù) 和 的圖象，發(fā)現(xiàn)它們有一個交點，所以方程 有實數(shù)解．
師生活動：教師指出根據(jù)函數(shù)零點的定義，這個方程有實數(shù)解就是相應(yīng)的函數(shù)有零點，也就是相應(yīng)函數(shù)的圖象與 軸有交點，因此也可以把這個問題轉(zhuǎn)化為研究相應(yīng)函數(shù)的零點或相應(yīng)函數(shù)的圖象與 軸的交點．
追問（4）：方程 有實數(shù)解，函數(shù) 有零點嗎？
預(yù)設(shè)答案：函數(shù) 有零點．
追問（5）：方程 有實數(shù)解，函數(shù) 的圖象與 軸的關(guān)系是什么？
預(yù)設(shè)答案：函數(shù) 的圖象與 軸有公共點．
解決預(yù)設(shè)：當(dāng)學(xué)生回答函數(shù) 的圖象與 軸有交點時，引導(dǎo)學(xué)生思考函數(shù) 的圖象與 軸是否一定相交，從而讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)函數(shù) 的圖象與 軸有公共點．
教師指出：“方程 有實數(shù)解”、“函數(shù) 有零點”、“函數(shù) 的圖象與 軸有公共點”之間可以相互轉(zhuǎn)化，根據(jù)這種轉(zhuǎn)化關(guān)系我們可以把方程的實數(shù)解與相應(yīng)函數(shù)的零點聯(lián)系起來，通過判斷相應(yīng)函數(shù)是否有零點來看方程是否有實數(shù)解．
【學(xué)習(xí)評價】關(guān)注學(xué)生能否由函數(shù)零點的概念得到方程的實數(shù)解與相應(yīng)函數(shù)零點的關(guān)系．
【設(shè)計意圖】得出一般函數(shù)零點的概念，將方程實數(shù)解的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點的問題，這對學(xué)生而言是順其自然的，體現(xiàn)了從具體到抽象的過程，讓學(xué)生感悟化歸與轉(zhuǎn)化的思想，函數(shù)與方程的思想．激發(fā)學(xué)生的好奇心，求知欲．
（三）函數(shù)零點存在定理
如何判斷函數(shù)是否有零點呢？
探究1：對于二次函數(shù) ，觀察它的圖象，它在區(qū)間 上有零點．這時：
（1）函數(shù)圖象與 軸有什么關(guān)系？
（2）如何利用具體的函數(shù)值來刻畫這種關(guān)系？
預(yù)設(shè)答案：函數(shù)圖象與 軸有一個交點， ， ．
追問（1）：函數(shù) 在區(qū)間 上有零點，以上問題的答案是什么？
預(yù)設(shè)答案：函數(shù)圖象與 軸有一個交點， ， ．
追問（2）：這兩種情形能否用統(tǒng)一的形式表示？
預(yù)設(shè)答案： ， ．
探究2：請你再畫幾個函數(shù)的圖象，觀察函數(shù)零點所在區(qū)間，以及這一區(qū)間內(nèi)函數(shù)圖象與 軸的關(guān)系，并用函數(shù)的取值刻畫這種關(guān)系．
預(yù)設(shè)答案：如圖，函數(shù) 在區(qū)間 內(nèi)有零點，則 ．
探究3：若函數(shù) 在區(qū)間 上有 ，則函數(shù) 在區(qū)間 內(nèi)有零點嗎？
預(yù)設(shè)答案：不一定，小組討論，學(xué)生舉出反例．
追問（1）：除此之外，還需加上什么條件可以判斷函數(shù) 在區(qū)間 內(nèi)有零點？
預(yù)設(shè)答案：函數(shù) 在區(qū)間 上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線．
師生活動：學(xué)生總結(jié)得到函數(shù)零點存在定理．
追問（2）：函數(shù)零點存在定理能判斷出函數(shù)零點的個數(shù)嗎？
預(yù)設(shè)答案：不能，學(xué)生舉例說明．
追問（3）：定理中的條件“ ”可以去掉嗎？
預(yù)設(shè)答案：不能，學(xué)生舉出反例．
師生活動：教師指出，定理中的兩個條件是缺一不可的．
追問（4）：定理加上什么條件，函數(shù) 在 內(nèi)的零點有且只有一個？
預(yù)設(shè)答案：函數(shù)在區(qū)間 上單調(diào)．
追問（5）：若函數(shù) 在區(qū)間 上單調(diào)，且 ，則函數(shù) 在區(qū)間 內(nèi)的零點有且只有一個嗎？
預(yù)設(shè)答案：不一定，學(xué)生舉出反例．
【學(xué)習(xí)評價】觀察學(xué)生的探究活動，關(guān)注學(xué)生能否主動思考、積極參與小組討論；能否用函數(shù)值的符號刻畫函數(shù)圖象與 軸的關(guān)系；能否探究出函數(shù)存在零點的條件；能否總結(jié)出函數(shù)零點存在定理．
