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視頻標(biāo)簽：第十一屆全國(guó)高中

所屬欄目：高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課視頻

視頻課題：第十一屆全國(guó)高中青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)質(zhì)課大賽《橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程》廣東—蔣

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第十一屆全國(guó)高中青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)質(zhì)課大賽《橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程》廣東—蔣

橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程(一)
（人教A版選擇性必修第一冊(cè)第三章第一節(jié)）
一、教學(xué)內(nèi)容解析
教材分析
內(nèi)容：橢圓的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)．
本節(jié)是高中數(shù)學(xué)人教A版選擇性必修第一冊(cè)第三章《圓錐曲線》3.1.1《橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程》第1課時(shí)內(nèi)容．在第二章《直線與圓的方程》中，我們學(xué)習(xí)了確定直線與圓的幾何特征：定點(diǎn)、定方向以及定點(diǎn)與定長(zhǎng).并且在平面直角坐標(biāo)系中用坐標(biāo)法給出了直線與圓的方程.本節(jié)課，我們將研究直線與圓的這種方法拓展到橢圓，給出確定橢圓的基本幾何量并在平面直角坐標(biāo)系中推導(dǎo)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.本課時(shí)內(nèi)容是學(xué)生繼續(xù)學(xué)習(xí)橢圓幾何性質(zhì)的基礎(chǔ)；橢圓是圓錐曲線中的代表性圖形，它跟雙曲線、拋物線在概念與性質(zhì)上具有基本同構(gòu)特點(diǎn).橢圓的學(xué)習(xí)為學(xué)生后續(xù)研究雙曲線、拋物線提供了基本模式及理論基礎(chǔ).因此，本節(jié)課具有承前啟后的作用.
為了讓學(xué)生了解橢圓的幾何特征，教材設(shè)計(jì)了一個(gè)動(dòng)手畫橢圓的小實(shí)驗(yàn).通過畫圖過程，學(xué)生總結(jié)分析得到橢圓上的點(diǎn)所要滿足的基本幾何條件是：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)、的距離的和等于常數(shù)（大于）.在橢圓定義中限制條件是非常重要的.當(dāng)時(shí)，得到的軌跡是圓.若,則得到的軌跡是線段；若則滿足條件的軌跡不存在.
在橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程中，可類比圓的方程的推導(dǎo)過程，以橢圓的焦點(diǎn)所在的直線標(biāo)記正方向作為橫坐標(biāo)以兩焦點(diǎn)的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，得到的橢圓方程才是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.將橢圓的幾何條件代數(shù)化后，代數(shù)式的化簡(jiǎn)成為本節(jié)課的難點(diǎn)之一.此式的化簡(jiǎn)過程本質(zhì)是無理式化有理式的過程.它的化簡(jiǎn)方法可以有平方法、分子有理化、平方差公式應(yīng)用等.整個(gè)推導(dǎo)過程都是等價(jià)變形.從而方程與代數(shù)是等價(jià)的，所以方程是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
學(xué)生分析
學(xué)生在第二章學(xué)習(xí)了《直線和圓的方程》，對(duì)坐標(biāo)法研究幾何問題有了一定的了解，初步具備了用坐標(biāo)法解決幾何問題的經(jīng)驗(yàn).這為學(xué)生學(xué)習(xí)本節(jié)課的知識(shí)奠定了基礎(chǔ).由于橢圓的幾何特征比圓的幾何特征復(fù)雜，學(xué)生對(duì)于該從哪個(gè)角度入手研究橢圓的幾何特征從而抽象出橢圓的概念會(huì)感到很困惑，所以，學(xué)生自己動(dòng)手畫橢圓的過程需要得到加強(qiáng).另外，代數(shù)式的化簡(jiǎn)也是學(xué)生本節(jié)課學(xué)習(xí)過程中的運(yùn)算障礙．學(xué)生對(duì)二次平方法解決上式的化簡(jiǎn)過程無歷史經(jīng)驗(yàn)可循.此時(shí)需要在教師主導(dǎo)下師生共同分析式子的結(jié)構(gòu)特征，選用先移項(xiàng)后兩邊平方法進(jìn)行化簡(jiǎn)，可有效掃除學(xué)生的運(yùn)算障礙.
 