【設(shè)計意圖】通過具體的二次函數(shù)和學(xué)生舉出的實例，得出結(jié)論“函數(shù) 在區(qū)間 內(nèi)有零點，則 ”．接下來讓學(xué)生思考“函數(shù) 在區(qū)間 上有 ，則函數(shù) 在區(qū)間 內(nèi)有零點”是否正確，這樣的反問自然直接，激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情，通過獨立思考和小組合作探究出函數(shù)零點存在定理，并對零點的個數(shù)做初步的研究．整個探究過程強化了學(xué)生的歸納總結(jié)能力及辯證分析能力．讓學(xué)生在探討的氛圍中學(xué)會質(zhì)疑，答疑，養(yǎng)成一種既要善于發(fā)現(xiàn)問題，又要勇于嚴(yán)密論證的科學(xué)精神．
接下來，請同學(xué)們判斷下列命題是否正確，并說明理由．
（1）若函數(shù) 在區(qū)間 上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且在區(qū)間 內(nèi)有零點，則 ．
（2）若函數(shù) 在區(qū)間 上有 ，且在區(qū)間 內(nèi)有零點，則函數(shù) 的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線．
【學(xué)習(xí)評價】關(guān)注學(xué)生能否積極思考，主動參與；能否全面的理解函數(shù)零點存在定理；能否嚴(yán)謹(jǐn)?shù)幕卮饐栴}；能否規(guī)范的作圖．
【設(shè)計意圖】通過兩個命題一方面加深了學(xué)生對定理內(nèi)容的理解，另一方面提高了學(xué)生邏輯的嚴(yán)謹(jǐn)性，強化了學(xué)生的逆向思維能力．
（四）新知鞏固
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求下列函數(shù)的零點．
（1） ； （2） ．
解：（1）令 得， ，所以函數(shù)的零點是 ．
（2）容易證明函數(shù) 是增函數(shù)，又 ，所以函數(shù)的零點是 ．
【學(xué)習(xí)評價】關(guān)注學(xué)生能否用函數(shù)零點的概念及函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的零點．
【設(shè)計意圖】本題中第一個函數(shù)的零點可求，第二個函數(shù)的零點不可求可試．題目的設(shè)置由易到難，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，提升了學(xué)生邏輯推理的核心素養(yǎng)．
變式 函數(shù) 的零點所在的一個區(qū)間是（ ）
A． B． C． D．
解：當(dāng) 時，函數(shù) 的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，
因為 ， ，由函數(shù)零點存在定理知選A．
【學(xué)習(xí)評價】關(guān)注學(xué)生能否用函數(shù)零點存在定理找出函數(shù)零點所在的大致區(qū)間．
【設(shè)計意圖】本題中函數(shù)的零點不可求不可試，它是例1的延伸，同時也為例2的解答做了鋪墊，初步讓學(xué)生利用函數(shù)零點存在定理解決函數(shù)零點的問題．一條主線“零點可求——零點不可求可試——零點不可求不可試”貫穿起來，層層遞進，培養(yǎng)學(xué)生的開拓性思維．
-
求方程 的實數(shù)解的個數(shù)．
解：設(shè)函數(shù) ，利用計算工具，列出函數(shù) 的對應(yīng)值表，并畫出圖象．
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1 |
-4 |
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2 |
-1．3069 |
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3 |
1．0986 |
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4 |
3．3863 |
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5 |
5．6049 |
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6 |
7．7918 |
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7 |
9．9459 |
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8 |
12．0794 |
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9 |
14．1972 |
由表格和圖象可知， ， ，則 ，由函數(shù)零點存在定理可知，函數(shù) 在區(qū)間 內(nèi)至少有一個零點．
容易證明，函數(shù) ， 是增函數(shù)，所以它只有一個零點，