二、目標(biāo)解析  
知識(shí)目標(biāo)：
（1）了解橢圓的幾何特征，理解橢圓的幾何定義．
（2）了解二次平方法推導(dǎo)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的化簡(jiǎn)步驟．
（3）理解橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的代數(shù)特征及參數(shù)的幾何意義．
技能目標(biāo)：
（1）會(huì)畫橢圓的圖象． （2）會(huì)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．（3）會(huì)化簡(jiǎn)含有兩個(gè)根式和的等式．
能力目標(biāo)：

1. 能類比圓的研究方法研究橢圓．
2. 能夠建立恰當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，用坐標(biāo)法研究幾何圖形．

 

• 教學(xué)重難點(diǎn)分析

教學(xué)重點(diǎn)：
（1）類比圓的學(xué)習(xí)過程，通過畫圖總結(jié)橢圓的幾何特征，并正確給出橢圓的定義.
（2）利用坐標(biāo)法建立合理的平面直角坐標(biāo)系推導(dǎo)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．理解坐標(biāo)法的基本思想.
教學(xué)難點(diǎn)：理解并能準(zhǔn)確刻畫橢圓的幾何特征，橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的正確推導(dǎo)（含有兩個(gè)根式的和的等式如何化簡(jiǎn)）．
 
四、教學(xué)準(zhǔn)備
教學(xué)方法：采取問題引導(dǎo)方式來組織課堂教學(xué)．問題的設(shè)置給學(xué)生留有充分的思考空間，讓學(xué)生圍繞問題主線，通過自主探究達(dá)到突出教學(xué)重點(diǎn)，突破教學(xué)難點(diǎn)．
教學(xué)道具：教師為每個(gè)小組準(zhǔn)備一張白色卡紙，一條細(xì)繩，幾何畫板、PPT. 學(xué)生自備鉛筆．
 
 
五、流程框圖
（一）數(shù)學(xué)流程：

（二）教學(xué)流程：

六、教學(xué)過程與設(shè)計(jì)

教學(xué)環(huán)節(jié)	預(yù)計(jì)時(shí)間	問題或任務(wù)	教師活動(dòng)	學(xué)生活動(dòng)	設(shè)計(jì)意圖
創(chuàng)設(shè)情境引入 課題	2分鐘	了解圓錐曲線	展示平面截圓錐得橢圓、雙曲線、拋物線的實(shí)物模型. 介紹圓錐曲線的簡(jiǎn)單歷史及其在現(xiàn)實(shí)生產(chǎn)生活中的應(yīng)用. 介紹本章學(xué)習(xí)任務(wù)：用坐標(biāo)法研究圓錐曲線	觀察實(shí)物模型，了解圓錐曲線的歷史背景及現(xiàn)實(shí)作用. 明確本章學(xué)習(xí)任務(wù).	重現(xiàn)古希臘阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)圓錐曲線的過程，用數(shù)學(xué)文化滋養(yǎng)學(xué)生，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.
	1分鐘	【問題1】將一個(gè)圓形玻璃杯稍微傾斜，杯中水面是不是橢圓形？一個(gè)雞蛋是不是橢圓？	教師：教師手拿一個(gè)盛有半杯水的圓柱形透明水杯展示給學(xué)生看并問：同學(xué)們，水面是什么形狀？當(dāng)教師將水杯稍微傾斜，再問：此時(shí)呢？ 教師：利用PPT投影出雞蛋圖說：雞蛋的截面是橢圓嗎？ 教師：什么樣的圖形才是橢圓呢？數(shù)學(xué)上怎么定義橢圓？帶著這些疑問我們一起來學(xué)習(xí)本節(jié)課的內(nèi)容《橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程》	學(xué)生：水杯沒有傾斜時(shí)水面是圓形.當(dāng)水杯稍微傾斜時(shí)，水面是橢圓形. 學(xué)生：雞蛋是橢圓形，因?yàn)樗�的截面是橢圓． 學(xué)生：雞蛋不是橢圓形，橢圓是平面圖形，雞蛋是空間圖形.	通過實(shí)例，引發(fā)認(rèn)知沖突，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)橢圓的興趣.
動(dòng)手實(shí)驗(yàn)定義橢圓	2分鐘	【問題2】坐標(biāo)法研究《圓的方程》的過程是怎么樣的？	教師：上一章我們已經(jīng)用坐標(biāo)法研究了直線與圓兩種平面圖形，其基本操作是先畫出圖象確定其幾何特征然后建立恰當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系給出直線與圓的代數(shù)方程. 教師在黑板上板書如下內(nèi)容   幾何特征 代數(shù)方程 直線 定點(diǎn)、定方向 圓 定點(diǎn)、定長(zhǎng)	學(xué)生聆聽教師分析回憶坐標(biāo)法研究直線與圓的基本流程，為學(xué)習(xí)橢圓做知識(shí)儲(chǔ)備.	為本節(jié)課類比圓的研究方法研究橢圓做好方法及心理鋪墊
	5分鐘	【動(dòng)手操作，直觀體驗(yàn)】取一條定長(zhǎng)的細(xì)繩，若把細(xì)繩兩端都固定在圖板的同一點(diǎn)，套上鉛筆，拉緊繩子，移動(dòng)筆尖，這時(shí)筆尖畫出來的軌跡是一個(gè)圓，如果把細(xì)繩的兩端點(diǎn)拉開一段距離，分別固定在圖板的兩點(diǎn)、，套上鉛筆，拉緊繩子，移動(dòng)筆尖，畫出的軌跡是什么曲線？ 【問題3】“操作過程中套上鉛筆，拉緊繩子”意味著什么？筆尖移動(dòng)過程中滿足的幾何條件是什么？ 【問題4】通過觀察，決定橢圓的幾何要素有哪些？基于這些幾何要素，我們?cè)撊绾纬橄蟪鰴E圓的定義？	教師：下面我們將類比直線與圓的研究過程來研究橢圓，那應(yīng)該先研究什么呢？ 教師：由于畫橢圓圖象的方法比畫直線與圓的圖像復(fù)雜，為了大家能夠畫出較為標(biāo)準(zhǔn)的橢圓，我們先動(dòng)手做一個(gè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn).	學(xué)生：畫出橢圓的圖象確定橢圓的基本幾何特征.	讓學(xué)生通過探究活動(dòng)，更好地理解橢圓的定義，體會(huì)畫橢圓的方法及定義中的關(guān)鍵要素．發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)．
合理建系 推導(dǎo)方程	3分鐘	【問題5】如何建立平面直角坐標(biāo)系可能使得橢圓方程形式簡(jiǎn)單．	教師：通過剛才的探究學(xué)習(xí)，我們已經(jīng)了解了橢圓的幾何特征及幾何定義，我們?cè)撊绾螒?yīng)用橢圓的這些幾何特征建立橢圓的方程呢？ 教師：提出問題5. 教師：教師在PPT上展示多種不同的建系方法并追問學(xué)生：根據(jù)剛才的分析以及你的經(jīng)驗(yàn)，以上哪種建系方法會(huì)使得運(yùn)算更簡(jiǎn)單？ 師生共同選在以、所在的直線為軸，以、的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系 教師：橢圓幾何定義的符號(hào)表達(dá)怎么寫?如何將幾何定義代數(shù)表示？（教師旁白：設(shè)定義中的定長(zhǎng)為，兩焦點(diǎn)坐標(biāo)為） 教師在黑板上板書橢圓定義的符號(hào)表示，在橢圓圖象上建立直角坐標(biāo)系，寫出橢圓定義的代數(shù)表示.并強(qiáng)調(diào)幾何問題代數(shù)化為坐標(biāo)法解決幾何問題的基礎(chǔ).	學(xué)生：建立平面直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法建立方程. 學(xué)生：思考問題5． 學(xué)生：分析并得出結(jié)論：橢圓關(guān)于兩定點(diǎn)所在直線對(duì)稱，關(guān)于線段的中垂線對(duì)稱，且兩對(duì)稱軸交點(diǎn)是橢圓對(duì)稱中心． 學(xué)生：學(xué)生獨(dú)立思考后給出自己的選擇. 學(xué)生：橢圓幾何定義寫成 建立平面直角坐標(biāo)系后 ， 橢圓定義的代數(shù)表達(dá)為：	類比圓方程最簡(jiǎn)形式與坐標(biāo)系的關(guān)系，根據(jù)橢圓的對(duì)稱性選擇最佳建系方法推導(dǎo)橢圓的方程，進(jìn)而更好地理解標(biāo)準(zhǔn)方程之 “標(biāo)準(zhǔn)”所在．在推導(dǎo)方程過程中，利用兩種常用的平方法，引導(dǎo)學(xué)生在化簡(jiǎn)時(shí)要注意分析式子的結(jié)構(gòu)特征，選擇對(duì)應(yīng)的化簡(jiǎn)方法，提高運(yùn)算能力．發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)，培養(yǎng)學(xué)生堅(jiān)韌不拔的意志品質(zhì).在數(shù)學(xué)運(yùn)算教學(xué)中滲透“立德樹人”的基本要求.