即相應(yīng)方程只有一個實數(shù)解．
【學(xué)習(xí)評價】關(guān)注學(xué)生能否用函數(shù)零點存在定理求不能用公式求解的方程實數(shù)解的個數(shù)．
【設(shè)計意圖】除了數(shù)形結(jié)合的思想，再讓學(xué)生用函數(shù)零點存在定理求不能用公式求解的方程實數(shù)解的個數(shù)．一題多解，提高了學(xué)生靈活應(yīng)用的能力，提升了學(xué)生的邏輯思維能力．
探究 方程 有_____個實數(shù)解．
【學(xué)習(xí)評價】關(guān)注學(xué)生能否靈活應(yīng)用所學(xué)知識解決問題．
【設(shè)計意圖】這是一道課后思考題，需要同時利用函數(shù)零點存在定理和數(shù)形結(jié)合的思想解決這個問題，進一步提升學(xué)生對知識和方法的理解和應(yīng)用，讓學(xué)生再次體會數(shù)學(xué)中函數(shù)和方程的思想，數(shù)形結(jié)合的思想．培養(yǎng)學(xué)生積極主動，勇于探索的精神．
（五）課堂小結(jié)
【學(xué)習(xí)評價】關(guān)注學(xué)生對知識的掌握程度；能否領(lǐng)悟到本節(jié)課蘊含的數(shù)學(xué)思想方法．
【設(shè)計意圖】通過師生的共同小結(jié)，發(fā)揮學(xué)生的主體作用，有利于學(xué)生鞏固所學(xué)知識，也能提高學(xué)生的歸納和概括能力．使學(xué)生在掌握知識的同時體會數(shù)學(xué)思想方法，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．
（六）課后作業(yè)
基礎(chǔ)鞏固：課本144頁練習(xí)1，課本155頁2，3；
拓廣探索：課本155頁7，課本156頁13．
【學(xué)習(xí)評價】關(guān)注學(xué)生能否按時完成作業(yè)；關(guān)注學(xué)生的書寫過程及正確率；能否根據(jù)已學(xué)知識完成基礎(chǔ)鞏固；設(shè)置拓廣探索，激發(fā)學(xué)生的潛能．
【設(shè)計意圖】基礎(chǔ)鞏固可以反饋知識掌握效果，強化基本技能的訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣和品質(zhì)；拓廣探索是為了給學(xué)有余力的學(xué)生留出自由發(fā)展的空間，符合因材施教的新課標(biāo)的思想．
六、板書設(shè)計
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4.5.1 函數(shù)的零點與方程的解 |
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定義
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轉(zhuǎn)化關(guān)系
二、函數(shù)零點存在定理
三、應(yīng)用 |
學(xué)生板書 |
PPT展示 |
七、教學(xué)反思
1．本節(jié)課的內(nèi)容
本節(jié)課的內(nèi)容就是一個概念（函數(shù)的零點）、一種關(guān)系（“方程 有實數(shù)解”、“函數(shù) 有零點”、“函數(shù) 的圖象與 軸有公共點”之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系）、一個定理（函數(shù)零點存在定理）．它反映了方程與函數(shù)的聯(lián)系，體現(xiàn)了數(shù)與形的辯證統(tǒng)一，突出了函數(shù)的核心地位，體現(xiàn)了函數(shù)應(yīng)用的廣泛性．
2．本節(jié)課的成功之處
回顧用二次函數(shù)的觀點認(rèn)識一元二次方程，由具體到抽象得到一般函數(shù)零點的概念，引入自然，使學(xué)生容易接受．
以探究活動為主線，環(huán)環(huán)相扣，通過逐步探究、辯證分析、獨立思考、合作交流、小組展示、師生歸納等環(huán)節(jié)，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷由特殊到一般的過程，讓學(xué)生體會數(shù)與形之間的內(nèi)在聯(lián)系，提高學(xué)生的邏輯思維能力．
例題及其變式，探究的設(shè)置層層遞進，針對性強，加強了學(xué)生對函數(shù)零點存在定理及數(shù)學(xué)思想方法的理解和應(yīng)用．提高了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．
課堂小結(jié)以結(jié)構(gòu)圖的形式呈現(xiàn)，內(nèi)容清晰明朗，展示了知識的構(gòu)建和聯(lián)系，總結(jié)了數(shù)學(xué)思想方法．
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