	10分鐘	【問題6】如何化簡(jiǎn)以下式子？   方法一：移項(xiàng)兩邊平方法 方法二：直接兩邊平方法	教師：同學(xué)們，我們已經(jīng)將橢圓的定義用代數(shù)式表示出來了，接下來我們需要做什么工作？ 教師：這個(gè)等式有什么特點(diǎn)？我們有哪些類似的化簡(jiǎn)經(jīng)驗(yàn)幫助我們化簡(jiǎn)上面的式子？ 教師：教師點(diǎn)評(píng)學(xué)生對(duì)橢圓定義代數(shù)式結(jié)構(gòu)特點(diǎn)以及化簡(jiǎn)方法的分析并安排學(xué)生動(dòng)手化簡(jiǎn)該代數(shù)式. 教師巡視課堂，并對(duì)部分同學(xué)的化簡(jiǎn)過程給予適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)評(píng)與幫助. 教師：教師展示部分學(xué)生的方程化簡(jiǎn)過程. 師生共同利用兩種方法化簡(jiǎn)至：．	學(xué)生：化簡(jiǎn)上面的代數(shù)式 學(xué)生：該代數(shù)式的左邊是兩個(gè)無理式的和，右邊是常數(shù)。我們可以平方來化簡(jiǎn). 學(xué)生：可以將一個(gè)根式移項(xiàng)到等式右邊去，再根式兩邊分別平方. 學(xué)生：初中學(xué)習(xí)的分母有理化的過程中有兩個(gè)根式的和或者差出現(xiàn)，這里應(yīng)該可以類比應(yīng)用. 學(xué)生：學(xué)生根據(jù)自己的選擇獨(dú)立的嘗試化簡(jiǎn)橢圓的方程． 學(xué)生：學(xué)生消化其他同學(xué)所用的不同的化簡(jiǎn)過程，并對(duì)比分析各種方法的優(yōu)劣.積累兩個(gè)根式和的等式化簡(jiǎn)的經(jīng)驗(yàn)，為雙曲線方程推導(dǎo)積累方法儲(chǔ)備.
	2分鐘	【問題7】觀察下圖，你能找到表示，，的線段嗎？	教師：提出問題7． 教師：令，則（1）式可化為：（）（2）．	學(xué)生：學(xué)生思考問題7并相互討論分析.并在橢圓圖象中找出的幾何量并得出這一個(gè)重要的等量關(guān)系	讓學(xué)生了解橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中三個(gè)重要參數(shù)的幾何意義，加深對(duì)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的理解
	2分鐘	方程（）與橢圓的關(guān)系	教師：同學(xué)們，回顧整個(gè)推導(dǎo)過程，方程（）與式子 等價(jià)嗎？方程（）的解與橢圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系是什么樣的？ 教師：上面的方程稱為橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.它體現(xiàn)數(shù)學(xué)式子的簡(jiǎn)潔美、對(duì)稱美，內(nèi)在的每一個(gè)字母都賦予它深刻的含義，最能直觀體現(xiàn)參數(shù)幾何意義，方便對(duì)橢圓的研究.只需要確定兩個(gè)代數(shù)量就可以確定橢圓方程。	學(xué)生：整個(gè)化簡(jiǎn)過程是等價(jià)變形，所以方程（）與式子 等價(jià).方程的每一組根是橢圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)，同時(shí)，橢圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)也滿足方程.	通過橢圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)與橢圓方程之間的關(guān)系，使學(xué)生加深對(duì)曲線與方程關(guān)系的認(rèn)識(shí).從而加強(qiáng)對(duì)坐標(biāo)法的認(rèn)識(shí).
類比推理 分類討論	2分鐘	【問題8】如果焦點(diǎn)在軸上，原點(diǎn)為兩焦點(diǎn)的中點(diǎn)，則橢圓方程是與焦點(diǎn)在軸上的方程有什么不同？	教師：提出問題8． 教師:小結(jié)橢圓幾何定義及標(biāo)準(zhǔn)方程知識(shí)點(diǎn) 教師：橢圓兩種方程形式的共同點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程表示的一定是焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓；方程的左邊是平方和，右邊是1. 不同點(diǎn)：焦點(diǎn)在軸的橢圓項(xiàng)分母較大. 焦點(diǎn)在軸的橢圓項(xiàng)分母較大. 由上表可知，從幾何角度考慮，要確定橢圓只需要確定橢圓的兩定點(diǎn)及定長(zhǎng)。從代數(shù)角度考慮，要確定橢圓只需要確定橢圓的方程形式以及三個(gè)基本代數(shù)量.	學(xué)生：思考問題8 利用類比的方法，得到方程：（）．	總結(jié)方程特征，明確方程與焦點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系．
例題研討 學(xué)以致用	5分鐘	例1：已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是，，并且經(jīng)過點(diǎn)，求它的標(biāo)準(zhǔn)方程．	教師：教師引導(dǎo)學(xué)生閱讀題目，分析題目條件，對(duì)條件之間的關(guān)系做出解釋. 方法一：定義法  方法二：待定系數(shù)法 教師：定義法與待定系數(shù)法分別從幾何與代數(shù)兩個(gè)角度分析題目條件，從而求解出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程方程.體現(xiàn)了研究幾何問題的兩個(gè)不同的角度.	學(xué)生：學(xué)生獨(dú)立完成例1的解答并展示講解.與教師一起整理兩種方法的解題步驟。	使學(xué)生體驗(yàn)橢圓定義在解題中的作用．培養(yǎng)學(xué)生先分析條件，再選擇解題方法解題的解題習(xí)慣.提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.
歸納小結(jié) 明晰重點(diǎn)	2分鐘	1．橢圓的定義，焦點(diǎn)、焦距的概念； 2．橢圓的兩種標(biāo)準(zhǔn)方程．	師生共同完成．		總結(jié)學(xué)習(xí)要點(diǎn)．
課后練習(xí) 鞏固提升	1分鐘	1．教材第109頁第1.2.3題．	教師：本節(jié)課開始時(shí)平面截橢圓所成的封閉曲線以及傾斜的水杯水平面都是橢圓，數(shù)學(xué)家們用旦德林雙球模型證明它，請(qǐng)大家課后查閱有關(guān)旦德林雙球模型證明以上兩個(gè)橢圓的資料．		檢驗(yàn)是否掌握橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；作業(yè)

 

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• (10-12)·第十屆全國(guó)高中數(shù)學(xué)教師優(yōu)質(zhì)課大賽現(xiàn)場(chǎng)說
• (10-11)·第十屆全國(guó)高中數(shù)學(xué)教師優(yōu)質(zhì)課大賽現(xiàn)場(chǎng)說
• (10-12)·第十屆全國(guó)高中數(shù)學(xué)教師優(yōu)質(zhì)課大賽現(xiàn)場(chǎng)說
• (10-11)·第十屆全國(guó)高中數(shù)學(xué)教師優(yōu)質(zhì)課大賽現(xiàn)場(chǎng)說

• (10-17)·第十一屆全國(guó)高中青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)質(zhì)課大賽
• (10-17)·第十一屆全國(guó)高中青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)質(zhì)課大賽
• (10-17)·第十一屆全國(guó)高中青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)質(zhì)課大賽
• (10-17)·第十一屆全國(guó)高中青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)質(zhì)課大賽
• (10-17)·第十一屆全國(guó)高中青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)質(zhì)課大賽
• (10-17)·第十一屆全國(guó)高中青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)質(zhì)課大賽
• (10-17)·第十一屆全國(guó)高中青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)質(zhì)課大賽
• (10-17)·第十一屆全國(guó)高中青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)質(zhì)課大賽
• (10-17)·第十一屆全國(guó)高中青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)質(zhì)課大賽
• (10-17)·第十一屆全國(guó)高中青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)質(zhì)課大賽
• (10-17)·第十一屆全國(guó)高中青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)質(zhì)課大賽
• (10-17)·第十一屆全國(guó)高中青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)質(zhì)課大賽
• (10-17)·第十一屆全國(guó)高中青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)質(zhì)課大賽
• (10-17)·第十一屆全國(guó)高中青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)質(zhì)課大賽
• (10-15)·第十一屆全國(guó)高中青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)質(zhì)課課例
• (10-15)·第十一屆全國(guó)高中青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)質(zhì)課課例
• (10-15)·第十一屆全國(guó)高中青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)質(zhì)課課例
• (10-15)·第十一屆全國(guó)高中青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)質(zhì)課課例
• (10-15)·第十一屆全國(guó)高中青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)質(zhì)課課例
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